книги / Общая физика. Оптика

Лабораторная работа № 3 ДИФРАКЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Цель работы - наблюдение дифракционной картины от круглого отверстия, узкой щели и дифракционной решетки. Оп­ ределение ширины щели по дифракционной картине. Определе­ ние длин волн спектральных составляющих естественного света.

Приборы н принадлежности: квантовый генератор (ла­ зер), источник естественного света, оптическая скамья, экран с набором круглых отверстий, экран с узкой щелью, дифракцион­ ная решетка, экран для наблюдения дифракционной картины, линейка.

Сведения из теории

Дифракцией называется совокупность явлений, наблю­ даемых при распространении света в среде с резкими неодно­ родностями (вблизи границ непрозрачных или прозрачных тел, сквозь малые отверстия и т.п.) и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Дифракция приводит к огиба­ нию световыми волнами препятствий и проникновению в об­ ласть геометрической тени.

Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспре­ делении светового потока в результате суперпозиции волн.

Различают два вида дифракции. Если источник S и точка наблюдения Р расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку Р, образуют практически параллельные пучки, говорят о дифрак­ ции в параллельных лучах или о дифракции Фраунгофера. В противном случае говорят о дифракции Френеля.

Дифракция от круглого отверстия. Зоны Френеля

Чтобы понять суть метода, разработанного Френелем, оп­ ределим амплитуду светового колебания, возбуждаемого в точ­ ке Р сферической волной, распространяющейся в однородной и изотропной среде из точечного источника S (рис. 1). Волновые поверхности такой волны симметричны относительно прямой

SP. Воспользовавшись этим, разобьём изображенную на рис. 1 волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев каждой зоны до точки Р отличаются на АУ2 (А. —длина волны в той среде, в которой распространяется вол­ на). Обладающие таким свойством зоны называются зонами Френеля.

На рис. 1 видно, что расстояние Ьтот внешнего края т-ой зоны до точки Р

(Ъ - расстояние от вершины волновой поверхности О до точ­ ки?).

Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон (т.е. точек, лежащих в середине зон или у внешних краёв зон и т.д.), находятся в противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в це­ лом, будут для соседних зон отличаться по фазе на я.

Из рис. 2 следует, что

{а —радиус волновой поверхности; гт —радиус внешней грани­ цы m-ой зоны). Возведя скобки в квадрат, получим

Рис. 2

Решая систему уравнений (3) и (4) относительно Ит, полу­

чим

_ ЬтХ +т2(Х/2)2

Из равенства (3) можно найти радиусы зон. При не слиш­ ком больших т высота сегмента Ит « а, поэтому можно счи­ тать, что

Подставив значение (5) в (6) и пренебрегая ввиду малости X слагаемыми, содержащими X2, получим выражение для ра­ диуса внешней границы m-ой зоны

Поставим на пути сферической волны непрозрачный эк­ ран с вырезанным в нём круглым отверстием радиусом гт. Рас­ положим экран так, чтобы перпендикуляр, опущенный из ис­ точника света S на экран, попал в центр отверстия (см. рис. 2).

На продолжении этого перпендикуляра выберем точку наблю­ дения. Тогда т - число открытых первых зон Френеля, постро­ енных для точки Р. Расстояние Ьтот зоны до точки Р медленно растет с номером зоны т. Угол <р между нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р также растет с т. Таким обра­ зом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:

А ,> А 2>А3> ... >Ат>Ат+1

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отли­ чаются на я. Поэтому амплитуда А результирующего колебания в точке Р может быть представлена в виде

В это выражение все амплитуды от нечетных зон входят с одним знаком, а от четных - с другим. Запишем выражение (8) следующим образом:

Вследствие монотонного убывания Атможно считать, что

Тогда выражения в скобках (9) будут равны нулю и фор­ мула (9) упрощается:

2

Согласно (11) амплитуда, создаваемая в некоторой точке Р всей сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной. Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, ос­ тавляющим открытой только центральную зону Френеля, ам­ плитуда в точке Р будет равна А,, т.е. в два раза превзойдет ам­ плитуду (11). Соответственно интенсивность света в точке Р бу­ дет в четыре раза больше, чем в отсутствие преград между точ­ ками S и Р.

Пусть на очень длинную узкую прямоугольную щель ши­ риной Ъ падает по нормали к ней плоская световая волна (рис. 4).

Ь

Р

Рис. 4

Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы - экран. Волновые поверхности падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Со­ гласно принципу Гюйгенса-Френеля элементарные участки от­ крытой части волновой поверхности являются источниками вторичных волн. Разобьем открытую часть волновой поверхно­ сти на параллельные краям щели зоны Френеля, ширина кото­ рых b/N. Каждая зона создает в точке Р колебание, амплитуда которого, очевидно, обратно пропорциональна числу зон N.

