книги / Обработка и представление результатов эксперимента

где Х и У - истинные значения величин JC и у. Рассчитаем cq , при этом будем

двигаться от наиболее простого и конкретного вида функции q до произволь­

ной функции двух переменных q = q(x, у).

Ре ш е н и е поставленной задачи получим в 4 этапа.

1.Сумма измеренной величины и константы. Вид функции: q = х + А.

Вспомним, что вероятность получения любого единичного значения х в

малом интервале dx определяется выражением

Р(х) ~ е- ^ - Х ) гЫ \ = ехр{-(л - X )2/2 а 2}.

Сделаем замену переменных, учитывая вид функции, х ^ q - А, тогда

Р(х) ~ ехр{-[(9 - А ) - Х]2/1 с 2} = ехр{-[<7 ~(Х + А))2/ 2а2 },

то есть мы получили оценку распределения q с центром в точке (Х+А) и с

ВХ и с шириной Всх, то есть погрешность у величины q ъ В раз больше, чем у величины х.

3. Сумма двух измеренных величин. Вид функции: q х у.

Несмотря на простой вид функции, преобразования проведем в 2 этапа: а) Сначала, для упрощения, предположим, что Х= 0 и У - 0. Тогда

Р(х)~е ~х1/ 2а1 = ехр{-*2/2о*},

Вывод следующий. Значения функции q = х + у распределены нормально

с центром ъ Х= О, У= О и с шириной с д = + сту2 .

б) Теперь рассмотрим общий случай, когда X ф О, Y Ф0. Представим пе­

ременную (х + у) в виде

(х+у) = (х -Х ) + (у-У ) + (Х+У) = (1) + (2) + (3),

где (1), - просто порядковые номера слагаемых в сумме.

В соответствии с п.1 данного параграфа 4.3 слагаемое (1) представляет

нормальное распределение с центром в X = 0 и шириной стх; слагаемое (2) - то же, но с центром в точке Y = 0 и шириной оу; сумма (1) + (2) - в соответствии с

п.За - то же, но с центром ъХ= О, У = 0 и шириной + а ^ ; слагаемое (3) -

Окончательно, распределение q = х + у нормально с центром в (X + Y)

и шириной распределения ст^ = \ + Gy

4. Произвольная функция двух переменных. Вид функции: q = q (х, у).

Разложим функцию q в ряд вблизи точки (X, У ) и рассмотрим х, близкие к

X, у - к У, то есть будем иметь в виду малые погрешности, которые на практике реализуются наиболее часто:

где (1), - номера слагаемых в сумме.

Слагаемое (1) - значение функции в конкретной точке - фиксированное

число, которое смещает центр нормального распределения в точку q (X, У).

Слагаемое (2) - это фиксированное число (производная, вычисленная в

1дх\Х,У)

мое (3) - нормальное распределение с центром в У= 0 и шириной распределе-

Сумма двух слагаемых (2) + (3) представляет нормальное распределение

с центром в Х= О, Y = 0 и шириной

Таким образом, все три слагаемых разложения функции в ряд показыва­ ют, что косвенные результаты, рассчитанные по функции д = д (х, у), распреде­ лены нормально с центром около значения д(Х, Y) и шириной распределения

Если рассматривать сх и су как погрешности единичных измерений величин х и у, то мы обосновали правило квадратичного сложения ошибок для косвенных измерений в общем виде.

5. Объединение результатов разных измерений

Часто бывает так, что одна и та же физическая величина измеряется неза­ висимо в разных экспериментах и даже в разных лабораториях. В связи с этим встает вопрос: как объединить эти результаты, чтобы получить единую (и единственную) наилучшую оценку ?

Пусть два человека А и В тщательно измеряют величину х и получают следующие результаты:

Как их объединить ?

Если | ха " *в\» аА>°В, то измерения противоречивы, где-то не доста­

точно корректно учтены систематические ошибки или проявилась какая-то дру­ гая причина сильного расхождения результатов.

Пусть | jc^ —jc^| ^ ст^,ог^ и в общем случае. Объединить ре­

зультаты в виде среднеарифметического X = х = (хд+хд)12 нецелесообразно, так как это делает одинаково важными оба результата, хотя более точному от­ счету следует отдать большее предпочтение - приписать ему больший вес.

