книги / Математическая логика и теория алгоритмов. Логика предикатов

Наиболее часто используемая логическая связка, кроме введённых выше, называется эквиваленцией и обозначается знаком

F <+ G ^ (F -> G) Л (G -> F).

Как видно из этого определения, эквиваленция служит для формальной записи часто используемого в математических текстах выражения вида «F тогда и только тогда, когда G», где F и G — некоторые утвержде­ ния (напомним, что для передачи того же самого смысла существуют и другие стандартные словесные конструкции — см. начало главы I).

Пример 3.12. Запишем на формальном языке утверждение «Число делится на б тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3»: а) без знака эквиваленции, б) с ним.

Переформулируем утверждение так: «Для всех х имеет место свой­ ство: если х делится на 6, то а; делится на 2 и а; делится на 3; и если х делится на 2 и £ делится на 3, то х делится на 6». На формальном языке получаем:

Vz((6 | х -> (2 | х А 3 | а:)) А ((2 | х А 3 | х) -> б | а;)). Со знаком эквиваленции получаем:

Va?(6 | х «-> (2 | х А 3 | а?)).

Рассмотрим ещё один удобный способ сократить формальную запись и сделать её более наглядной.

Пусть F —логико-математическая формула. Тогда выражения VxF и тоже являются логико-математическими формулами. При этом предполагается, что переменной х может быть поставлен в соответствие любой элемент универсального множества, что не всегда удобно: напри­ мер, формула F сама может содержать квантор, стоящая после которого переменная принимает значения из другого множества — какое множе­ ство в этом случае считать универсальным? Поэтому в математических текстах множество значений переменных часто специально указывается.

Втаких случаях используются выражения вида:

1)Для всех х € М имеет место свойство F\

2)Существует х € М, для которого имеет место свойство F .

На формальном языке пишут соответственно Va; G M(F) и За; € M(F). Исследуем смысл этих выражений.

Нетрудно понять, что выражения 1 и 2 могут быть сформулированы равносильным образом так:

1*) Для всех x f если х € М, то F;

2*) Существует такое х , что х € М и F.

А также так:

1**) Не существует такого х, что х fi М и F;

2**) Неверно, что для всех х если х G М, то -*F.

Далее, отметим, что выражение х € М является не чем иным, как обо­ значением предиката. Формулу F тоже можно рассматривать как пре­ дикат, зависящий от переменной х. Положим

М(х) ^ х € М;

F(x) ^ свойство F имеет место.

Получаем следующие переводы выражений 1 и 2 соответственно на язык логики предикатов:

Vх(М(х) -> .F(x)) = ->3x(M(х) A ->F(х));

Зх(М(х) Л F(x)) = -лVx(M(x) -¥ ->F(x))

(соотнесите с примером 3.3). Таким образом,

Va; G M(F) ^ Vx(x е М F); 3 x e M ( F ) ^ 3 x { x e M / \ F ) .

У пражнение 3.4. Является ли верным перевод выражения 2 фор­ мулой Зх(М(х) ->> F(x))? Почему?

П ример 3.13. Пусть универсальное множество U = R. Тогда:

Vx > 1(х2 > х) & Vx((x > 1) -> (х2 > х)); Зх < 1(х2 > х) -ФФ- Зх((х < 1) Л (х2 > х)).

Вообще, в выражении Vx G М(Р(х)) вместо предикатах G М может стоять другой предикат, определяющий множество М.

Заметим, однако, что нельзя писать, например,

VI < х < 100(Р(х)), 31 < х < 100(Р(х)),

поскольку квантор должен относиться к символу, следующему непосред­ ственно за ним. Таким образом, сочетание символов типа VI бессмыслен­ но. Правильными выражениями являются соответственно

Vx G (1,100)(Р(х)), Зх G (1,100)(Р(х)).

Выражения типа Vx > у(Р(х)) допустимы в случае, когда из кон­ текста ясно, что у — константа: тогда множество {х \ х > у} определено, иначе — нет.

Проиллюстрируем рассмотренный способ сокращения логико-мате­ матических формул, записав формально классическое определение из курса математического анализа22.

Число а называется пределом функции f в точке XQ, если для любого е > 0 найдётся такое 8 > 0, что для любого х ф хо имеем: если |х - хо| < 8, то |/(х) - а| < е.

Пусть функция / задана. Тогда по своему смыслу утверждение, что она имеет в точке хо предел а, является двуместным предикатом: оно истинно или ложно в зависимости от значений двух параметров XQ и а. Будем для определённости считать, что хо,а G R, то есть универсаль­ ным множеством является R. Остальные использованные в определении переменные Е, 8 и х играют вспомогательную роль: они являются связан­ ными2324и на местность предиката влияния не оказывают: выше мы уже говорили, что это явление происходит всякий раз, когда используются кванторы.

