книги / Математическая логика и теория алгоритмов. Логика предикатов

с ~ { у \ у > ЮО} обозначает буквой С множество всех чисел, больших 100.

Ещё один способ определить множество основан на принципе мате­ матической индукции. Такое определение называется индуктивным3 и состоит в указании правил, согласно которым принадлежность предме­ тов данному множеству выводится из принадлежности ему других пред­ метов. Например, множество N натуральных чисел можно определить следующими тремя правилами.

1. 1 € N.

2. Если х € N, то х + 1 G N.

3.Никаких других элементов, кроме определяемых правилами 1 и 2, множество N не содержит.

Эти правила для любого предмета х определяют, верно ли, что х € N. Таким образом, соответствие этим правилам можно рассматри­ вать как характеристическое свойство элементов множества N.

Для многих множеств существуют общепринятые обозначения. На­ пример, числовые промежутки обозначаются выражениями вида (й, 6), (а, Ь], [а, 6), [а, 6]. Множества натуральных, целых и действительных чи­ сел будем обозначать символами N, Z и R соответственно34.

Одно и то же множество может быть определено разными способа­ ми. При этом в определении иногда удобно использовать многоточие — в тех случаях, когда из контекста ясно, что оно означает. Например,

А = [ 0, 1] = { я | 0 ^ я ^ 1};

В= R = (-оо, оо);

С= {х | х есть натуральное число, меньшее 2010} =

= {1,2,...,2009} =

= {х | (я - 1)(* - 2)... (х - 2009) = 0} =

= { x \ x e N A x < 2010}.

3Или рекурсивным: исторически сложилось, что математический термин «индук­ ция» в некоторых случаях оказался замещённым термином «рекурсия» (и в таком виде перешёл в информатику).

Специальный шрифт даёт возможность использовать символы JV Z и R в других целях.

ментов есть определение некоторого одноместного предиката, и наоборот. Как мы уже видели, характеристические свойства элементов неко­ торых множеств можно задавать, используя общепринятые математиче­ ские обозначения. Например, множество положительных чисел опреде­

ляется с помощью неравенства х > 0:

(0, +оо) = {х | х > 0},

а множество Р корней многочлена р — с помощью равенства р(х) = 0:

р = {х\ р(х) = 0} .

Отсюда следует, что некоторые математические формулы (в частности, равенства и неравенства) являются определениями предикатов. При про­ ведении логических рассуждений с неоднократным использованием та­ ких формул естественно обозначать их предикатными символами.

Пример 1.3. Обозначив предикатным символом R характеристи­ ческое свойство множества {1,2,3}, можно вместо

(;х - 1)(ж - 2)(ж - 3) = 0

писать просто R(x). Смысл этих выражений одинаков: х Е {1,2,3}.

Предикатный символ может быть использован для определения раз­ ных предикатов и множеств.

Пример 1.4. Обозначим предикатным символом D свойство дели­ мости на 3. Имеем:

•Do = {х | D(x)} есть множество целых чисел, делящихся на 3;

•D\ = {х | D(x + 2)} есть множество целых чисел, дающих при делении на 3 в остатке 1;

•D2 = {я | D{x + 1)} есть множество целых чисел, дающих при делении на 3 в остатке 2.

Действительно, (ж + 2) делится на 3 тогда и только тогда, когда х при делении на 3 дает в остатке 1, а (ж-Ь1) делится на 3 тогда и только тогда, когда х при делении на 3 дает в остатке 2.

Заметим, что если одно из трёх множеств Д)» А и D2 определено, то два других могут быть определены через него, например:

D\ “ {ж | х —1 Е Д)}>

D2= {х | ж - 2 G Д)}.

1.3. Универсальное множество

Представим себе, что мы изучаем успеваемость студентов некоторо­ го вуза и в процессе такого исследования определяем различные множе­ ства: множество отличников, множество учащихся без троек, множество имеющих не более одной задолженности и т. п. Дадим определения этих множеств:

А= {х | х есть отличник},

В= {х | х учится без троек},

С= {х | х имеет не более одной задолженности}.

