книги / Прикладная теория ползучести грунтов

Рис.1.14. Диаграммы деформирования материалов

t i

1

п

2

(1 .3 .6)

--------- 6i

------------ (l+ v)ei

/ Г

/з~

Подставим выражения (1.3.6)

в формулу (1 .3 .2)

и найдем связь меж­

ду осевым напряжением

сжатия и соответствующейдеформацией.

6i

- Aieim

,

(1.3.7)

где введено обозначение

At -

3 (1' m ,/zC2(l+v)]m-A

В том случае»

когда

коэффициент

Пуассона

v -

0 .5 ,

параметр

Ai-tfn+1A

В выражениях

(1.3.1)

и

(1 .3 .2)

параметр

А -

имеет

смысл мо­

дуля деформации при сдвиге,

а

параметр Ai

в формуле (1 .3 .7 ) -

это

модуль деформации при одноосном сжатии-растяжении.

Если экспериментальная

кривая имеет

вид,

приведенный

на

рис. 1.146, то

ее аппроксимируют дробно-линейной функцией в виде

t

<ЗоТв

(1 .3 .8)

----------- г .

- 24

-

лу для одноосного растяжения или сжатия

Eo6s

(1.3.10)

.61 - --------- e i

K(t) - (

_т2_

(1.4.1)

Ti+t

4(t) - 1+J«(t)dt ,

(1.4.2)

f t

\Ct

♦ (t) - 1+e(—

)

о

1/ 1-а

2.

При п-1

и Ti-0

, Т2-(аб/Т 2)

* (t) - l+81n(t+T)/T ,

(1.4.3)

3.

При п-2

и Ti-T

,Т2“ 1Т(в-1 ))1/2

T+5t

t

* ( t ) ------------ 1+(8- 1)

(1.4.4)

T+t

T+t

-

25 -

Возвращаясь к уравнениям

(1 .2 .1 ),

напомним,

что наша ближай­

шая цель

состояла в

том,

чтобы найти выражения для функции ф(т),

f(T ),* (t)

и ф а ) .

Для дальнейшего наложения материала ограничимся

(1. 3 . 1),

тем, что

будем

пользоваться

найденными

функциями

(1 .3 .8 ),

(1 .4 .2 ),

(1 .4 .3)

и (1 .4 .4 ).

Если эти

функции подставлять

в соотношение (1. 2 . 1),

то

можно

получить

прикладные

уравнения

ползучести. Рассмотрим несколько комбинаций

из

функций

ф (т)

и

♦ <t).

1.

Примем ф(г )-Ат1П,

a * (t)-l+ 5 ^

—j

,

подставим их в

соотно­

шение (1. 2, 1) и найдем деформацию

(1.4.5)

Здесь 0<ш€1,

0<ссС1,

б

безразмерные

величины. Для

грунтов

т-0.2+1.

Т - произвольная величина (час),

которую можно

принять

равной единице.

Пусть

m -

1,

тогда из

(1.4.5) получим линейное

относительно х уравнение ползучести

(1.4.6)

из которого при t

-

0,

получим r-t/A ,

где

А имеет смысл модуля

сдвига G, т .е .

Т -

T/G.

(1.4.7)

Из сопоставления

всех трех уравнений заключаем,

что соотношение

(1.4.5)

содержит

в

себе

как частные случаи закон Гука

(1.4.7)

й

линейное

уравнение

ползучести

(1 .4 .6 ).

Для того,

чтобы

воспользоваться

уравнениями

(1.4.5)

и

(1.4.6)

необходимо знать значения параметров А,б,ос и т.

Они всег­

да для конкретных грунтов

определяются по

результатам

опытов,

число которых

и условия испытаний образцов разрабатываются в со­

ответствии с методикой их поиска.

Примеры применения методик об­

работки опытных данных и определения параметров в уравнениях пол­

зучести применительно к

различным

грунтам

приведены

в книгах

/1 -4 /.

