книги / Общая физика. Ч. 1 Механика
.pdf
5. На графике (см. рис. 2) найдите расстояние между точками маятника x1 и x2, cоответствующими одинаковому периоду колебаний (х2 – x1 = Lnp) в трех пяти местах графика. Заполните табл. 2.
Таблица 2
I |
x1 |
x2 |
Тi (c) |
Lnpi (м) |
gi (м/с) |
gi – < g > |
(gi – < g >)2 |
… |
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
– |
– |
– |
– |
|
– |
– |
Сумма |
– |
– |
– |
– |
|
– |
|
6.Рассчитайтеускорениесвободногопаденияпоформуле(15).
7.Рассчитайте абсолютную и относительную погрешность измерений g.
Запишите результат в стандартном виде:
g = (< g > ± ∆g) м/с2, ε = … % при α = 0,95.
Задание II. Исследование ангармонических колебаний
1. Закрепите стержень на оси за второе отверстие (х = 2 см). Поставьте переключатель 5 в положение «ОДНОКР». Нажмите кнопку 7 «ГОТОВ». Отведите маятник на угол 10° и плавно отпустите его. Считайте показания измерителя периода колебаний Т. Данные занесите в табл. 3.
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
|
|
|
|
φm |
10º |
20º |
… |
|
90º |
Т(c) |
|
|
|
|
|
2.Повторите измерения периода колебаний, изменяя амплитуду колебаний φm в пределах от 10° до 90° с шагом 10–20°.
3.Постройте график зависимости периода колебаний Т от амплитуды колебаний φm.
51
Контрольные вопросы
1.Получите уравнение гармонических колебаний для случая колебаний груза на пружинке. Дайте определение параметрам колебательного движения: смещению из положения равновесия, скорости и ускорению материальной частицы. Запишите закон изменениякинетической, потенциальной и полной энергии частицы?
2.Получите уравнение колебаний математического и физического маятников. Запишите выражения для периода, частоты колебаний и приведенной длины физического маятника.
3.В чем состоит особенность оборотного физического маятника. Можно ли использовать произвольный физический маятник для определения ускорения свободного падения?
Задачи для отчета по лабораторной работе
1. Один из маятников за некоторое время совершил n1 = 10 колебаний. Другой маятник за то же время совершил n2 = 6 колебаний. Разность длин маятников ∆l = 16 см. Найти длины маятников l1 и l2.
2.Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Земли в 3,7 раз больше радиуса Луны. Как изменится период колебаний маятника при перенесении его с Земли на Луну?
3.Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5.
4. Математический маятник длиной l = 1 м установлен в лифте. Лифт поднимается с ускорением a = 2,5 м/с2. Определить период T колебаний маятника.
5.В неподвижной кабине лифта качается маятник. Вследствие обрыва троса кабина начинает падать с ускорением g. Как ведет себя маятник относительно кабины лифта, если в момент обрыва он а) находился в одном из крайних положений, б) проходил через положение равновесия?
6.Однородный стержень длиной l = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной
52
оси, проходящей через его верхний конец. Найти период T колебаний стержня.
7.Найти период колебаний T стержня предыдущей задачи, если ось вращения проходит через точку, находящуюся на расстоянии d = 10 см от его верхнего конца.
8.Обруч диаметром D = 56,5 см висит на гвозде, вбитом
встену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период T колебаний обруча.
9.Однородный шарик подвешен на нити, длина которой l равна радиусу шарика R. Во сколько раз период малых колеба-
ний T1 этого маятника больше периода малых колебаний T2 математического маятника с таким же расстоянием от центра масс до точки подвеса?
10.Тонкая прямоугольная пластинка может колебаться вокруг горизонтальной оси, которая лежит в плоскости пластины перпендикулярно одной из ее сторон. Длина стороны равна l.
Каков период колебаний, если ось совпадает с верхней стороной пластинки? При каком расстоянии оси от середины пластинки период колебаний будет наименьшим? Каков этот период?
11.Однородный круглый диск радиусом R подвешен за край. Чему равна частота его малых колебаний относительно точки подвеса?
12.Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 35 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной.
13.Однородный стержень длиной l совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси ОО’, перпендикулярной стержню и проходящей через одну из его точек. Найти расстояние между центром стержня и осью ОО’, при котором период колебаний будет наименьшим.
14.Шар радиусом 5 см подвешен на нити длиной 10 см. Определите погрешность, которую мы допускаем, приняв его за математический маятник длиной 15 см.
