книги / Общая физика. Ч. 1 Механика
.pdf
Рис. 3. Кривая нормального распределения значений случайной величины x
4. Площадь под кривой f (x) должна быть равна 1, так как выражает вероятность достоверного события (т.е. значение x случайной величины обязательно находится на числовой оси).
5. Точки a и b являются точками перегиба функции f (x) ,
в которых x1 = x −σ и x2 = x +σ .
Доля всех значений случайной величины, попадающих в интервал (−σ, +σ) , составляет 68,3 %. В интервале (−2σ, +2σ)
находится 95,4 % всех значений, а для интервала (−3σ, +3σ) эта
доля соответственно уже 99,9 %.
Величина σ называется средним квадратичным отклонением, а σ2 – дисперсией, характеризующей рассеяние значений случайной величины (dispersion – рассеяние) относительно ее среднего значения. При уменьшении σ кривые распределения будут иметь иглообразный максимум, а при увеличении σ, наоборот, пологий, размытый.
Площади под кривой, ограниченные этими интервалами (их также называют доверительными интервалами), равны вероятности попадания значения случайной величины внутрь интервала. Эта вероятность называется доверительной вероятностью (надежностью) (рис. 4).
11
Рис. 4. Доверительные интервалы ∆xa = σ , ∆xб = 2σ, ∆xв = 3σ ; доверительные вероятности соответственно
Pa = 0, 68, Pб = 0, 95, Pв = 0, 99
В теории погрешности случайной величиной является результат измерения (а также погрешность измерения).
Абсолютной погрешностью измерения называется величина, определяемая разницей между результатом измерения x и действительным значением измеряемой величины x0 :
∆x = x − x0 .
Относительной погрешностью называется величина, равная отношению абсолютной погрешности к среднему арифметическому значению результата измерения,
ε = ∆x . x
Теперь вспомним то обстоятельство, что экспериментатор имеет дело с ограниченным числом измерений, часто незначительным. При этом распределение случайных погрешностей тем больше отличается от нормального распределения, чем меньше сделано измерений.
Английский химик и математик У. Госсет (1908), публиковавший свои работы под псевдонимом Стьюдент (Student), указал на возможность и при малом числе измерений определять доверительный интервал. Он вывел распределение погрешностей, получаемых при малом числе измерений (малой выборке). Кривые распределения Стьюдента (рис. 5) по своей форме
12
напоминают кривую Гаусса, и при числе измерений n →∞ средняя квадратичная погрешность Sx → σ, а распределение Стьюдента сближается с нормальным распределением.
Рис. 5. Кривые распределения Стьюдента для различного числа измерений
По Стьюденту, центр доверительного интервала определяется средним арифметическим значением, полученным из n измерений:
N
∑ xi
x = i =1 . n
Абсолютная погрешность измерения равна полуширине доверительного интервала для заданной надежности измерения α и определяется соотношением
∆x = ταSx ,
где Sx – среднее квадратичное отклонение.
N
∑( xi − x )2
Sx = |
i=1 |
|
, |
|
|
||
|
|
n(n −1) |
|
13
где τα – коэффициент Стьюдента, учитывающий количество измерений n и требуемую надежность α . Значения коэффициентов Стьюдента приводятся в таблицах.
После определения погрешности методом Стьюдента результат прямых измерений записывают в стандартном виде:
x =( x ± ∆x), (единица измерения)
при α = 0,95 |
ε = |
∆x |
% . |
|
|||
|
|
x |
|
Надежность измерений (доверительная вероятность) α для научных иинженерных измерений принятаравной 95 %.
При расчете погрешностей, сопровождающих косвенные измерения, используют следующий алгоритм. Пусть, например, измеряемая величина z = z(x, y) является функцией величин x и y, которые измеряются прямым методом. Тогда среднее значение найдем по средним значениям 
x
и 
y
в соответствии
свыражением 
z
= z(
x
, 
y
).
Апогрешность ∆z найдем по формуле
|
|
∂ |
|
2 |
∂ |
2 |
||
∆z = |
z |
|
+ |
z |
∆y |
, |
||
|
∂x |
∆x |
|
∂y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
где ∆x,∆y – погрешности прямых измерений величин x, y;
∂∂xz , ∂∂yz – частные производные функции z.
Определение числа π методом Бюффона
В качестве примера рассмотрим предложенный Бюффоном эксперимент для определения числа π (игла Бюффона).
Возьмите миллиметровую бумагу или лист тетради в клетку. Сторона клетки (квадрата) – a . На этот лист случайным об-
14
разом бросайте иглу, спичку, спицу и т.п. длиной L (L > a ). Число линий, которые пересечет или коснется игла в каждом бросании, обозначим mi (рис. 6). Число π вычисляется по формуле
π = 4L . mi a
Рис. 6. L – размер «иглы», а – размер стороны клетки
Порядок проведения измерений
1.Выполните десять бросаний; число пересечений клеток mi
вкаждом случае занесите втабл. 1.
2.По данным табл. 1 проведите обработку результатов измерений методом Стьюдента.