(14)

Разность хода лучей, идущих от краёв щели, А = b sincp (см. рис. 4). Следовательно, разность хода лучей для двух со­ седних зон равна (b/N) sin ф. Соответственно, разность фаз ко­ лебаний, возбуждаемых в точке Р соседними зонами,

(15)

Итак, в точке Р интерферируют N волн с одинаковой ам­ плитудой AQ/N, сдвинутых относительно друг друга по фазе на угол 8, определяемый формулой (15). Таким образом, мы имеем дело с многолучевой интерференцией и можем для нахождения

амплитуды в точке Р воспользоваться соответствующей формулой:

(16)

Это выражение является приближенным. Оно будет тем точнее, чем уже элементарные зоны, т.е. чем больше N. При очень больших N синус в знаменателе можно заменить углом. Поэтому окончательное выражение для амплитуды в точке Р имеет вид

(17)

Индекс ф указывает на то, что имеется в виду амплитуда, создаваемая лучами, идущими под углом ф к нормали к щели.

При а, стремящемся к нулю, lim (sin а/а) = 1 (при малых а можно полагать sin а * а). Поэтому при ф = 0 дробь в выра­ жении (17) превращается в единицу. Отсюда следует, что А0 есть амплитуда в середине дифракционной картины (против центра линзы).

Из формулы (17) вытекает, что при значениях ф, удовле­ творяющих условию: (лЫХ) sin ф = ±кк, т.е. в случае, если

b sin ф = ± кХ (к = 1, 2, 3...),

амплитуда (и соответственно интенсивность) обращается в нуль. Таким образом, условие (18) определяет положение минимумов

интенсивности.

Условие (18) легко можно получить из следующих сооб­ ражений. Если разность хода А от краёв щели равна ±кХ, откры­ тую часть волновой поверхности можно разбить на 2к равных

по ширине зон, причём разность хода от краёв каждой зоны бу­ дет равна 7J2. Колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга, так что результирующая амплитуда равна нулю. Если для точки Р разность хода Д равна ±(к+\/2)Х или

число зон окажется нечётным, действие одной из них окажется нескомпенсированным и будет наблюдаться максимум интен­ сивности.

При ширине щели, меньшей длины волны, минимумы во­ обще не возникают. В этом случае интенсивность света моно­ тонно убывает от середины дифракционной картины к её краям.

2 максимум

1 максимум

0 максимум

1 максимум

2 максимум

Если измерить расстояние между максимумами &-го по­ рядка (к= 1, 2, 3, ...), то с учётом малости угла (р (рис. 5) полу­ чим

Ширина щели может быть определена по формулам (18) и (19), если измерены расстояния L и /* и известна длина волны падающего света.

Дифракционной решёткой называется оптический прибор, состоящий из большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние щелей (рис. 6).

Ь d

Рис. 6

Расстояние d между серединами соседних щелей называ­ ется периодом решётки.

Расположим параллельно решётке собирающую линзу, в фокальной плоскости которой поместим экран. Плоская волна падает на решётку нормально. В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля распределение интенсивности на экране оп­ ределяется суперпозицией волн, приходящих в точку наблюде­ ния от различных щелей дифракционной решётки. Главный ди­ фракционный максимум будет наблюдаться при таких углах ср, для которых волны, приходящие в точку наблюдения от всех щелей решётки, оказываются в одинаковой фазе, т.е. разность фаз волн от двух соседних щелей кратна 2п:

где 8 - разность фаз; А = d sin <p - разность хода; к = 0, ±1, ±2,

... - порядок дифракционного максимума; X - длина волны па­ дающего света.

Таким образом, условие главных максимумов для ди­

Дифракционная решётка изготавливается из стекла или ме­ талла. На материале с помощью делительной машины через стро­ го определённые расстояния нанесены параллельные штрихи.

Описание установки

Лазер 1 с линзой 2 и рейтеры 3, 4 укреплены на оптичес­ кой скамье (рис. 7).

Рис. 7

На рейтере 3 может быть укреплен экран с набором круг­ лых отверстий, экран со щелью или дифракционная решетка. На рейтере 4 укреплен экран для наблюдения дифракционной кар­ тины. Длина волны лазерного излучения составляет 633 нм.

Порндок выполнении работы

Наблюдение дифракции от круглого отверстия

1.Укрепить экран с круглым отверстием в рейтере 3.

2.Укрепить экран для наблюдения дифракционной кар­ тины в рейтере 4.

3.Перемещая рейтер 3, наблюдать за изменением ди­ фракционной картины при различных диаметрах отверстия.