книги / Физические теории пластичности

материалы с уменьшением размера зерна могут стать способными к сверхпластическим деформациям [6].

Монокристаллические тела с идеальной структурой вследствие неодинаковой плотности атомов в различных плоскостях и направлениях решетки обладают анизотропией физических и механических свойств. Например, модуль упругости, удельное электросопротивление, коэффициент диффузии имеют различное значение для разных направлений в кристалле [7, 9, 19].

Используемые в технике металлы и сплавы, как правило, являются поликристаллами, т. е. состоят из большого числа анизотропных кристаллитов (зерен, субзерен). В большинстве случаев (в состоянии поставки) в пределах представительного макрообъема кристаллиты статистически неупорядоченно ориентированы один по отношению к другому, поэтому на уровне представительного макрообъема во всех направлениях свойства можно считать одинаковыми, т.е. поликристаллическое тело в макроскопическом смысле можно считать изотропным.

Пластическая деформация уже при умеренных интенсивностях (порядка 0,1–0,2) деформации, сопровождается образованием кристаллографической текстуры того или иного типа и той или иной интен-

сивности. Под кристаллографической текстурой понимается неодно-

родность функции распределения ориентаций (ФРО) решеток зерен в представительном объеме, наличие выделенных (преимущественных) направлений в пространственной ориентировке кристаллических решеток отдельных составных частей (зерен, субзерен) поликристаллического тела [9]. Конкретный вид текстуры определяется типом кристаллической решетки кристаллитов, схемой деформирования материала, величиной накопленных деформаций, энергией дефекта упаковки (ЭДУ) и другими физическими параметрами. На рис. В.1 приведены наиболее распространенные текстуры листовой прокатки.

Экспериментальному исследованию свойств текстурированных материалов посвящено значительное количество работ, например [69, 104, 109, 110, 123, 179, 182], этой тематике посвящена регулярно проводящаяся (раз в 3 года) Международная конференция «International Con-

ference on Textures of Materials (ICOTOM)».

Эксперименты со всей очевидностью показывают, что вследствие образования текстуры поликристаллический материал приобретает анизотропию свойств на уровне представительного макрообъема. В качестве примера можно привести зависимость между модулем упругости E

11

вующее ребру куба, насыщается легче всего, тогда как направление, соответствующее диагонали куба,

насыщается труднее всего [19]. На основании изложенного легко понять, что лист поликристаллического железа с соответствующей текстурой может превосходить по магнитным свойствам лист с беспорядочно ориентированными зернами. Электротехническая промышленность использует для сердечников трансформаторов лист из сплава железа с кремнием (3,3 % кремния) с целью достижения минимальных потерь на гистерезис; при этом лист должен обладать сильно развитой кубической текстурой {100}<001>, которая имеет два направления наиболее легкого намагничивания <100> в плоскости листа. Второй подходящей текстурой является {110}<001>, или ребровая кубическая текстура, которая имеет лишь одно направление легчайшего намагничивания в плоскости листа.

Таким образом, практическое значение текстур обусловлено вызываемой ими анизотропией свойств, которая может весьма эффективно использоваться. В то же время образование текстуры может и негативно повлиять на макросвойства материала: например, при листовой штамповке, глубокой вытяжке заготовок из металлов и сплавов могут образовываться так называемые фестоны [7].

13

Экспериментально текстуры определяют с помощью методов рентгеновского анализа, просвечивающей электронной микроскопии и дифракционным методом электронной микроскопии [28]. В работе [69], содержащей значительное количество экспериментальных данных по лучевым и двухзвенным траекториям деформации листового алюминиевого сплава, подробно описана методика экспериментальных исследований, включающих как чисто механические измерения, так и анализ текстуры и дислокационных субструктур.