53
15.Некоторое тело совершает малые колебания вокруг го-
ризонтальной оси с периодом T1 = 0,5 с. Если же к нему прикрепить груз массой m = 50 г на расстоянии l = 10 см ниже точки подвеса, то оно колеблется с периодом T = 0,6 с. Найдите момент инерции тела относительно этой оси.
16.Тонкий обруч, подвешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус обруча R равен 30 см. Вычислить приведенную длину этого физического маятника.
17.Диск радиусом R = 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину такого маятника.
18.На концах тонкого стержня длиной l = 30 см укреплены одинаковые грузы по одному на каждом конце. Стержень
сгрузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удаленную на d = 10 см от одного из концов стержня. Определить приведенную длину такого физического маятника. Массой стержня пренебречь.
19.На стержне длиной l = 30 см укреплены два одинаковых груза: один – в середине стержня, другой – на одном из его концов. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L стержня.
20.Система из трех грузов, соединенных стержнями длиной l = 30 см (рис. 4), колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа. Найти период системы и приведен-
Рис. 4 (к задаче 20) |
ную длину такого физического |
|
маятника. |
54
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА
Цель работы – изучение крутильных колебаний вращающегося стола при разной массе системы и пружинах различной упругости.
Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3
свращающимся столом, два круглых груза, груз наборный, нить длиной 45 см (красная), измерительная система ИСМ-1 (секундомер), нижний ролик на стойке с двумя осями, две пружины
сбалками, измерительная линейка.
Краткая теория
При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется в плоскости, перпендикулярной оси, по окружности, центр которой лежит на оси. Линейная скорость точки тела v связана с угловой скоростью тела.
ν = ω r , |
(1) |
где r – расстояние от точки тела до оси вращения. Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических
энергий всех частиц тела:
Ek |
= |
1 |
∑∆mi vi |
2 , |
(2) |
|
|||||
|
2 |
i |
|
|
|
где ∆mi – элементарные массы, на которые мысленно разбито тело. Подставляя скорость vi из формулы (1) в (2), получим
Ek |
= |
1 |
∑(∆mi ri |
2 )ω2 . |
(3) |
|
|||||
|
2 |
i |
|
|
|
55
Величина I = ∑∆mi ri |
2 |
(4) |
i |
|
|
называется моментом инерции тела. Момент инерции характеризует распределение массы в твердом теле относительно оси вращения и является мерой инертности вращающегося тела.
Выражение для кинетической энергии вращающегося тела вокруг неподвижной оси, исходя из формул (3) и (4), выглядит следующим образом:
Ek |
= |
1 |
I ω2 . |
(5) |
|
||||
|
2 |
|
|
|
Для вычисления моментов инерции различных тел массу ∆mi в формуле (4) выражают через плотность тела: ∆mi = ρ∆Vi,
где ∆Vi – элементарный объем тела, и переходят к пределу ∆Vi → 0. Тогда получим
I = lim (∑∆mi ri |
2 ) = ∫ρr 2 dV . |
(6) |
Теорема Штейнера устанавливает связь между моментом инерции тела Iс относительно оси, проходящей через центр инерции, и моментом инерции I этого тела относительно другой оси, параллельной первой.
I = Ic + ma2 , |
(7) |
где m – масса тела, а – расстояние между осями.
В настоящей работе измеряется момент инерции различных тел с помощью крутильного маятника. Этот маятник состоит из горизонтально расположенного поворотного стола, на котором могут закрепляться различные тела. На оси поворотного стола закреплен шкив радиусом R, с помощью которого столу может сообщаться вращательное движение. Через шкив перекинута нить, к концам которой прикреплены две пружины (рис. 1) c коэффициентами жесткости k1 и k2.
56
Рис. 1. Крутильный маятник
В положении равновесия силы натяжения нити по разные стороны от шкива одинаковы и равны упругим силам, которые согласно закону Гука
(Fупр)0 = k1 x01 = k2 x02, |
(8) |
где x01 и x02 – величины растяжения пружин.
При отклонении от положения равновесия поворотный стол совершает колебания под действием сил упругости двух пружин. Величина деформации одной пружины x1 = x01 + х, где х – отклонение от равновесного положения. Если нить нерастяжимая, то величина деформации другой пружины
х2 = х02 – х.
