книги / Физические основы микро- и нанотехнологий

1.2. Основные положения квантовой механики

1.2.1. Основные понятия

Мы будем рассматривать устройство окружающего нас мира с точки зрения физики – на микроскопическом и даже наноскопическом уровне. Законы этого мира существенно и принципиально отличаются от законов привычного нам макроскопического мира, в котором все доступно нашим органам чувств. В макроскопическом мире механика Ньютона является универсальным законом движения материальных точек, из которых можно построить все многообразие субъектов окружающего нас мира. Классическая материальная точка – это маленький, локализованный в ограниченной области пространства субъект материи, движущийся по законам ньютоновской механики. Его движение в пространстве является непрерывным на всех уровнях увеличения, т.е. является континуумом.

Понятие континуума легко уяснить, если обратиться к понятной нам всем, на первый взгляд, последовательности – числовому ряду 1, 2, 3, … Этот ряд представляет собой континуум – бесконечный непрерывный ряд чисел, не прерывающийся при любом в него углублении до сколь угодно малых величин и различий. Рассмотрим один участок ряда – от 0 до 2. В промежутке заключено бесчисленное множество чисел, как рациональных (например, 1,0, или 0,23487980076, или

0,23487980077), так и иррациональных (например, 2, или 22, или 21,342189976 ) и трансцендентных. Точно так же траектория любо-

го тела в макромеханике есть континуум, абсолютно непрерывная линия, соответствующая движению материальной точки – пространство нигде не прерывается и не квантуется. Точно таким же континуумом является время, оно непрерывно.

Пределом делимости материи, субъектом, сохраняющим ее свойства, является атом. Эта идея не нова, 25 веков назад ее высказали Демокрит и Левкипп, опираясь при этом на идеи Фалеса Милетского и Анаксимена. Они открыли первую дискретность – отдельные атомы в пустом пространстве. А. Эйнштейн в 1905 г. установил иден-

11

тичность массы и энергии, и сейчас эти атомы называют квантами, отдельными порциями энергии. Атомы состоят из элементарных частиц, которых к настоящему времени известно около 3000, что вызывает у физиков некоторую растерянность, поскольку число элементарных частиц значительно превышает число элементов Периодической системы элементов Д.И. Менделеева (менее полутора сотен).

В микромире наблюдаемые физиками факты не соответствуют классическому идеалу – непрерывному описанию в пространстве и времени. В физике микромира существуют пробелы в непрерывном описании любого процесса, в пространственно-временном континууме. Согласно идеям Анаксимена при разрежении (удалении атомов на большое расстояние друг от друга) должны изменяться свойства материи. Но это сложно себе представить, если считать, что материя сама по себе представляет континуум – что от чего должно удаляться? Анаксимен также впервые сформулировал идеи, что вещество (материя) может находиться в одном из четырех состояний (твердом, жидком, газообразном и огненном) и что изменение состояния не предполагает изменения природы вещества, а лишь инициируется геометрически, как бы распространением одного и того же количества материи на больший объем (разрежение) или обратным переходом (сжатие). Современная наука подтверждает, что вещество может находиться в одном из четырех состояний: твердом, жидком, газообразном и плазменном.

Поскольку микроэлектроника в качестве основного рабочего инструмента использует потоки заряженных частиц и кванты электромагнитного поля, к которым неприменимы подходы классической физики, возникает необходимость изучения основ квантовой механики. Квантовая механика – это физическая теория, описывающая явления атомного масштаба – движение элементарных частиц и состоящих из них систем. Обычно под квантовой механикой понимают теорию движения микрочастиц со скоростями, намного меньшими скорости света (нерелятивистская квантовая механика). Релятивистские процессы рассматривает квантовая теория поля. Процессы в микромире, описываемые квантовой механикой, относятся к явлениям, полностью лежащим за пределами непосредственного чувст-

12

венного восприятия и абсолютно лишены наглядности, присущей обычной классической физике.

Ситуация в квантовой механике выглядит примерно следующим образом. Наблюдаемые факты (о частицах, свете, различных видах излучения и их взаимодействии) кажутся несовместимыми с классическим идеалом – непрерывным описанием в пространстве и времени. Процессы, субъекты и объекты квантовой механики квантованы и имеют дискретный характер, а их описание носит не детерминированный, жестко и однозначно определенный характер, а подчиняется законам статистической физики, носит вероятностный (стохастический) характер.

