книги / Физические теории пластичности

ти ориентационного тензора) определены также в промежуточной конфигурации. Используется гипотеза Фойгта, т.е. деформации скорости принимаются одинаковыми в каждый момент времени во всех зернах поликристалла. Скорости сдвигов на СС определяются степенным законом вида (6.2).

Следует отметить, что хотя в вязкопластических моделях активными в каждый момент времени могут быть любые из возможных для данного типа кристалла СС, не все они будут линейно независимы; например, на каждой кристаллографической плоскости линейно независимыми могут быть только две из трех СС. В работе предлагается эвристическая, чисто геометрическая процедура определения активных СС, число которых на каждой плоскости не более двух; например, для ГЦКкристаллов общее число активных СС, таким образом, не превышает восьми. При определении скоростей сдвигов на СС используется принцип минимума сдвига, решается соответствующая задача оптимизации;

K

кинематическое ограничение d = ∑m((S)0k ) γ(k ) вносится с использованием

k=1

множителей Лагранжа.

С использованием предлагаемой модели решены тестовые задачи одноосной осадки и простого сдвига монокристаллов с различной начальной ориентацией, одноосной осадки, осадки в условиях плоскодеформированного состояния и простого сдвига поликристаллических образцов. Сопоставление результатов расчета эволюции ориентаций кристаллитов с теоретическими результатами, полученными с использованием других моделей, и экспериментальными данными обнаруживает хорошее соответствие.

Представляется целесообразным упомянуть работу [69], содержащую значительное количество экспериментальных данных по лучевым и двухзвенным траекториям деформации листового алюминиевого сплава, пригодных для идентификации и верификации теоретических моделей. Подробно описана методика экспериментальных исследований, включающих как чисто механические измерения, так и анализ тек-

141

стуры и дислокационных субструктур. Теоретические исследования проведены с использованием вязкопластических моделей со степенным законом, «полностью стесненной» и самосогласованной. Обе модели дают близкие результаты как по зависимостям напряжений от работы на пластических деформаций, так и по полюсным фигурам; отмечается, что полюсные фигуры в теоретических расчетах получаются более четко выраженными («острыми»), чем в экспериментах.

Вопросы к главе 6

1.В чем состоит основное отличие вязкоупругих и вязкопластических моделей?

2.Предложите модификации соотношения (6.2) для учета влияния температуры.

3.Как изменятся соотношения (6.1) и (6.2) при удвоении систем скольжения (то есть при переходе к положительным сдвигам)?

4.Приведите физическое объяснение закона упрочнения (6.3)–(6.4).

5.Является ли система уравнений (6.6) однозначно разрешимой? Каковы критерии ее разрешимости относительно s?

6.Приведите выражение тензора р в (6.6) для случая одноосного напряженного состояния и одиночного скольжения по СС ГЦК-решетки (ориентацию решетки по отношению к оси нагружения выбрать самостоятельно), определите обратный тензор р–1.

7.Получите самостоятельно выражение (6.9).

8.Запишите математическую постановку задачи оптимизации для

K

модели [141] с учетом ограничения типа равенства d = ∑m((S)0k ) γ(k ) . Что

k=1

можно сказать о единственности ее решения?

9. Как описывается ротация кристаллической решетки в рассматриваемых моделях?

142

ГЛАВА 7. УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

7.1. АНАЛИЗУПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Обзор работ по физическим теориям пластичности, вязко- и упруговязкопластичности, выполненных до 1985 года, содержится в статье [64]. В ней подробно рассматривается конститутивная модель неупругого деформирования ГЦК поликристаллического агрегата при больших градиентах перемещений. Поскольку данная статья является одной из основополагающих и весьма часто цитируемых работ по ФТП, представляется целесообразным ее детальное рассмотрение. Предлагаемая модель является двухуровневой. Элементом макроуровня является поликристалл, мезоуровня – кристаллит (зерно), способный неупруго деформироваться скольжением краевых дислокаций. Связь низшего масштабного уровня с верхним осуществляется осреднением. Как отмечают авторы, модель пригодна для определения текстуры материала и напря- женно-деформированного состояния при различных историях нагружения зерен ГЦК-агрегата.

Одной из важных особенностей модели является выбор физически обоснованных законов упрочнения, основанных на экспериментальных данных. В модели описывается деформационное и латентное упрочнение, используются чувствительные к скорости деформирования уравнения состояния и соответствующие параметры материала. Основой предлагаемой модели является конститутивная упругопластическая модель Тейлора– Бишопа–Хилла. В работе предложен ряд модификаций, позволяющий, в частности, решить проблему выбора неединственности активных СС.