Эти определения сами по себе нельзя считать удовлетворительными, ведь, например, из определения множества А неясно, о каких отличниках идет речь: предполагаем ли мы рассматривать студентов какого-то опре­ делённого вуза, и тогда какого именно, или всех студентов вообще, или учащихся каких-то школ, или, может быть, нас интересуют отличники какого-то производства.

Таким образом, где-то должна быть указана более определённая ин­ формация об интересующих нас отличниках. Но делать это в каждом новом определении неудобно, причём не только потому, что слишком громоздко. Более важна другая причина: возможно, аналогичное иссле­ дование будет проводиться и в других вузах, и тогда придётся все мно­ жества переопределять заново.

Поэтому в работе со множествами принят следующий подход. Все множества, о которых идёт речь в некотором конкретном рассуждении, рассматриваются как подмножества некоторого «большого» множества, которое называется универсальным множеством. Так, если описыва­ ется исследование успеваемости в ПГТУ, то множество всех студентов ПГТУ определяется как универсальное. После этого характеристическое свойство элементов универсального множества — в данном случае свой­ ство быть студентом ПГТУ — при определении его подмножеств можно не указывать, данные выше определения множеств А, В к С становятся корректными. И если мы затем будем описывать аналогичные исследова­ ния успеваемости в нескольких различных вузах, то нам не нужно будет при переходе к рассмотрению нового вуза переопределять все множества, а достаточно будет переопределить только одно — универсальное.

Определение 1.3. Множество М = {х \ х fi М} называется допол­ нением множества М.

некоторой группы, a G —множество девушек этой группы, то В = G — множество юношей.

1.4. Декартово произведение множеств

Вспомним, как задаются декартовы координаты на плоскости. Рас­ сматриваются две перпендикулярные прямые, которые называются ко­ ординатными осями. Одну из них —.ось абсцисс — традиционно рас­ полагают на чертеже горизонтально, другую — ось ординат — верти­ кально. Точкам осей ставятся в соответствие действительные числа: абс­ циссы возрастают вдоль оси слева направо, ординаты — снизу вверх.

ной плоскостью. Координаты точек за­ писываются в виде (я, 2/), где х — абсцисса, у — ордината.

Ещё проще прямую превратить в координатную прямую: достаточ­ но выбрать на ней две различные точки О и X, первой поставить в со­ ответствие число 0, второй — число 1. Единственной координатой про­ извольной точки А является число, равное по модулю отношению длин отрезков ОА и О Х , положительное, если точки А и X находятся по одну сторону от О, и отрицательное в противном случае.

Решая математическую задачу, можно вместо действительных чисел рассматривать соответствующие им точки координатной прямой, отож­

дествляя тем самым эту прямую со множеством R. Оси абсцисс и орди­ нат координатной плоскости являются координатными прямыми. Зна­ чит, каждая из них может отождествляться со множеством R. Напри­ мер, так поступают, когда говорят о графике функции: числу х, которое отождествляется с точкой оси абсцисс, функция / ставит в соответствие число у = /(х), которое отождествляется с точкой оси ординат. Про­ ведённые из этих точек перпендикуляры к координатным осям пересе­ каются в точке плоскости, лежащей на графике.

Итак, каждой точке координатной плоскости взаимно однозначно сопоставляется упорядоченная пара действительных чисел. Новая тер­ минология здесь интуитивно понятна, но ввиду её важности мы уде­ лим ей особое внимание. Когда говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие7, имеют в виду, что каждому элементу множества А однозначно соответствует элемент мно­ жества В и каждому элементу множества В однозначно соответствует элемент множества А. Когда идёт речь об упорядоченной паре предме­ тов, имеется в виду, что эти предметы рассматриваются вместе и при этом определено, какой из них является первым, а какой вторым. В на­ шем случае упорядоченность означает, что точки с координатами (а, 6) и (Ь, а) —вообще говоря, разные точки. Таким образом, введение декар­ товых координат устанавливает взаимно однозначное соответствие меж­ ду множеством всех точек плоскости и множеством всех упорядоченных пар действительных чисел. Эти множества зачастую отождествляются — например, при изображении графиков или при решении геометрических задач аналитическими методами.

Определение 1.4. Декартовым произведением А х В множеств А и В называется множество всех таких упорядоченных пар (а, 6), что а G А и b е В.

