книги / Статика в задачах биомеханики
..pdf
4. Главный вектор и главный момент относительно точки O не равны нулю:
R ≠ 0; |
(1.99) |
MO ≠ 0. |
(1.100) |
А. Рассмотрим случай, когда главный вектор перпендику- |
|
лярен главному моменту: |
|
R MO. |
(1.101) |
Представим пару сил с моментом MO как две силы R′ и R″, равные по модулю главному вектору. Тогда силы в точке О уравновесятся и получим R′ = R, но приложенную не в центре приве-
дения О, а в другой точке – точке О1: |
|
R = R′ = R″, |
(1.102) |
R |
R′ |
d
O O1
MO R″
причем |
d = MO / R. |
(1.103) |
Отсюда, в частности, видно, что равнодействующая, если она существует, по величине и по направлению равна главному вектору.
Различие между главным вектором и равнодействующей заключается в следующем: равнодействующая одна эквивалентна всей системе сил, а главный вектор эквивалентен всей системе сил только вместе с главным моментном (парой сил). Также следует заметить, что главный вектор не зависит от центра приведения, а главный момент зависит (см. равенство (1.84)).
31
B. Рассмотрим случай, когда главный вектор не перпендикулярен главному моменту:
R MO. |
(1.104) |
R |
R′ |
M|| |
M|| |
MO ϕ |
|
O |
O1 |
M |
|
Разложим главный момент на две составляющие: параллельную M|| и перпендикулярную M главному вектору:
M|| = MOcosϕ; |
(1.105) |
M = MOsinϕ. |
(1.106) |
Система сил R и момент M имеют равнодействующую в
точке O1.
Момент M||, как вектор свободный, перенесем в точку O1:
R = R′; |
(1.107) |
OO1 = MOsinϕ / R. |
(1.108) |
Получим в точке O1 систему сил – «динамический винт» (динама). Такое название связано с тем, что при приложении ее в центре масс свободного твердого тела тело будет двигаться поступательно с ускорением вдоль главного вектора с ускоренным вращением вокруг этого направления. «Динамический винт» (динама) состоит из трех сил: одной силы, равной главному вектору, и пары сил, которая лежит в перпендикулярной плоскости:
32
R′
M||
O1 
Если R′ M|| > 0, то винт является правым:
R′
M||
O1
Если R′ M|| < 0, то винт является левым:
R′
O1
M|
Таким образом, произвольная система сил может приводиться к равнодействующей, к паре, к динаме или находиться в равновесии.
33
1.5. Уравнения равновесия для различных систем сил
1. Произвольная пространственная система сил (шесть уравнений равновесия):
n |
n |
|
Fkx = 0; |
mx (Fk ) = 0; |
|
k =1 |
k =1 |
|
n |
n |
|
Fky = 0; |
my (Fk ) = 0; |
(1.109) |
k =1 |
k =1 |
|
n |
n |
|
Fkz = 0; |
mz (Fk ) = 0. |
|
k =1 |
k =1 |
|
2. Система параллельных сил в пространстве (три уравнения равновесия):
|
n |
|
|
|
|
Fkz = 0; |
|
|
|||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
(1.110) |
mx (Fk ) = 0; |
|||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
n |
m |
(F ) |
= 0. |
|
|
|
|
|||
|
y |
k |
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
3. Система сходящихся сил (три уравнения равновесия):
z |
|
n |
|
|
Fkx = 0; |
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
n |
|
O |
y |
Fky = 0; |
(1.111) |
k =1 |
|
x |
n |
|
Fkz = 0. |
||
|
||
|
k =1 |
34
4. Плоская система сил (три уравнения равновесия):
|
|
n |
|
y |
|
Fkx = 0; |
|
|
|
k =1 |
|
|
|
n |
|
|
|
Fky = 0; |
(1.112) |
|
|
k =1 |
|
|
|
n |
n |
O |
x |
mz (Fk ) = mО(Fk ) = 0. |
|
|
|
k =1 |
k =1 |
Если число неизвестных в задаче больше числа уравнений равновесия, то такая задача называется статически неопределенной. В этом случае к уравнениям статики твердого тела надо добавить уравнения, учитывающие деформацию. Если число неизвестных меньше (часть уравнений превратится в тождества) или равно числу уравнений равновесия, то такая задача называется статически определенной.
1.6. Центр параллельных сил и центр тяжести
Рассмотрим условия равновесия системы параллельных сил, расположенных в одной плоскости:
y
R
F2
|
F1 |
|
|
A |
B |
C |
x |
Равнодействующая: |
|
R = F1 + F2; |
(1.113) |
mB(F1) + mB(F2) = mB(R) = 0; |
(1.114) |
|
35 |
−F1AB + F2BC = 0; |
(1.115) |
AB / BC = F2 / F1. |
(1.116) |
Вывод: из приведенных формул видно, что при повороте системы на угол ϕ равнодействующая не изменится по модулю, а точка ее приложения останется в том же положении:
y
|
|
R |
|
|
|
ϕ |
F2 |
F1 |
|
ϕ |
|
|
|
||
ϕ |
B |
C |
x |
A |
Точка, через которую проходит равнодействующая параллельных сил, при любых поворотах этих сил относительно их точки приложения называется центром параллельных сил.