Таблица 1
Результаты измерения числа π
|
|
a = , |
L = |
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
Число |
Число |
|
πi − π |
(πi − π )2 |
п/п |
пересечений mi |
πi |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
10 |
|
Среднее |
|
Сумма |
|
3. Вычислите среднее арифметическое значение π
N
∑πi
π = i =1 n
15
и среднюю квадратичную погрешность измерений
N
∑(πi − π )2
Sx = i=1 |
. |
|
n(n −1) |
4. Вычислите полуширину доверительного интервала (абсолютную погрешность)
∆π = τ(α, n)Sx ,
где τ(α, n) – коэффициент Стьюдента, значения которого для заданной надежности α = 0,95 и различного числа измерений n приведены в табл. 2.
Таблица 2
Коэффициенты Стьюдента для α = 0,95
n |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
20 |
∞ |
tα |
12,7 |
4,3 |
3,2 |
2,8 |
2,6 |
2,4 |
2,4 |
2,3 |
2,3 |
2,1 |
2,0 |
5. Результаты измерения запишите в стандартном виде:
π = π ± ∆π α = 0,95
ε = ∆ππ =...%
Значение ∆π (абсолютную погрешность) следует округлить до одной значащей цифры. Среднее арифметическое π округлить так, чтобы последний значащий разряд совпадал
споследним разрядом ∆π .
6.Постройте гистограмму распределения случайной вели-
чины π.
16
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 СТАТИСТИКА ВРЕМЕНИ РЕАКЦИИ ЧЕЛОВЕКА (Статистическая обработка результатов измерений)
Цель работы – определение времени реакции человека. Ознакомление со статистической обработкой результатов измерений.
Приборы и принадлежности: измерительная система ИСМ-1, выносной пульт-кнопка.
Краткое описание установки
Для измерения промежутков времени в лаборатории механики используется измерительная система ИСМ-1, которая имеет достаточно широкий набор выполняемых функций:
–измерение временных интервалов между различными событиями, в том числе с применением фотодатчиков;
–измерениевременизапаздыванияиразностифазколебаний;
–управление исполнительными устройствами;
–электропитание двигателя или других устройств постоянным или переменным напряжением.
Органы управления системой размещены на передней панели модуля ИСМ-1 (рис. 1).
Рис. 1. Передняя модель модуля ИСМ-1
17
Вданнойработепотребуютсяследующиеорганыуправления: 1 – индикатор, отражающий время события в секундах или
миллисекундах, в зависимости от положения переключателя 2; 3 – индикаторы включения соответствующих датчиков; 4 – переключатель количества измеряемых циклов; 5 – переключатель циклического или однократного изме-
рения промежутка времени; 6 – кнопка ручного включения/выключения измерителя
времени; 7 – кнопка приведения прибора в состояние готовности
(сброс); 8 – переключатель полярности источника питания прибора
(вданнойработедолженстоятьвверхнемилинижнемположении);
9– включатель гироскопа;
10– включатель прибора.
Порядок выполнения лабораторной работы
1.Подключите выносной пульт-кнопку к разъему № 1, расположенному на задней стенке прибора.
2.Поставьте органы управления прибором в соответствующие положения: а) переключатель количества измеряемых
циклов 4 – «: 1»; б) переключатель циклического или однократного измерения 5 – «ОДНОКР»; в) включатель гироскопа 9 – в среднее положение.
3.Включите питание прибора.
4.Подготовьте прибор к измерению промежутков времени: нажмите кнопку 7 «ГОТОВ».
5.Один студент берет в руки выносной пульт-кнопку, а другой нажимает кнопку ручного запуска измерителя времени 6.
6.Первый студент, услышав звуковой сигнал включения измерителя, нажимает кнопку выносного пульта. На индикаторе высвечивается время реакции первого студента на звуковой сигнал.
18
7. Время реакции занесите в таблицу. Повторите измерение времени реакции человека по п. 4–7 пять-семь раз.
№ п/п |
ti |
ti – < t > |
(ti – < t >)2 |
1 |
|
|
|
… |
|
|
|
Σ |
|
– |
|
Среднее |
|
– |
– |
8. Рассчитайте среднее время реакции человека по формуле
n
∑ti
< t > = i =1 , n
где n – количество измерений.
9. Рассчитайте абсолютную погрешность ∆ t измерения по формуле
n
∑(ti − t )2
∆t = τ(α, n) i =1 |
, |
n(n −1) |
|
где τ(α, n) – коэффициент Стьюдента, зависящий от надежности α и количества измерений п (см. приложение в конце сборника).
10. Рассчитайте относительную погрешность измерения по формуле
ε = ∆t .
t
11. Запишите результат измерений в стандартном виде:
t = ( t ± ∆t ), с ε =K% при α = 0,95.
19
Контрольные вопросы
1.Что называется абсолютной погрешностью прямых измерений?
2.Что называется относительной погрешностью?
3.Как определить среднее арифметическое значение и среднее квадратичное отклонение случайной величины?
4.Нормальный закон распределения значений случайной величины и его основные свойства.
5.Что называется доверительной вероятностью и доверительным интервалом? Как они между собой связаны?
6.Определение погрешности прямых измерений методом Стьюдента.
7.Расчет погрешности косвенных измерений.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Цель работы – ознакомиться с методом обработки результатов измерений, определить плотность тела.
Приборы и принадлежности: цилиндр, плотность которо-
го требуется измерить, штангенциркуль, микрометр, аналитические весы (при необходимости).
Введение
Плотность вещества характеризует распределение массы по объему тела. При равномерном распределении массы по объему (однородное тело) плотность
ρ= m V
V = πd 2 h , 4
20