Декартово произведение А х А короче обозначается через А2 и на­ зывается также декартовым квадратом множества А. Таким образом, координатная плоскость отождествляется с декартовым квадратом R2.

Пример 1.9. Пусть на балу присутствуют юноши и девушки. Обо­ значим множество юношей буквой В, девушек — буквой G. Тогда В х G есть множество всех потенциальных пар —участниц танцев. Множество

7Часто используется и более короткий термин —биекция.

G xB —тоже множество всех потенциальных пар — участниц танцев, но это другие пары. Если в танцах участвуют Эмми Нётер с братом и Да­ вид Гильберт с сестрой, то, услышав «Вот танцуют Нётер и Гильберт», можно делать вывод о том, кто имеется в виду, только зная, об элементе какого из множеств В х G и G х В идёт речь.

По аналогии с упорядоченными парами можно рассматривать как единое целое наборы из трёх и более предметов, взятых в определённом порядке. Такие объекты называют по-разному: упорядоченные наборы, конечные последовательности, упорядоченные п-ки. Мы будем исполь­ зовать наиболее короткий термин.

Определение 1.5. Набор из п предметов произвольной природы, взятых в фиксированном порядке, называется кортежем (длины п).

Определение 1 .6 . Декартовым произведением Х\ х ... х Х п мно­ жеств X i, ... , Хп называется множество всех таких кортежей (a?i,. .. , хп)

и называют это множество n -Й (декартовой) степенью множества X. Вместо (® i,... , хп) Е Х п чаще пишут х\у... , хп Е X . Множество X 1 кортежей длины 1 отождествляется со множеством X. По определению полагается, что Х° = 0 .

П ример 1.1 0 . Элементы множества R3 можно рассматривать как точки трёхмерного эвклидова пространства. В таком случае числа

х, у и z называются соответственно абсциссой, ординатой и апплика­ той точки (Z , Î/,Z) Е R3. Для элементов множеств Rn, где п > 3, нет таких удобных геометрических интерпретаций, как для случаев п ^ 3, что не умаляет роли этих множеств в современной математик#.8

8В линейной алгебре символом Rn обычно обозначаются множества не сами по себе, но с вместе с заданными на них двумя алгебраическими операциями: сложения и умножения на действительное число. В таком случае элементы множеств Rn — числовые кортежи длины п — получают статус векторов, а сами множества Rn —

линейных пространств.

Пример 1.11. Пусть в городе N проходят выборы на три различ­ ных должности: мэра города, депутата парламента от данного округа и председателя Союза борьбы жителей города N против всех офици­ альных структур. Виды бланков избирательных бюллетеней определяют три множества: М — кандидатов на должность мэра, D — кандидатов на должность депутата и Р —кандидатов на должность председателя сою­ за. Следовательно, М x D x P есть множество всевозможных наборов из трёх конкретных людей, которые по результатам выборов могут оказать­ ся в креслах мэра, депутата и председателя. Таким образом, заполняя бюллетень, избиратель фиксирует некоторый конкретный элемент мно­ жества М х D х Р.

У пражнение 1.2 . Докажите, что для любого множества X имеем

0 х Х = Х х 0 = 0 .

Говоря о кортеже, не обязательно перечислять все его элементы, можно обозначить его просто одной буквой. Так же можно поступить со множеством, определённым как декартово произведение. И тогда, на­ пример, вместо нескольких соотношений хг е Х\, ..., хп € ХП) можно

z = (x,y) = ((a,6),(c,d)).

Чтобы придать смысл построению таких объектов, их естественно отож­ дествить с более простыми. Например, удобно считать, что

г = ((а,Ь), (с,d)) = (о, Ь, с, d).

Для обоснования такого подхода уточним данные выше определения. Понятие «упорядоченная пара» будем считать определённым доста­

точно ясно. Понятие «кортеж» определим индуктивно.

1. Любой элемент универсального множества U является кортежем длины 1.

°Экономия места — не единственная причина так поступать. Невозможно изучать математику, не вырабатывая умения мыслить «свёрнутыми структурами> — воспри­ нимать сложное как простое; в частности, кортеж — как единое целое, а не просто набор элементов. Короткие обозначения помогают выработке такого умения.