Таким образом, определение предела функции выражает^4 следую­ щее. Для данной функции f определяется двуместный предикат — отоб­ ражение множествам2 во множество В. Если для пары чисел (а, хо) G R2

“ Определение предела функции по Коши или на языке эпсилон-дельта. 23Или немыми.

24<В переводе на непонятный язык». Пользоваться таким языком в повседневной речи не стоит, но владеющий им отучается произносить слова только потому, что они красивые и длинные, а говорит только то, что понимает.

он принимает значение И, то число а называется пределом функции f в точке XQ. Этот факт символизируется записью а — / 0 е), кото­ рая является не чем иным, как индивидуальным предикатным символом.

На формальном логико-математическом языке имеем:

а = lim f(x) Ve > 035 > OVx ФXO(|Æ - хо| < 5 \f(x) — a\< e).

X—tXf)

Задачи

Везде ниже P и Q — предикатные символы.

3.1. Докажите, что выражения

Vx(P(x) A Q{x)) и \УхР{х)) Л ('ixQ(x))

имеют одинаковый смысл.

3.2. Докажите, что выражения

Ух(Р(х) V <?(я)) и (УжР(я)) V (VxQ(x))

имеют разный смысл. Для этого найдите такие предикаты Р и Q, чтобы одно из выражений было истинно, другое — ложно.

3.3. Докажите, что выражения

3х(Р(х) V Q[x)) и (3хР(х)) V (3xQ(x))

имеют одинаковый смысл.

3.4. Докажите, что выражения

3х{Р{х) A Q(x)) и (3хР{х)) А (3xQ(x))

имеют разный смысл.

3.5. Одинаков ли смысл выражений

ЩР{х) Q{x)) и (V®P(s)) О (4xQ(x))?

3.6. Одинаков ли смысл выражений

3.7.Выполните задание примера 3.12, не используя квантор всеобщности и конъюнкцию.

3.8.Четверо преподавателей некоторой кафедры обсуждали свои представледния о том, что такое лёгкая контрольная работа. Каждый дал своё определение. Обозначим эти определения буквами a, 6, с, d:

акаждую задачу решил хотя бы один студенщ

Ь^ хотя бы один студент решил все задачц

с Î=± каждый студент решил хотя бы одну задачу, d *=* хотя бы одну задачу решили все студенты.

• Запишите определения а, 6, с, d на формальном языке.

•Сформулируйте по-русски отрицания ->а, —»6, -ic, -id.

•Из всех возможных импликаций: а —> Ь, b —ï с, с —>а и т. д. — выберите верные.

•Есть ли среди определений лёгкой контрольной равносильные?

•Равносильны ли высказывания: «Есть задача, которую решили не все» и «Есть студент, который решил не всё»?

3.9.Рассмотрим следующее известное рассуждение из советской песен­ ной классики: «В хоккей играют настоящие мужчины. Трус не иг­ рает в хоккей». Какой из него следует вывод?

•Настоящие мужчины — не трусы.

•Трусы — не настоящие мужчины.

•Множества трусов и ненастоящих мужчин совпадают.

•Никакой вывод не следует.

Ответы, указания, решения

1.1. Поскольку В = [a,d], имеем:

А х В = ([а, Ь] х [а,tfj) U ([с, d\ х [а, cf]).

Это множество изображается на плоскости R2 двумя прямоуголь­ никами.

1.2. Множество {О, I} 2 содержит четыре элемента: (0,0), (0,1), (1, 0), (1, 1). При определении какого-нибудь подмножества для каждого из этих элементов определяется одно из двух: входит он в подмно­ жество или нет. Значит, всего подмножеств 24 = 16.

1.3.Каждому элементу (xyy,z) Е А х В х С поставим в соответствие элемент {y}z,x) Е В х С х А.

1.4.Допустим, что Л С В и С С D. Тогда если х Е А х С )то х = (xi, хг), где х\ Е А и х2 Е С. Значит, х\ Е В и хг Е Д а тогда х Е В х D. Поскольку выбор элемента х 6 А х С произволен, заключаем, что

Ах С Ç В х D. Наоборот, допустим, что А х С С В х D. Тогда

если х Е А и у Е С, то (х, у) € А х С. Значит, (х,г/) Е В х D, а тогда х Е В и у Е D. Таким образом, AÇ. В и С Ç D. Заметим, что второе рассуждение справедливо только в предположении, что оба множества Л и С не пусты. Если же, например, Л = 0 , то для любых множеств В, С и D имеем

A x C = 0 x C = 0 C B x D ,

при этом соотношение С %D может быть верным.

