книги / Прикладная теория ползучести грунтов

определяется

иа уравнения

-

Б1 -

1

г

г

—Xt\

/

-X (t-ti)\n

(3.1.22)

e (t)

’

~

[ 6 (t )+A6l l 1“e

) +Аб2[1-е

Jj

а после

подстановки

двухчленного

ядра

(3.1.11)

в

выражение

(3 .1 .21),

найдем

(3.1.23)

Здесь

6i

и 62 напряжение

на первой и второй, ступени соответс­

твенно,

a

6 (t)

при t » t i ,

равно 61+62.

Проведем анализ

полученных

уравнений

(3.1.22)

и

(3.1.23).

Для этого рассмотрим наиболее характерные точки по

времени.

При

t-0 во всех

случаях (3 .1 .12),

(3 .1 .14),

(3.1.22) и

(3.1.23) прлу-

чаем е0-6/Е.

Если в

уравнениях

(3.1 Г22)

и (3.1.23) рассматривать

процесс

ползучести при t< ti,

то

из (3.1.22)

следует

(3.1.12),

а

из (3 .1 .23),

получим выражение (3.1.14).

Таким образом,

уравнения

(3.1.22) и (3.1.23) являются наиболее общими, поскольку

в

них со­

держатся частные случаи (3.1.12)

и

(3.1.14).

При t-*»

из

уравнений (3.1.22) и (3.1.23)

получим соответс­

твенно

(3.1.24)

(3.1.25)

Из сравнения выражений (3.1.23)

и

(3.1.25),

заключаем,

что,

хотя

они оба

записаны для

ступенчатой

ползучести,

в (3.1..24)

отсутс­

твует член,

учитывающий время действия

нагрузки до точки

t i .

На­

личие члена exp(-X ti)

позволяет

учесть

влияние

первой

ступени

нагружения

на

весь

период

наблюдения

за деформацией грунта или

осадкой сооружения.

При лабораторных или натурных

исследованиях

на

ступенчатое

нагружение

всегда отмечается

изменение (уплотне­

честь и релаксация напряжений выражены в наибольшей степени,

чем

в песчаных грунтах /3 ,5 /. Это объясняется сложным строением,

ко­

торое обусловлено дисперсностью, пористостью, многофазностью,

не­

бораторных, так

и

в

натурных условиях.

Если сравнить

семейства

кривых ползучести для

песков

и для глин

/3 ,5 / при различных

наг­

рузках, то можно отметить

следующее.

В песках,

как правило,

кривые ползучести

имеют

затухающий

характер. В глинистых грунтах

это можно обнаружить только при не­

больших нагрузках.

При росте

нагрузок

кривые

ползучеоти

будут

иметь незатухающий характер,

хотя скорость ползучести на длитель­

ном отрезке времени будет мала.

Поэтому для

описания

деформирования во

времени

глинистых

грунтов необходимо привлекать

уравнения

ползучести,

содержащие

более сложные функции, чем для пеоков.

В линейном варианте теории наследственной ползучести выберем

ядро

ползучести

в виде (3 .1 .7 ).

Эта функция при t -О стремится к

бесконечности, в отличие от функции

(3 .1 .8 ), которая в

нуле

имеет

конечное

значение, поэтому ее

называют функцией с особенностью.

Запишем связь между деформацией т,

напряжением х и временем

t в следующем виде

t

(3.2.1)

Подставим K(t) в

виде

(3 .1 .7)

и полагая,

что х в течение

опыта

остается

постоянным,

получим уравнение простой ползучести

(3.2.2)

При t-Q

из выражения

(3 .2 .2)

следует

закон Гука, а при t-*» дефор­

мация будет

неограниченно возрастать.

Последний вывод не

означа­

ет,

что

формула

(3.2.2) будет

давать

неправдоподобные результаты.

Приведем следующий пример,

окончательные результаты для ко--

торого заимствованы из работы /3 /.

Осадки основания плотины

Ка­

ховской ГЭС

аппроксимировались

формулой

(3.1.1) с коэффициентами

S„*

- 5,85;

0 -

0,127, т .е .

S (t)-5 .8 5 t0-127

где t - в месяцах, S - в сантиметрах.

Вычисления по этой формуле дали следующие результаты t

600

месяцев

(50

лет) S -

13,2 см;

t -

1200 мес.

(100 лет)

S -

14,4

см.