Обычно при рассмотрении идеи вероятности в связи с квантовой механикой обращают внимание на то, как вероятность содействует пониманию и трактовке квантовых процессов. В этих случаях утверждается, что при описании элементарных квантовых процессов теория отказалась от определяющей роли представлений о траектории движения квантовых объектов, что теория описывает лишь потенциальные возможности поведения микрообъектов и, соответственно, элементарные квантовые процессы описываются лишь вероятностным, принципиально неоднозначным образом. Практически не обращается внимания на обратные связи – как теория воздействует на понимание и трактовку самой вероятности. Однако при таком подходе к анализу вероятности ее новые черты не раскрываются.

Особенности вероятностных представлений в квантовой теории связаны с изменениями в постановке основной задачи исследований: если в статистической физике исследовались системы, образованные из огромного числа частиц, то в квантовой теории вероятностные методы используются прежде всего для познания свойств и закономерностей индивидуальных, отдельных частиц – микрообъектов.

Переход от непосредственного анализа массовых явлений к исследованиям отдельных, индивидуальных частиц свидетельствует об исключительной гибкости и плодотворности вероятностных методов. Этот переход стал возможен на основе существенных изменений в способах задания (выражения, характеристики) вероятностных пред-

13

ставлений. В классической физике свойства и закономерности физических систем выражались непосредственно на языке вероятностных распределений. В квантовой физике состояния микрочастиц выражаются посредством особого рода характеристик, прежде всего – волновых функций, которые мы рассмотрим далее.

Волновые функции носят абстрактный характер. Иногда считают, что они вообще не имеют непосредственного физического смысла. Исторически волновые функции были введены в квантовую теорию чисто формальным образом и утвердились в физике лишь тогда, когда удалось их связать с вероятностными распределениями: квадрат модуля волновой функции в некотором представлении (т.е. функции, заданной на языке конкретной физической величины) определяет собой вероятность значения соответствующей физической величины. Связь волновых функций с вероятностью вообще является оправданием употребления их в квантовой теории. Установление этой связи и позволило наполнить глубоким реальным смыслом весь математический аппарат квантовой механики, что было сделано уже после разработки его основ.

Однако надо признать, что наше понимание мира не совершенно. С точки зрения современных знаний несовершенство классической и квантовой механики заключается в том, что они инвариантны по отношению ко времени. Это означает, что их уравнения обратимы во времени. Это связано с тем, что они рассматривают закрытые системы, находящиеся в состоянии равновесия или стремящиеся к нему и не обменивающиеся с окружающей средой ни веществом, ни энергией, ни информацией. В природе таких систем практически нет. Это вынужденная идеализация. Мир, окружающий нас, в котором мы живем, представляет собой конгломерат открытых диссипативных систем, непрерывно обменивающихся энергией, веществом и информацией и иногда исключительно далеко находящихся от равновесного состояния. Процессы в таких системах являются по большей части необратимыми, эти системы эволюционируют по определенным законам, и в них присутствует так называемая стрела времени. Это означает, что они не инвариантны относительно времени.

14

Изучением таких эволюционирующих систем занимается нелинейная динамика. Большинство процессов в эволюционирующих системах необратимо. Самый важный вывод заключается в том, что необратимость начинается там, где заканчиваются классическая

иквантовая механика. Это не означает, что классическая и квантовая механика неверны – они скорее соответствуют идеализациям, выходящим за рамки концептуальных возможностей наблюдения. Траектории, или волновые функции, обладают физическим смыслом только в том случае, если они соответствуют наблюдаемым, а такая возможность исчезает, когда необратимость становится частью физической картины.

Как все значительные научные достижения, прогресс физики и химии не лишен элемента неожиданности. Мы находимся в преддверии подъема на новую, более высокую ступень познания. Этим подъемом мы обязаны главным образом изучению элементарных частиц и решению космологических проблем. Неожиданно выясняется, что понятие необратимости на промежуточном, макроскопическом уровне приводит к пересмотру основ физики и химии – пересмотру классической

иквантовой механики. Необратимость позволяет исследовать новые, подчас неожиданные свойства материалов.

