книги / Обработка и представление результатов эксперимента

в)

отбрасываем число 58 и с оставшимися 9 числами проводим расчет

j =44,4;

а х = 2,9.

7. Задачи

Задача 1. Вычислить выражение

q = (5 ± 1) + (8 ± 2) - (7 ± 1).

Р е ш е н и е

Наилучшая оценка: q = 5 + 8 - 7 = 6.

Абсолютная погрешность:

Ддг=1+2 + 1=4.

Ответ: <7 = 6 ±4.

Задача 2. Вычислить выражение

q = (5 ± 1) • (8 ±.2).

Р е ш е н и е

Наилучшая оценка: q = 5 • 8 = 40.

Относительная погрешность: zq = 1/5 + 2/8 = 0,2 + 0,25 = 0,45.

Абсолютная погрешность: tsq = 40 • 0,45 = 18 « 20.

Ответ: q = 40 ± 20.

Задача 3. Вычислить выражение

q = (10 ± 1) / (20 ± 2).

Р е ш е н и е

НаилУЧшая оценка: q = 10 / 20 = 0,5.

Относительная погрешность: eq = 1/10 + 2/20 = 0,1 + 0,1 = 0,2.

Абсолютная погрешность:

Ад = 0,5 • 0,2 = 0,1.

Ответ: q = 0,5 ± 0,1.

Относительная погрешность: га = —

^ = 0,5-4/16 =0 125

41

2

х

Абсолютная погрешность: Aqx= 4 • 0,125 = 0,5.

Ответ: л/16 ± 4 = 4,0 ± 0,5.

2. Вычисляем (2): q2= (3,0 ± 0,1)3.

Наилучшая оценка: (3,0)3 = 27,0.

Относительная погрешность:

га. =3 ~

=

3 - 0,1 / 3,0

= 0,1.

41

х

Абсолютная погрешность: bq2= 27,0 • 0,1 = 2,7.

Ответ: (3,0±0,1)3

=27,0 ±2,7.

3. Вычисляем произведение (2) • (3): q3= (27,0 ± 2,7) • (2,0 ± 0,1).

Наилучшая оценка:

27,0 • 2,0 = 54,0.

Относительная погрешность:

е^3 = 2,7 / 27,0 + 0,1 / 2,0 = 0,15.

Абсолютная погрешность: Aq3= 54,0 • 0,15 = 8,1.

Ответ: (27,0 ± 2,7) • (2,0 ± 0,1) = 54,0 ± 8,1.

4. Вычисляем сумму

qx+ q3: q =(4,0 ± 0,5) + (54,0 ± 8,1).

Наилучшая оценка:

4,0 + 54,0 = 58,0.

Абсолютная погрешность: Aq = 0,5 + 8,1 = 8,6.

Окончательный ответ задачи: q = 58,0 ± 8,6 « 58 ± 9.

Задача

8. Покажите,

что

среднее

арифметическое N отклонений

d\, d2, ..., dff

равно нулю.

Р е ш е н и е

N i=l

N ,

N

i

N

Задача 9. Чтобы вычислить стандартное отклонение ах для N измерений

х 1, JC2, , xN,

необходимо рассчитать сумму Х(-г/ - ^)

Докажите, что ее

можно представить в виде

£(*,- - х)2 = Х (х/)2 - N - x 2

Р е ш е н и е

По определению

=GU/ J N

Пусть количество измерений необходи­

мо увеличить в к раз,

тогда

= ои/^ к -И Отношение погрешностей

дующем математической связи этих

переменных: у = у(х) (например, для

получения вольт-амперной характеристики

I = I(U) какого-либо элемента).

Наиболее простая и важная связь - линейная

вида у = Л + Вх, которая является

частью более общего полинома типа

у = А + Вх + Сх2 + Dx3 +

упрощения будем предполагать, что Ах «

Ау, поэтому величинами Ах будем

пренебрегать, кроме того, считаем, что все Ау одинаковы по величине.

Задача состоит

в том, чтобы определить

наилучшую

прямую

линию

у = А + Вх, аппроксимирующую набор

экспериментальных

точек

(,гь у \\

(*2,У2\ .