Запишем выражение для потенциальной энергии деформации пружин следующим образом:
E |
= |
1 k |
1 |
x |
2 |
= 1 k |
(x + x)2 |
, |
(9) |
|
n1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
1 |
01 |
|
|
|
E |
= |
1 k |
2 |
x |
2 |
= 1 k |
2 |
(x − x)2. |
(10) |
n2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
02 |
|
57
Если пренебрегать силами трения, то согласно закону сохранения механической энергии полная механическая энергия, т.е. сумма кинетических и потенциальных энергий,
E = 1 I ω2 |
+ 1 k (x + x)2 + 1 k |
2 |
(x − x)2 |
(11) |
||||||
2 |
2 |
1 |
01 |
|
|
|
2 |
02 |
|
|
не зависит от времени. Значит, |
|
dE |
|
=0 . |
|
|
||||
|
dt |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычисляя производную от выражения (9) по времени, по- |
||||||||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iωdω+k (x |
+ x) dx |
−k |
(x |
− x) dx =0. |
(12) |
|||||
dt |
1 01 |
|
dt |
2 |
02 |
|
dt |
|
||
Если нить не проскальзывает по шкиву поворотного сто-
ла, то
х = Rφ,
где φ – угол поворота стола от положения равновесия; dxdt = R ω.
Учитывая условие равновесия (8) и определение угловой скорости
ω= dϕ, получим из уравнения (12) dt
|
|
d 2ω |
+(k1 |
|
2 |
|
|
|
|
(13) |
||
|
I |
dt |
|
+k2 ) R |
ϕ=0 . |
|
|
|
||||
|
|
2 |
(k +k |
2 |
)R2 |
|
|
|
|
|
||
Обозначим |
ω = |
|
1 |
|
и |
(k |
+k |
|
) =k |
– суммарный |
||
|
|
0 |
|
I |
|
|
|
2 |
пар |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
коэффициент жесткости двух пружин. Тогда уравнение (13) принимает вид дифференциального уравнения гармонических колебаний
ϕ+ω2 |
ϕ=0 . |
(14) |
0 |
|
|
Решение этого уравнения выглядит следующим образом:
58
φ(t) = A cos(ω0t + α), |
(15) |
где А– амплитуда колебаний, ω0 – циклическая частота колебаний,
α– начальная фаза колебаний. Период колебаний
T = |
2π |
= 2π |
I |
. |
(16) |
ω |
|
||||
|
|
R2 k |
|
||
|
|
|
пар |
|
|
В данной работе находится момент инерции. Из формулы (16) следует
I = |
T 2 R2 k |
пар |
. |
(17) |
|
||||
4π2 |
|
|||
|
|
|
|
Описание установки
Поворотный стол, смонтированный на модуле ЛКМ-3, снабжен датчиком вращения, который фиксирует повороты стола на один и более оборотов. Шкив стола 15 имеет диаметр 50 мм.
Две пружины закрепляются на осях нижнего блока 12 и прикрепляются к концам нити, перекинутой через шкив 15 (рис. 2).
Рис. 2. Крутильный маятник на модуле ЛКМ-3
59
Таким образом, поворотный стол может совершать крутильные колебания вокруг своей оси под действием сил упругости пружин. Период колебаний зависит от упругости пружин k, момента инерции стола I и радиуса шкива R. На столе можно укреплять различные предметы и по периоду крутильных колебаний T определять момент инерции системы.
Порядок выполнения работы
Задание I. Определение коэффициента упругости пружин
1.Подвесьте пружины с помощью балки 17 на оси блока 13 и закрепите на другом конце пружин груз т1 (см. рис. 2).
2.Измерьте линейкой расстояние x1 от основания стойки до нижнего края груза.
3.Измените массу груза на величину ∆m и измерьте новое
расстояние х2. Данные занесите в табл. 1. Рассчитайте коэффициент упругости пары пружин по формуле
∆mg
kпар = ∆ , (18) x
где g = 9,81 м/с – ускорение свободного падения.
4. Повторите измерения несколько раз. Рассчитайте среднее значение kпар. Данные занесите в табл. 1.
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ п/п |
т1 |
m2 |
∆m = т1– m2, кг |
x1 |
х2 |
∆х = х2– х1, м |
kпар, Н/м |
… |
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
― |
― |
|
― |
― |
|
|
Задание II. Определение момента инерции методом крутильных колебаний
1. Подготовьте измерительную систему ИСМ-1 к работе: подключите датчик угла поворота стола блока к разъему № 1 на задней стенке прибора, переключатель 1 поставьте в положение
60