Эти результаты являются

правдоподобными,

поскольку фактичес­

кая

осадка

S -

11,5

см за t

-

180 мес.,

практически совпадает с

вычисленной S -

11,23 см.

Подобные примеры расчетов

на основе формул (3 .1 .1 ),

(3 .1 .3 ),

(3.2.2)

в литературе

приводятся для

грунтов,

металлов

и

других

строительных материалов.

Для получения формулы релаксации необходимо решить уравнение

(3.2.1)

относительно т. В общем виде

решение будет таким

- Бб

-

t

<pCr(t)] - X(t)+jK(t-v)X(v)dv

,

(3.2.7)

0

BT(t)m - t ^l+At1

(3.2.8)

•

11+А

T

(3.2.9)

" t iВ - K

При т -1 ,

обозначая

В-Qo,

приходим к полученному ранее линейному

выражению

(3 .2 .2 ).

Для того,

чтобы получить

уравнение релаксации необходимо ре­

шить уравнение

(3 .2 .7)

относительно

(х).

t

X(t)

- <p[r(t)3-jR(t-v)<pCr(v)3dv

(3.2.10)

о

При постоянной деформации получим

t

t ( t )

- V C rl(l-jR (t-v)dvj

(3.2.11)

О

Подставим сюда

значение

интеграла

от резольвенты

по формуле

(3 .2 .5) и найдем уравнение чистой релаксации

4 t ) -

1-Х

1+At

Вид его

совпадает

о

уравнением (3 .2 .6 ), но здесь

в отличие от

(3 .2 .6)

начальное напряжение при релаксации следует

вычислять по

формуле Х0-ВТт .

Для получения

уравнений,

позволяющих описывать

ступенчатую

приложения ее t -О до любого времени наблюдения t ,

то

деформацию

следует вычислять

из

уравнения

t

q»Cr(t)3 -

ti^l+ jK (t-v )d v j

Предположим,

что

в момент времени t i ,

нагрузка увеличилась,

на

величину t 2,

тогда деформацию следует

вычислять из

уравнения

t

t

<pCr(t)]

- T(t)+TijK(t-v)dv+T2jK (t-v)dv

(3.2.12)

0

ч

Под t будем понимать

время

наблюдения

за

деформацией,

a

t i время

действия напряжения t i , например,

после

окончания

определенного

этапа строительства.

Напряжение *С2 -

вызвано нагружением на сле­

дующем этапе

строительства

t> ti

и

т.д .

При t< ti T ( t) - ti,

а

при

t» ti t( t) - ti+ t2 .

Подставим в уравнение

ступенчатой

ползучести сначала

одноч­

ленную функцию K(t-v)

(3 .1 .7 ),

а затем

в

виде

двучлена,

K (t-v,v)-A (l-*X t-v)

- X

- X

(3.2.13)

+A(l-X)v

представляющего собой сумму разностной и неразностной функций.

После интегрирования

получим

два

уравнения

для

вычисления

деформаций.

<pCr(t)3 -

T (t)+ tiA t

1-Х

1-Х

(3.2; 14)

+ t2A (t-ti)

?CT(t)3 - T(t)+2TiAt

1-Х

1-Х

1-Х

1-Х

(3.2.15)

+T2A (t-ti)

+T2A(t

- t i

)

Сравнивая почленно правые

части

уравнений,

видим,

что

в

уравнении (3.2.16)

влияние

времени действия t i

первой ступени

на

- 57

-

последующий

процесс

ползучести

более существенно и будет расп­

ространяться

на

длительное

время

наблюдения

за

деформацией.

Пусть,

например,

Т1-Т2,

а

время

наблюдения t» ti,

тогда полагая,

что t - t i * t ,

найдем

,q>CT(t)l -

1-Л

T (t)+2tiA t

,

<pCT(t)] -

1-Л

T (t)+4tiA t

Этот эффект

получен

без введения дополнительных констант

в

уравнение

наследственности.

Расширение

возможностей

уравнений

достигается за счет выбора ядра в виде двучлена (3.2.13).

Вычисления

эмпирических

констант А и Л можно производить

по

любой

методике

изложенной например,

в работе

/3 /,

но уравнения

(3.2.14) и (3.2.15) дают

дополнительные

возможности.