Координаты центра параллельных сил
z |
ϕ |
F1 |
A2 |
|
|||
|
A1 |
F2 |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
Fn |
|
ϕ |
|
y |
|
O |
|
|
x |
An |
|
|
Рассмотрим систему параллельных сил (F1, F2, … , Fn):
F1 || F2 || … || Fn; |
(1.117) |
n |
|
R = Fk . |
(1.118) |
k =1
36
Координаты точек приложения сил: |
|
A1 (X1, Y1, Z1), |
|
… ; |
(1.119) |
An (Xn, Yn, Zn).
Определим координаты центра параллельных сил (точки С
(XС, YС, ZС)).
Повернем силы на угол ϕ, чтобы Fn стала параллельна оси Z,
тогда: |
|
|
Fk = FZk; |
|
(1.120) |
n |
|
|
my(R) = RXC = my (Fk ). |
(1.121) |
|
k =1 |
|
|
Тогда, по формуле (1.25), |
|
|
my(Fk) = XkFZk − ZkFXk = XkFZk − 0 = XkFk; |
(1.122) |
|
n |
|
|
RXC = Xk Fk ; |
(1.123) |
|
k=1 |
|
|
n |
n |
|
XC = Xk Fk / |
Fk . |
(1.124) |
k =1 |
k =1 |
|
Аналогично, поворачивая силы до параллельности другим |
||
осям, найдем: |
|
|
n |
n |
|
YC = Yk Fk / Fk ; |
(1.125) |
|
k =1 |
k =1 |
|
n |
n |
|
ZC = Zk Fk / |
Fk ; |
(1.126) |
k =1 |
k =1 |
|
n |
n |
|
rC = rk×Fk / Fk . |
(1.127) |
|
k =1 |
k =1 |
|
|
|
37 |
Центр тяжести
Центром тяжести называется точка, неизменно связанная с телом, через которую проходит линия действия веса при любом повороте тела (точка С):
m1 |
|
|
P1 |
C |
m2 |
|
||
mn |
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
|
Pn |
|
|
P |
|
где P – вес тела, |
|
|
n |
|
P = Pk . |
(1.128) |
k =1
Если размеры системы много меньше размера земли, то можно считать, что Pk параллельны и система находится в однородном поле силы тяжести:
P1 || P2 || … || Pn. |
(1.129) |
Аналогично с координатами центра параллельных сил получим уравнения для расчета координат центра масс тела:
n |
|
XC = Xk Pk / P, |
|
k =1 |
|
n |
|
YC = Yk Pk / P, |
(1.130) |
k =1
n
ZC = Zk Pk / P. k =1
38
Для однородного тела вес можно определить, зная плотность тела ρ и его объем V:
Pk = ρkVk = ρVk, |
(1.131) |
P = ρV. |
(1.132) |
В таком случае координаты центра тяжести: |
|
n |
|
XC = XkVk / V , |
|
k =1 |
|
n |
|
YC = YkVk / V , |
(1.133) |
k =1
n
ZC = ZkVk / V. k =1
Для однородного плоского тела с площадью поверхности S эти координаты определяются следующим образом:
|
n |
|
XC = Xk Sk / S, |
|
|
|
k =1 |
(1.134) |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
YC = Yk Sk / S. |
|
|
|
k =1 |
|
Для однородного стержня длиной L имеем одну координату:
n |
|
XC = XLk / L. |
(1.135) |
k =1
Методы определения центра тяжести
1.С использованием условия симметричности. Если тело имеет плоскость, ось или точку симметрии, то центр тяжести находится на этой плоскости, оси или точке.
2.Метод разбиения: тело разбивают на части, центр тяжести которых либо известен, либо легко вычисляется.
39
3.Метод интегрирования. Для сплошного тела вместо суммы можно использовать интеграл.
4.Экспериментальный метод.
Подробноеописание смотри, например, вработах [4, 5, 33, 43].
1.7.Единый подход к решению задач на равновесие твердого тела
Независимо от типа системы сил, приложенных к твердому телу, изложим единый подход к решению задач на равновесие:
1.Равновесие невозможно без наличия тел, ограничивающих перемещение. Ввиду этого необходимо выделить тело, к которому приложены неизвестные силы. Результат – исследуемое тело, а вместо тел, ограничивающих его движение, – связи.
2.Приложить активные силы к выделенному телу.
3.Применить аксиому освобождаемости от связей, приложить к телу реакции связей. Результат – свободное тело с приложенной к нему системой сил.
4.Проверить, что задача является статически определенной, т.е. число алгебраических неизвестных равняется соответствующему типу системы сил числу уравнений равновесия.
5.Выбрать удобную систему координат и составить уравнения равновесия.
6.Решить систему алгебраических уравнений и найти неизвестные величины.
1.8.Применение теории статики твердого тела для расчета устойчивости мобильного
антропоморфного робота-манипулятора
В XX веке начали появляться протезы, управляемые биоэлектрическими сигналами организма. Биоэлектрические (бионические, миоэлектрические) протезы − это протезы с внешним источником энергии (по классификации Минтруда РФ). Управление осуществляется за счет сигналов, возникающих при сокращении мышц. В то же время основным и наиболее полезным видом проте-
40