Для к = 2 задача решена. Решение для к > 2 выведите из ра­ венств (*) и (1.1).

1.6. Искомое количество предикатов равно количеству подмножеств множества U2) которое содержит 52 = 25 элементов. Число под­ множеств множества U2 равно 22° (см. решение задачи 1.2), то есть больше тридцати миллионов.

2.1.Докажем, например, первое равенство. Базой индукции считаем за­ кон де Моргана для двух высказываний: -i(aj V аг) = (-»ai) Л (-^аг). Допустим, для данного п ^ 2 требуемое доказано:

->(ai V V an) = (—*ai) Л ... A (->an).

Отсюда, используя закон де Моргана для двух и для п высказыва­ ний, получаем:

-»(ÛI V ... V an+1) = -i((ai V V ап) V an+i) =

=H a , V Va„))A (-« * « ) =

=(("’ûi) Л ... A (~'an)) A (-’On+i) =

=(~’ûi) A ... A (-1a„) A (-’ûn+i)-

Qi = (sa , ... , 5j„), что высказывание p истинно, если и только если (ai,... , ап) Е Р. Для каждой пары (г,у) положим

Получаем то, что требовалось:

(а, 6, с) € {(Л, Л, Л), (Л, И, Л), (И, И, Л)}.

Следовательно, р = (а V b V с) А (о V (-A) V с) А ((-кг) V (-»Ь) V с).

2.5. Если высказывание р не'является тождественно истинным или тож­ дественно ложным, то т — некоторое число от 1 до 2П —1.

3.1.Каждое из выражений означает, что значениями Р(х) и Q(x) явля­ ется И для всех х € U (оба предиката Р и Q являются тождественно истинными).

3.2.Определим предикаты Р и Q на универсальном множестве U = К:

Р(х) O x ^ Q , Q(x) х < 0.

Очевидно, что утверждение Vx(P(x) V Q{x)) является истинным,

а утверждение (VxP(x)) V (VxQ(x)) —ложным.

3.3.Каждое из выражений означает, что для некоторого х е U хотя бы одно из значений Р(х) и Q(x) есть И (хотя бы один из предикатов Р и Q не является тождественно ложным).

3.4.Пусть предикаты Р и Q определены так же, как в решении зада­

чи 3.2. Тогда утверждение (ЗяР(а;)) A (3xQ(x)) является истинным,

аутверждение Зх(Р(х) A Q(x)) — ложным.

3.5.Выражения имеют разный смысл. Действительно, пусть предикаты Р и Q определены так же, как в решении задачи 3.2. Тогда утвер­ ждение (УхР(х)) 4+ (VÆQ(X)) является истинным, а утверждение

Vx(P(x) ++ Q(x)) — ложным.

3.6.Выражения имеют разный смысл. Действительно, пусть предикаты Р и Q определены так же, как в решении задачи 3.2. Тогда утвер­ ждение (3хР(х)) f* (3xQ(x)) является истинным, а утверждение 3х(Р(х) •H' Q(x)) — ложным.

3.7.Чтобы уменьшить количество скобок, договоримся, что отрицание выполняется раньше дизъюнкции. Используя выражение имплика­

ции через дизъюнкцию и отрицание и законы де Моргана, получаем:

3.8. Пусть S — множество студентов, P — множество задач. Определим двуместный предикат R: 3 x Р В:

R(x, У) ^ студент х решил задачу у.

• Определения а, Ъ, с, d на формальном языке:

а = Уу е РЗх е 5(Л(х,у));

Ь— Б хе SVy G Р(Д(я, у));

е= Vrc е € Р(Я(я, 2/));

d = 3y е F ix 6 S(-R(s, Î/)).

• Перевод отрицаний —»а, —'Ь, -te, -id на русский язык:

-«а = найдётся задача, которую не решил ни один студент, -1b = не найдётся студента, который решил все задачи,

-ic = найдётся студент, который не решил ни одной задачи, ->d = не найдётся задачи, которую решили все студенты

•Пусть три студента А, В к С решают контрольную, содержащую три задачи 1, 2 и 3. Рассмотрим следующие четыре ситуации:

а) студент А решил задачи 1. и 2, студент В — задачу 3, сту­ дент С не решил1ни одной задачи — такая контрольная яв­ ляется лёгкой по определению а, но не является лёгкой по определениям Ь, с и d;

б) студент А решил все задачи, студенты В н С не решили ни одной — такая контрольная является лёгкой по определени­ ям а и Ь, но не является лёгкой по определениям e n d ;

в) задачу 1 решил студент Д задачу 2 — студенты В и <7, за­ дачу 3 не решил никто — такая контрольная является лёгкой по определению с, но не является лёгкой по определениям а,

Ьи d;