ления параметров.

Решение задачи начнем с последнего вопроса,

последовательно

анализируя уравнения

(1 .4 .7 ),

(1.4.6)

и

(1 .4 .5 ).

Из

соотношения

(1.4.7)

видно,

что для определения модуля сдвига G,

необходимо

провести стандартный

опыт

на

чистый

сдвиг

и

по

диаграмме

(рис.1.14а) найти G*A.

Для определения

коэффициентов б и ос воспользуемся урав­

нением

(1 .4 .6 ).

Будем рассуждать следующим образом. Любой матери­

ал при соответствующих постоянных малых

напряжениях

ведет

себя

как линейновязкоупругая среда. Следовательно,

нужно провести

опыт

в данном случае на сдвиг при малых напряжениях X

и

построить

диаграмму r - t .

На этой диаграмме выбрать

две

точки с

координатами

e i , t i и £2»t2 и составить

систему двух

уравнений

а затем,

подставив его

значение в любое из двух уравнений,

вира"

вить

или

Таким образом, найдены формулы для вычисления эмпирических

коэ4г

фициентов ос и б, для

которых необходимы опыты на

"мгновенный1'

сдвиг и на ползучесть при постоянном напряжении т.

Но необходимо

провести

проверку этих

коэффициентов, для этого

необходим еще

один опыт на ползучесть

при постоянном напряжении t ,

отличном от

того,

который использован для

определения б и ос

И если рассчи­

танные

значения

т для последнего опыта удовлетворительно совпадут

с экспериментальными данными,

то уравнением (1.4.6)

можно пользо­

ваться

для

прогноза деформации.

В тех

случаях,

когда зависимость т- t имеет нелинейный харак­

тер,

деформацию следует

вычислять

по формуле

(1 .4 .5 ),

предвари­

тельно определив коэффициент ш.

Таким образом,

поставленная

задача решена.

Если

"веер"

кривых

ползучести

(рис.1. 12)

зависимостями

(1.4.6)

и

(1.4.7)

описывается

неудовлетворительно,

то

следует

выбрать

другую

комбинацию функций <р(т) и * (t)

и получить

уравне­

ния ползучести.

2. Примем ф(т)-АтЛ1, a

* ( t ) - l +6

ос

подставим их в соотношение (1. 2 . 1)

и найдем

деформацию

в любой

момент времени t по следующей формуле

г X

(

t+T

Ч -i1/m

» - [ г И " Т ) ]

(1-*-в>

Из этой формулы "мгновенная"

деформация, т .е .

при t

- 0 будет

Т -

( х

^1/т

(1.4.9)

----

Если положить,

что пн 1, то

как и в предыдущем случае

придем к

выражению

(1 .4 .7 ).

Заметим,

что

получить

выражение

(1.4.9)

иэ формулы

(1 .4 .8 ),

извольная величина

(час).

В том случае,

если имеет место линейная ползучесть, то при

ш - 1 из формулы (1 .4 .8)

получим

Т "

X

/

t+T

\

(1.4.10)

—

1+б1п----

]

A

v

Т

/

Здесь константа б неизвестна.

Для ее определения

на

экспериментальной кривой ползучести

необходимо выбрать

точку с

координатами Т1Л 1,

подставить их в

-

28 -

(1.4.10) и найти б по формуле

ц А -т

tl+т

X

In

т

В том случае,

если имеет место

нелинейная

ползучесть,

то

нужно на соответствующей диаграмме x - t

выбрать

точку с

координа­

тами n , t i ,

подставить в

(1 .4 .8)

и найти ш по формуле

ш -

In

1п ц

Из сказанного следует,

что для

определения

эмпирических

ко­

эффициентов,

входящих в уравнения

ползучести

необходимы

экспери­

менты при "мгновенном" t *0 нагружении и, как правило,

два опыта

на ползучесть при двух уровнях постоянного напряжения.

