книги / Общая физика. Ч. 1 Механика

Перемещая грузы 14 по стержню 12, повторите измерения момента инерции I для всех положений грузов (расстояние между отверстиями на стержне d = 20 мм).

Постройте график зависимости момента инерции I от квадрата расстояния от оси вращения до центра грузов r2.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение динамических характеристик вращательного движения: момента силы М, момента инерции I, момента импульса L.

2.Вывод основного уравнения динамики вращательного движения.

3.Вывод основной рабочей формулы (16).

4.Выражения для момента инерции материальной частицы, стержня, диска относительно оси, проходящей через центр масс. Как определяется момент инерции относительно произвольной оси? Теорема Штейнера.

5.Провести аналитический расчет момента инерции маятника Обербека.

6.Как рассчитать период колебаний маятника Обербека?

Задания для отчета по лабораторной работе

1.Два маленьких шарика массой m = 10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной l = 20 см. Определить момент инерции I системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

2.Два шара массами m и 2m (m = 10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l = 40 см так, как это указано на рис. 4. Определить момент инерции I системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Размерами шаров пренебречь.

41

3. Два шара массами 2m и m (m = 20 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l = 1 м так, как это показано на рис. 5. Определить момент инерции I системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Размерами шаров пренебречь.

4.Определить момент инерции трехатомной молекулы

H2O (рис. 6) относительно оси y, проходящей через центр масс молекулы. Межъядерное расстояние AB обозначено d = 0,097 нм,

α= 104 °30'.

5.Определить момент инерции трехатомной молекулы

SO2 (см. рис. 6) относительно оси x, проходящей через центр масс молекулы (d = 0,45 нм, α = 124°).

6.Определить момент инерции тонкого однородного стержня длиной l = 30 см и массой m = 100 г относительно оси,

42

мент инерции I полученного тела относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его центр.

15. На однородный сплошной цилиндр массой M и радиусом R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m (рис. 9). В момент времени t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени модуля угловой скорости цилиндра.

16.Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m1 = 0,3 кг

иm2 = 0,5 кг. Определить силы T1 и T2 натяжения нити по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.

17.Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур.

К концам шнура привязали грузы массой m1 = 100 г и m2 = 110 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если масса блока m = 400 г. Трение при вращении блока ничтожно мало.

18.Два тела массами m1 = 0,25 г и m2 = 0,15 г связаны тонкой нитью, переброшенной через блок (рис. 10). Блок укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого сколь-

зит тело массой m1.

С каким ускорением движутся тела, и каковы силы T1 и T2 натяжения нити по обе стороны блока? Коэффициент трения µ

44

Запишем основное уравнение динамики вращательногодвижения.

где I – момент инерции маятника;

β= d 2ϕ ≡ϕ – угловое ускорение; dt2

ϕ – угол отклонения маятника от положения равновесия, М – сумма проекций моментов сил на направление оси вращения. Если момент

сил трения много меньше момента силы тяжести, то

где т – масса маятника, g – ускорение свободного падения, а – расстояние от оси вращения до центра тяжести.

Уравнение движения (1) с учетом (2) примет вид

Iϕ = −mga sin ϕ,

где ω02 = (mga) /I, тогда получим уравнение

Уравнение (3) является линейным дифференциальным уравнением относительнофункцииφ(t).

Если амплитуда колебаний физического маятника не мала, дифференциальное уравнение (3) не будет линейным. Для больших углов отклонений маятника период Т начинает зависеть от амплитуды колебаний φm. Эту зависимость можно представить суммой бесконечного ряда, первые слагаемые которого выглядит следующим образом:

46

При малых колебаниях угол φ мал, поэтому sin φ ≈ φ и уравнение (3) становится дифференциальным уравнением гармоническихколебаний

где α – начальная фаза колебаний, ω0 = 2π/Т – циклическая частота колебаний.

Запишем формулу периода малых колебаний как

Получим зависимость периода малых колебаний от расстояния а. Момент инерции согласно теореме Штейнера

где Iс – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс. Подставляя (8) в (7), получим

Согласно этой формуле период колебаний Т одинаков при двух различных значениях а (рис. 2): Т1 = Т2 при

47

Подставим (10) в формулу (9). Получим

В данной работе с помощью физического маятника находится ускорение свободного падения g, которое, исходя из уравнения (14),

Приведенная длина Lпр находится из формулы (12), в кото-

рой а1 и а2 определяются из графика зависимости Т от а, построенного на основе результатов эксперимента.

Для уменьшения погрешности измерения в эксперименте измеряют период колебаний маятника относительно осей, находящихся по обе стороны от центра тяжести. На рис. 2 представлена теоретическая зависимость периода колебаний от параметра a, которая зеркально симметрична относительно оси Т.

48