Например,

при вычислениях

точки, ( ti)

на экспериментальной кривой можно выб­

рать в

долях t i . Часто

комбинации констант, входящие в уравнения,

не приводят

к однозначному

ответу *

Поэтому всегда стоит

вопрос

о

дополнительном

обосновании

их достоверности.

Большую достовер­

ность

можно обеспечить,

если описать различные опыты.

В

данном

случае

следует

вначале

найти

коэффициенты

А и Л

из

опытов на

простую ползучесть,

а затем

провести корректировку

их при описа­

нии ступенчатой ползучести.

Дополнительную независимую

информацию даст проверка по опи­

санию опытов на релаксацию,

но для этого нужно знать резольвенту

ядра (3 .2 .13).

Она известна и представляет собой знакопеременный

медленно сходящийся ряд,

поэтому практически пользоваться

ей тру­

доемко.

Известен более простой прием нахождения

интеграла от ре­

зольвенты,

предложенный А.П.Бронским

t

t

t

jR(t-v,v)dv -

jK(t-v,v)dv / l+J*K(t-v,v)dv

n

n

'

n

кие формулы,

применяемые для описания частных случаев ползучести

и релаксации

грунтов

/1 ,2 ,3 ,5 /.

Наследственная

теория ползучести легко адаптируется к любым

ф(т), Ф(б) и K(t)

в исходных уравнениях.

Например, в

качестве ф(т)

можно выбирать степенную функцию

(1.3.1)

или ограниченную функцию

(1.3.8) и

другие.

В

параграфе

3.1 использовано экспоненциальное

ядро K (t),

позволяющее получить

уравнение для описания ограниченной ползучести песков

и глин при

любых напряжениях. Функция K (t),

с особенностью при t -О,

применя­

ется для

описания

неограниченной ползучести.

Уравнения,

получен­

твенной ползучести с дробно-линейной функцией K (t).

В качестве

исходного примем нелинейное уравнение

t

4>tT(t)] - t(t)+ Jk (t-v )T (v )d v ,

(3.3.1)

о

- 59 -

В работе /3 /

на основании многочисленных экспериментов для

различных грунтов

рекомендуется следующие выражения <р и К.

ф(г)

Gots

К 8-1)

(3.3.2)

- --------- т

K (t-v) -

'

•ts+GoT

CT+(t-v)]2

здесь Go -

начальный модуль сдвига, t e - предел

текучести, кото­

рые определяются

из

кратковременных опытов.

Для нахождения эмпи­

рических констант

б и т ,

необходимо использовать

опыты на поле;,

честь для

того же грунта.

Выведем прикладные уравнения для описа­

Рассмотрим ползучесть

при

постоянном

т-const. Уравнение

(3.2.1) с учетом

выражений

(3 .3 .2)

запишется

так

*r(t)

г

p Т(б-1)

(3 .3 .3 )

- t ( t ) 1+

--------------

ts+G0T(t)

L

J0 CT+(t-v)3

Деформация

г

после

соответствующих преобразований (3.3.3)

определяется из

следующего выражения

r ( t)

t(T+6t)

(3.3.4)

-1

Т(») -

^ в)]

(3 .3 .6 )

3)

максимальное значение деформации, (3 .3 .6 ),

которое можн

вычислить по формуле (3 .3 .4 ).

Решением уравнения (3.3.1)

относительно т

является соотноше­

ние

t

T (t)

- q>Cr(t)]-jR(t-v)iptr(v)]dv

(3 .3 .7)

О

Если рассматривать

процесс релаксации напряжения ^ (t)

при постоян­

ном значении фСтЗ,

то из (3 .3 .7)

следует

t

t ( t )

- iftr(t)j(l-jR (t-v )d v j

(3 .3 .8)

В этом случае

резольвенту R(t-v)

ядра K(t-v) можно не

определять,

а воспользоваться приближенной формулой

t

t

t

jR (t-v)dv -

jK (t-vjdv[l+jK (t-v)dv]

(3 .3 .9)

0

0

0

т .е . найти интеграл

от ядра релаксации R (t-v).

Подставим в формулу (3.3.9)

jK (t-v)dv

- J-

T(S-l)

(S -l)t

tfv -

T+t

CT+(t-v)]2

и получим искомое выражение

(5 - l)t

(3 .3 ,9 ')

- v )d v --------------

Таким образом,

все необходимые функции,

входящие

в

(3 .3 .8 ),