Модель мезоуровня

Описание пластического течения, как и многих других моделей ФТП, основывается на работах [164–166]. Некоторые конститутивные соотношения, используемые в данной работе, можно найти в [65, 103]. Зерно деформируется упруговязкопластически, механизмом неупругого деформирования мезоуровня является движение краевых дислокаций. Градиент деформаций (транспонированный градиент места) f записывается с помощью соотношения Ли [121]:

143

x

где f in = ei ei описывает скольжение дислокаций по кристаллографическим СС и связывает отсчетную конфигурацию K0 с разгруженной Kx,

x

f e = eˆi ei – характеризует упругое деформирование и переводит промежуточную конфигурацию Kx в текущую Kt. Выше использованы обо-

ются ортонормированными в недеформированной решетке (в отсчетной и промежуточной конфигурациях), в деформированной решетке (в текущей конфигурации) в анализируемой статье эти направления описываются соотношением:

второго соотношения; вообще-то, вектор нормали преобразуется при переходе от отсчетной к актуальной конфигурации совершенно аналогично со-

Вероятно, авторы неявно принимают, что тензор упругих искажений в разложении упругой составляющей градиента места f e близок к ортогональному тензору (т.е. упругими искажениями пренебрегается); в этом

Используя мультипликативное разложение градиента деформации (7.1), можно определить градиент скорости перемещений l:

144

где le и lin – упругая и неупругая составляющие градиентов скоростей перемещений в текущей конфигурации. Полагая, что пластическая деформация осуществляется сдвигами по известным СС, используя (7.3) и разложение lin на симметричную din и антисимметричную части win, записывается неупругая составляющая градиентов скоростей перемещения lin:

k

где γ(k ) – скорость сдвига по k-й CC, din – пластическая составляющая

тензора деформации скорости, win – пластическая составляющая тензора вихря. Для каждой k-й СС вводятся в рассмотрение симметричные и антисимметричные тензоры:

Далее авторы, используя (7.3), раскладывают соответствующие составляющие на симметричную и антисимметричные части:

Для дальнейшего рассмотрения кинематики деформирования вводится аналог тензора Коши–Грина, определенный в терминах разгру-

женной конфигурации εex . Напомним, что тензор Коши–Грина определяется в отсчетной конфигурации K0 [31]:

где I – единичный тензор; тензор εex определяется следующим образом:

145

Найдем связь этого тензора с упругой составляющей тензора деформации скорости de:

Рассмотрим связь тензора скорости деформаций Коши–Грина ε и скорости упругого тензора Коши–Грина в разгруженной конфигурации εex . Продифференцируем соотношение (7.8) и используем мульти-

пликативное разложение градиента деформаций f = f e f in :

= f inT εex f in + f inT εex f in + f inT εex f in + 12 (f inT f in + f inT f in ) =

= f inT εex f in + f inT εex f in + f inT εex f in + εin0 ,

146

где εin0 обозначена скорость неупругого тензора Коши–Грина в отсчет-

ной конфигурации K0 ( εin0 = 12 (f in T f in − I) ).

Целью дальнейших выкладок является получение ОС упругопластического тела. Для этого вводится в рассмотрение (упругий) потенциал, устанавливается его физический смысл; далее с помощью последнего определяется вид искомого ОС в скоростной форме.

Напомним, что существует определение упругих материалов, опирающиеся на понятие потенциала. Такие материалы называются упругими по Грину или гиперупругими. Для определения потенциала вводится элементарная работа внешних массовых и поверхностных сил [31]:

где δr – виртуальное (возможное) перемещение, δ'A – элементарная работа (δ' свидетельствует о том, что речь идет не о вариации работы, а о работе на виртуальных перемещениях). Используя соотношение Коши, теорему Гаусса–Остроградского и уравнение движения сплошной среды, можно показать, что в случае квазистатического нагружения

где kI – I-й тензор Пиолы–Кирхгоффа, σ – тензор напряжений Коши.

Введенное определение дополняется требованием существования потенциала ϕ – функции некоторой меры деформации, удовлетворяющей условию

147

где δ′φ – вариация потенциала. Величина ϕ характеризует запасенную в результате деформирования упругую энергию на единицу объема в K0 [31]. Потенциальная энергия тела определяется интегрированием ϕ по объему тела.

Напомним определение производной Ft скалярно-значной функции F тензорного аргумента A, который в свою очередь зависит от ска-

В работе принимается, что упругость кристалла не зависит от скольжения и определяется удельной энергией упругой деформации ϕ . Скорость работы напряжений в единице объема зерна определяется соотношением

где k – взвешенный тензор Кирхгоффа, равный тензору Коши σ, умноженному на det (f), τ(k ) – сдвиговые напряжения по k-й СС, τ(k ) = k : m((S)k ) . Преобразуем (7.19), используя тензор скорости упругих деформаций Коши–Грина, определенный в разгруженной конфигурации

εex [103], соотношения (7.12) 1 и (7.18):

148

когда говорится «тензор, определенный в терминах (или в базисе) той или иной конфигурации», это означает, что компоненты тензора в соответствующем базисе имеют ясно выраженный физический (геометрический, энергетический) смысл. Разумеется, тензор в силу своих свойств можно преобразовать в любой другой базис, однако при этом, как правило, теряется физический смысл его компонент. Поскольку упругие

пользуя разложение в ряд Тейлора и ограничиваясь вторым порядком. Заметим, что для выявления симметрийных свойств πx удобно воспользоваться кристаллографической системой координат.

Левую часть соотношения (7.25) в компонентах можно писать следующим образом (вывод предоставляется читателю):

в чем можно убедиться, записав правую часть (7.27) в компонентах. Введем в рассмотрение математический объект π:

Возникает вопрос о природе введенного объекта: является ли он тензором? Заметим, что π образован из компонент тензора 4-го ранга πх в базисе разгруженной конфигурации и полиадного базиса в актуальной конфигурации. Напомним, что тензор – величина инвариантная по отношению к выбору системы координат, в то время как его компоненты

150