(*ы,Ун\ иными словами, требуется рассчитать коэффициенты А и В.

Зная А

и Ву

мы могли

бы для любого значения х, вы­

числить

«истинное»

значение

= А + Вх( (рис.8.1). Предполага­

ем, что результат измерения каж­

дого у,

подчиняется

распределе­

нию Гаусса с центром на истин­

ном значении У, и с шириной

распределения

су,

одинаковой

для всех измерений.

Вероятность получения единичного у,

определяется выражением

Ру. ( Л) *

шJ _ е- ( * - л-& ,)2/ 2о2 = рА в{у>)

1

G y

G y

Вероятность получения всего набора N точек

РаМУ1’ - ’Ун ) = раМ у^ ' - 'PAM ? N ) *

е~Р ^2.

Оу

ЭВ2

2 N

- л - Л / ) - о,

® г

= - 4 Е ( л

дА

Оу /=1

ЭВ2

2

^

дВ

<3Ly

/=1

Решение этой системы:

. 5 > ? Е Л - 5 > /5 > /Л

А ~

Z

*

3 N 'Z xjyi-'Z xj'Z yi

Z

где

Z = N Y x f - ( Z x i)2

(8.1)

Q - I Xrfj - x'Zyj

Z(Xj ~ х)у,

I.XjXj-x'EXi

'

N =a 2

Gy2,

G2 = а 2 IN ,

О \

N

7

— L

(y i- A -B x j)2

N i=1

Ha практике наилучшей оценкой является выражение для Gy, в котором

произведена замена N —>N - 2, то есть выражение

9

1

*

9

данные JCI, JC2,

хы использовали для вычисления среднеарифметического зна­

чения

x = Y,xi/N

Это оставляло только (ЛМ)

независимых

значений

JCI, JC2,

или

(AM)

степеней свободы.

В

методе

наименьших квадратов произвели

измерение

N точек

(х2ууг),

(JCM yri) и перед расчетом о> вычислили коэффициенты А и В,

2

тг,ОдА

2.

2

у

ayi)\2

GA~

сту/)

7 > 1

i

tyi

После подстановок и преобразований получаем

2 _

2

2

2

К

<*В=°у

где Z определяется выражением (8.1).

8.4. Аппроксимация полиномом

Часто зависимость у = у (х)

не является линейной, в этом случае для по­

лучения функциональной зависимости у

= у (х) можно использовать полином

у = А + Вх + Сх2 + Dx? +

Например, для

квадратичного

полинома у = А + Вх + Сх2, чтобы

определить

значения

коэффициентов Ау

В, С, необходимо минимизировать

f

= U y i - A - B Xi-C x f)2/ o 2y ,

1= 1

то есть рассчитать производные

^

= 0;

^

= 0;

3^ = 0

а 4

дВ

дС

В результате получается система трех уравнений для определения трех

коэффициентов А, В, С полинома у = А + Вх + Сх2

8.5. Экспоненциальные функции

В

физике

ряд

зависимостей

между двумя переменными

имеет вид

п

где А и В - постоянные, подлежащие определению. В этом случае

у = А е ,

поступают

следующим

образом.

Логарифмируют исходное

выражение

дем предполагать, что Ах, « Ау„ поэтому величинами

А*/

будем пренебре­

гать. В отличие от рассмотренного случая

считаем, что

Ау,

разные. Иными

словами, у\ имеет погрешность сгь уг - с ъ

; (ty. Задача состоит в том, что­

р2 = 1(л - A - fix,)2А,2 = Z®,Ov - Л - fix,)2,

1= 1

/=1

ав2

N

~ г

=”2 Y,®i(yi - A - B x j) = 0 ,

дА

/=1

ав2

N

~ г

= “2 ХсО;(д'/ - A-Bxj)-Xj = 0.

дВ

/=1

деления коэффициентов полинома А и В:

ЛХ>/ + 5 2 > ,х , =

;

Л2> ,х , + fi2>,-x,2 = 1> ,х ,л

Решение этой системы:

1 _ Е СО/Х,21

- £ <о,х,XЮ/Х/У, . д

Z Ю, X^,Х,\У/ - Z СО/Х,X С0,У, ,

Z

Z