Основная идея квантовой (или волновой) механики следующая. Явление, которому классическая механика, казалось, дала адекватное описание тем, что изображала движение материальной точки (т.е. рассматривала ее координаты х, у, z как функцию от времени), – это явление по новым представлениям должно быть изображено некоторым волновым движением, состоящим из волн определенной частоты и скорости (и, следовательно, определенной длины волны). Математически волновое движение изображается не ограниченным числом функций от одной переменной t, а непрерывным многообразием таких функций, т.е. одной функцией (или, возможно, несколькими функциями) от х, у, z и t. Эти функции удовлетворяют дифференциальному уравнению с частными производными типа волнового уравнения.

15

Обыкновенная классическая механика – только приближение, недействительное для очень малых систем. Цель, которая нами преследуется заменой обычного механического описания волновым или квантово-механическим, – установить теорию, охватывающую как обыкновенные механические явления, где квантовые условия не играют заметной роли, так и типичные квантовые явления. Описание, например, волнового движения световой волны посредством лучей есть лишь приближение (называемое в случае световых волн геометрической оптикой), уместное только в том случае, когда структура рассматриваемого волнового явления является грубой по сравнению с длиной волны, и до тех пор, пока мы интересуемся только грубой структурой. Тонкая структура волнового явления никогда не может быть изображена с помощью лучей (геометрической оптикой); всегда существуют волновые явления, которые так малы на всем своем протяжении, что описание их посредством лучей безрезультатно и не дает о них никакого представления.

Следовательно, заменив обычную механику волновой, мы можем надеяться, с одной стороны, снова получить обыкновенную механику как приближение, описывающее грубые макромеханические явления, а с другой – получить объяснение для тех тонких микромеханических явлений (движение электронов в атоме), для которых старая механика вообще не могла дать никакого объяснения (по крайней мере, не могла его дать без очень искусственных дополнительных предположений, составлявших в действительности более существенную часть теории, чем собственно механическое рассмотрение).

Путь, ведущий от обычной механики к волновой, аналогичен методу, установленному Х. Гюйгенсом, который предложил свою теорию света вместо теории света Ньютона. Можно установить следующее символическое соотношение:

ВолноваямеханикаОбычнаямеханика = ГеометрическаяоптикаВолноваяоптика

16

Типичные квантовые явления аналогичны типичным волновым явлениям, таким как дифракция и интерференция. Для установления этой аналогии важно то, что обычная механика неприменима как раз для очень малых систем. Критерием перехода от классической механики к квантовой (или волновой) является величина, называемая постоянной Планка h, равная 6,626176 · 10–24 Дж · с, или 10–27 эрг · с.

1.2.2.Волновой дуализм де Бройля

Вначале 1920-х гг. для объяснения ряда экспериментальных данных оказалось необходимым приписать излучению корпускулярные свойства, однако волновые свойства считались отличительной особенностью лучистой материи. В 1924 г. бельгийский принц Луи де Бройль выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Суть гипотезы заключалась в том, что не только фотоны, но

ивсе частицы материи наряду с корпускулярными обладают волновыми свойствами. Количественные соотношения, связывающие согласно гипотезе де Бройля корпускулярные и волновые свойства частиц, описываются следующими выражениями:

ε= hν,

p = hk = 2λπh ,

где ε – энергия волны; λ – длина волны, которую можно сопоставить с частицей;

k – волновой вектор (направлен по движению частицы);

р– количественный импульс кванта электромагнитного излучения;

ħ– квант действия, равный отношению постоянной Планка h к 2π (1,05 · 10–27 эрг · с);

ν– частота волны.

Постоянная Планка является универсальной физической размерной константой, позволяющей количественно оценить, насколько при описании конкретной физической системы существенны квантовые эффекты.

17

Оценим длину волны де Бройля для частицы массой т, движущейся со скоростью V:

λ = 2πph = 2mVπh .

При прочих равных условиях длина волны тем меньше, чем больше масса частицы. Длина волны для электрона, имеющего энергию 100 эВ, составит 1,2·10–8 см, что является совершенно реальной величиной и может быть зафиксировано аппаратными способами. При такой же скорости движения длина волны де Бройля для пылинки массой 0,001 г в 1024 раз меньше. Масса планеты Земля составляет примерно 6·1027 г, что на 6·1030 больше массы пылинки, соответственно, длина волны нашей планеты составляет величину, на 1054 меньшую, чем длина волны электрона. Понятно, что в природе не существует объекта, который можно было бы использовать для обнаружения волновых свойств пылинки, не говоря уже о планете. Для электрона же таким объектом могут служить кристаллы, имеющие периодическую структуру, совпадающую по размерам с длиной волны электрона.