Для решения задачи используем принцип максимального правдоподобия (см. выше). Предполагаем, что результаты обоих измерений подчиняются рас­ пределению Гаусса. Вероятность получения х^

аА

аналогично вероятность получения хд

здесь введена сумма квадратов

Согласно принципу максимального правдоподобия, наилучшей оценкой для X при известных хА,хд, ст^, ад будет такое значение X, при котором

Рх (*Ау*в ) будет максимальной или р2 - минимальной. Это означает, что

противление одного и того же проводника и были получены следующие ре­ зультаты:

Ответ: R = (11,4 ± 0,7) Ом.

Если провести объединение только первых двух*результатов, то получит­ ся ответ: R = (11,5 ± 0,7) Ом.

Как видно, третье измерение - наиболее грубое - не имеет большого влияния в объединенном по всем трем измерениям результате.

6. Отбрасывание данных

Зададим себе вопрос: нужно ли отбрасывать результат измерений, кото­ рый кажется до такой степени неразумным, что похож на ошибку ? Закономе­ рен этот, на первый взгляд, подозрительный результат или же является следст­ вием ошибки при измерениях ?

Есть вероятность, что «аномальный» результат отражает некоторые важ­ ные эффекты. Многие научные открытия сначала выглядели как аномальные результаты измерений, похожие скорее на ошибки.

Единственно честная реакция при встрече с подобными данными - по­ вторить измерения много раз. Если провести измерения 100 раз, то не будет существенной разницы для конечного результата - включать аномалию или нет

в обработку данных. Но непрактично, а часто и слишком дорого проводить сотню измерений. Существует ряд критериев, с помощью которых можно от­ вергнуть подозрительный результат. Рассмотрим простой критерий Шовепе

для результатов, которые подчиняются распределению Гаусса, сначала на про­ стом примере, а затем сформулируем общую методику оценки подозрительного результата с использованием этого критерия.

Пусть мы измерили период колебаний маятника Г,с и получили N = 6

следующих результатов:

3,8; 3,5; 3,9; 3,9; 3,4; L 8.

Видно, что последнее значение Те = 1,8 отличается от остальных. Если его от­ бросить, то среднее значение периода будет Т = 3,7; если оставить, то Т = 3,4. Результаты существенно отличаются при малом числе измерений.

Вычислим вероятность получения результатов, которые так же сильно отличаются от среднего значения:

Р (вне 2GT) = 1 - Р (в пределах 2стг) = 1 - 0,95 = 0,05. З а м е ч а н и е : значение 0,95 взято из параграфа 3.4.

Таким образом, только один результат из двадцати (0,05 • 20 = 1) может отличаться на de = 1,6.

Но мы проделали не 20, а 6 измерений, тогда допустимое число таких аномальных результатов, как наше Т = 1,8, среди 6 измерений будет равно 0,05 • 6 = 0,3 (ясно, что число должно получиться не целое). Это число 0,3 - ме­ ра разумности подозрительного результата.

Согласно критерию Шовене, если число ожидаемых подозрительных из­ мерений меньше чем 0,5 , то полученный аномальный результат следует ис­ ключить из дальнейшей обработки. Результат 1,8 отбрасываем.

Методика оценки подозрительного результата:

1. Проводим N измерений величины х и получаем значения: Х\у , х м.

dk = \хк -Ц и число стандартных отклонений /*, на которое х* отличается от х : tk =dk /a x .

4. Находим по графику или таблице вероятность Р (вне tk ax )~ вероят-

ность того, что единичное измерение будет отличаться от среднего значения на tk или более стандартных отклонений.

5. Вычисляем число ожидаемых измерений п из общего числа Nyкоторые дают столь же плохие результаты, как и Xk'.n =N • Р (вне • сгх).

6. Если п < 0,5 то подозрительный результат Хк не удовлетворяет критерию Шовене и отвергается.

7.С меньшим (на один) набором результатов проделываем следующее: вычисляем новые х и ах .

8.Важно ! Вторично с уменьшенным набором результатов методика Шовене не применяется. Но с первоначальным полным набором данных (до от­ брасывания) критерий Шовене может быть использован к нескольким подозри­ тельным результатам.

Пример. Провести оценку подозрительных результатов со следующим