Напомина­

ем, что один опыт на ползучесть

необходим для

нахождения

коэффи­

циентов. Второй опыт является

контрольным для

проверки работоспо­

собности уравнений,

в условиях отличных от

тех,

при которых

най­

дены константы.

3.

Примем

функции

ф(т)

и

* (t)

в

виде (1 .3 .8)

и

(1.4.4) и

подставив их

в уравнение

(1 . 2 . 1),

получим

Gots

-

г

t

-I

(1.4.11)

--------- т

X 1+(5-1)------

Ts+GoT

L

T+t J

T(t)

t(T+6t)

(1.4.12)

GoСТ (1-t/T s )+t (1-6t/T s ) 3

т(0) -

х

(1.4.13)

Оо(1-бт/Тд)

Т(оо) -

бт

(1.4.14)

G o(l-

6T/Ts)

-

29 -

Для кривой

(1.4.13) ординатой

асимптоты является

параметр t o - t s ,

для

кривой

(1.4.14)

из

равенства

l- 6 ( t( « ) /ts )-0 ,

найдем

s/б .

С.С.Вялов

ввел понятие,

что to - ts -

условно-мгновен­

ная,

a t с®)- t s/5 - предельно длительная

прочность.

Из выражения

стабилизированной деформации

(1.4.14)

видно,

что она для данного

грунта зависит только от величины действующего

напряжения

t ,

а

величины

б ,Go

и t s

- являются

эмпирическими коэффициентами най­

денными из

опытов.

Поэтому

можно

ввести

еще

одно

понятие

GQ/ 6-G(«>)-

длительный модуль

сдвига.

Выразим из

уравнения (1.4.11) напряжение t

и полагая,

что

в

опыте на образцах деформация сохраняется постоянной,

найдем сле­

дующее уравнение чистой релаксации

TGo(T+t)

t ( t ) ----------------------------(1.4.15)

(T+6t)(1+TGo/ts)

Рассмотрим некоторые предельные случаи для формулы (1.4.15).

Пусть деформация т задача "мгновенно*', тогда при t-0

TGo

(1.4.16)

t0 ----------

1+TGo/ts

Из этого

уравнения раскрывая

неопределенность при г-*»,

получаем,

что t o - ts . Этот

результат совпадает с полученным ранее

из формулы

(1.4.13).

Примем, что t-®, тогда из

формулы, (1.4.15)

получаем значение

стабилизированного напряжения

t ( t -«)

YGp

(1.4.16)

б (1+TGo/ts)

Обозначая здесь Go/6-G(®>,

замечаем, что длительный модуль G(®).,

полученный

из

двух

независимых опытов имеет один и тот же вид.

Первый опыт - это ползучесть

при постоянном напряжении t ,

второй

Замечание.

В практической работе нельзя провести опыты при

t -О (мгновенное

приложение нагрузки или деформации). Поэтому

в

t-xo) можно принимать конечное время.

Например,

при изучении де­

формации, принять конечное значение

ее, когда скорость деформации

равна нулю и т.д.

Уравнения (1 .4 .5 ,1 .4 .6 ,1 .4 .8 ,1 .4 .1 0 ,1 .4 .1 2 )

описывают разви­

различных грунтов, горных пород и металлов.

Однако эти уравнения не учитывают ряд факторов,

которые име­

ют место

при

исследовании

деформационных процессов

характерных

для оснований,

фундаментов и сооружений в целом.

Испытания грунтов и сооружений показали,

что во многих слу­

чаях

нужно учитывать

влияние

предшествующих

напряжений,перемен­

ность

нагрузок,

скорость нагружения, а также разгрузку на дефор­

мации и осадки в последующие моменты времени.

Иными словами,

де­

формация или осадка

в рассматриваемый момент времени зависит

от

истории

нагружения объекта.

Поэтому в последние два-три десятилетия

для описания сложных