Аналогично электромагнитному излучению, в любом эксперименте проявляются либо корпускулярные, либо волновые свойства любого объекта, но никогда и то, и другое вместе. Эта идея была высказана Нильсом Бором и получила название принципа дополнительности. Н. Бор полагал эти взаимоисключающие идеи дополняющими друг друга, поскольку экспериментальные устройства, применяемые для наблюдения волновых свойств, отличаются от устройств, применяемых для наблюдения траекторий частиц и исследования их корпускулярных свойств. Таким образом, наблюдатель выбором экспериментального оборудования как бы априори решает, какие именно свойства объекта он собирается исследовать. Наблюдатель тем самым сильно влияет на природу, что не имеет аналога в классической физике. Проблема наблюдателя в квантовой физике является предметом многочисленных дискуссий.

18

1.2.3. Принцип неопределенности Гейзенберга

Отличие квантовой частицы от обычной заключается в том, что она не движется по определенной, строго рассчитанной траектории, и неправомерно говорить об одновременных значениях ее координаты и импульса. В соответствии с этими представлениями Вернер Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности, который гласит, что одновременное измерение начального положения и скорости квантовой частицы не может быть проведено точно. Согласно представлениям В. Гейзенберга в физике существуют такие пары связанных переменных, при совместном определении которых возникает конечная ошибка. Математически принцип неопределенности Гейзенберга выражается следующим образом:

∆x ∆p ≥ h,

где ∆x – неопределенность в координате частицы;

∆p – неопределенность в ее импульсе (или точном значении энергии, что то же самое).

К другой паре связанных переменных относятся изменение энергии ∆ε и интервала времени ∆t.

Ошибка в определении физической величины, налагаемая соотношением неопределенности, является общим, или взаимным, свойством совокупности двух переменных. Важная черта принципа неопределенности заключается в том, что он является сугубо физическим принципом и никак не связан с особенностями измерительных приборов. Утверждение, что любое измерение содержит в себе внутреннюю ошибку, которая не может быть исправлена, представляет собой теорему о принципиальной ограниченности возможностей измерительных устройств. Это – закон природы.

1.2.4.Принцип запрета Паули

Вбольшинстве интересных задач, к которым желательно было бы применить идеи микроскопической физики, фигурируют системы с большим количеством движущихся частиц, например атомы со многими электронами, потоки электронов в микроскопически

19

маленьком объеме твердого тела и др. Можно было бы предположить, что если система содержит в себе не один, а много электронов, то следует рассматривать движение каждого электрона независимо от остальных, а для получения общего решения, похожего на уже когда-либо кем-либо найденное, необходимо просуммировать решения, полученные для отдельных электронов. Тогда энергия всего атома окажется суммой энергий электронов в их различных состояниях. Наинизшей энергией в этой модели обладал бы атом, в котором все электроны находились бы в наинизшем энергетическом состоянии.

Однако в квантовой механике действует совершенно иной и существенно новый принцип, не имеющий себе аналога в классической механике и относящийся именно к случаю многоэлектронных атомов. Этот принцип – принцип запрета Паули – гласит, что в данный момент времени в определенном квантовом состоянии в атоме (а в общем случае – в одной и той же области пространства, где действуют законы квантовой механики) может находиться лишь один электрон. Определенное квантовое состояние означает наличие частицы с конкретным набором квантовых чисел. Согласно основным положениям квантовой механики каждый отдельный электрон можно описать при помощи четырех квантовых чисел:

n =1, 2, …; i = 0,1, …, n −1;

где n – главное квантовое число (оно может принимать все значения от 1 и более);

l – азимутальное квантовое число, изменяющееся от 0 до п – 1; j – внутреннее квантовое число, которое может принимать толь-

ко два приведенных значения;

т – проекция j на специально выбранное направление, по правилам пространственного квантования изменяющееся от – j до + j, пробегая при этом (2j + 1) значений.

20