Подход к построению определяющих соотношений с использованием внутренних переменных

Имеются, по крайней мере, две возможности учета эволюции мезо- и микроструктуры в математических моделях материалов: неявным или явным способом. В первом случае в структуру определяющих соотношений (ОС) вводятся достаточно сложные операторы над историей макронагружения (макродеформации) [35], без использования в явной форме параметров, описывающих эволюцию собственно мезо- и микроструктуры (например, теория упругопластических процессов А.А. Ильюшина [12, 13]). Как правило, при этом трудно выявить и обосновать физический смысл и механизмы деформирования, описываемые различными (обычно – довольно сложными) операторами модели материала. Идентификация подобных моделей требует проведения трудоемких

идорогостоящих экспериментов. Применение подобных ОС при решении краевых задач, возникающих при анализе реальных процессов, также связано со значительными трудностями.

Впоследние десятилетия все большее признание находит второй способ – явное введение в структуру определяющих соотношений параметров, описывающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры, и формулировки эволюционных (кинетических) уравнений для этих параметров, называемых «внутренними переменными».

Влитературе, посвященной различным теориям процессов необратимого деформирования, внутренними переменными называют параметры, отражающие структуру и механизмы деформирования на мезо-

имикроуровнях. Этимология термина «внутренние переменные», вероятно, связана и с (неравновесной) термодинамикой, где внутренними переменными называют параметры состояния термодинамической системы, управлять напрямую изменениями которых за счет внешних воз-

14

действий невозможно. Иначе говоря, эти переменные описывают «внутреннюю жизнь» термодинамической системы, чрезвычайно богатую сценариями развития, неустойчивостями, возникновением и разрушением внутренних структур.

Например, в случае рассмотрения процессов упругопластического деформирования поликристаллических материалов такими переменными могут являться параметры, характеризующие размеры и форму зерен, накопленные сдвиги по различным системам скольжения (СС), текущие критические напряжения сдвига по СС. Большинство физических теорий пластичности построено, по существу, в рамках данного подхода с использованием указанных выше внутренних переменных, которые характеризуют состояние материала в текущий момент времени. Для упругопластического деформирования в общем случае возможно введение и других параметров, характеризующих, например, дефектную структуру как в отдельных зернах, так и во всем рассматриваемом представительном объеме. В частности, для учета механизма зернограничного скольжения необходимым представляется введение в качестве отдельных элементов структуры межзеренных границ, величин сдвигов по границам и критических напряжений зернограничного скольжения (ЗГС).

В настоящее время невозможно назвать какую-либо теорию необратимых деформаций, не использующую явно или неявно внутренние переменные. Например, в классической теории пластичности широко применяется понятие поверхности текучести, отделяющее в пространстве напряжений области упругого и неупругого деформирования [11, 14, 33]. В процессе деформирования поверхность текучести изменяет свою форму и размеры, перемещается как целое [14]. Эта эволюция поверхности текучести на макроуровне отражает изменения свойств материала, обусловленные перестройками мезо- и микроструктуры, в связи с чем параметры, описывающие эволюцию этой поверхности, с полным правом можно отнести к внутренним переменным. Аналогичная ситуация имеет место и в других теориях (вязкоупругости, вязкопластичности, ползучести и др.). Широкий класс моделей, по существу, основанных на введении внутренних переменных, разработан исследователями томской школы физиков [22–24, 54].

Рассмотрим общую структуру конститутивной модели с использованием внутренних переменных для некоторого масштабного уровня. Введем следующие обозначения:

15

Σ– мера (в общем случае произвольная) напряженного состояния,

Σr – ее объективная [31] скорость изменения,

Ργ γ = 1, Γ – параметры воздействия термомеханической (напри-

мер, температура, мера деформированного состояния и т.д.) и нетермомеханической (например, радиация, химические воздействия) природы.

Часть внутренних переменных непосредственно входит в структуру ОС данного масштабного уровня, такие переменные в дальнейшем

будем обозначать как Jβe , β = 1, Βe и для ясности называть их внутрен-

ними «явными» (explicit) переменными. Вторая группа внутренних переменных (в большинстве случаев относящихся к более глубоким масштабным уровням) входит в качестве переменных в эволюционные уравнения (ЭУ); переменные этой группы будем обозначать как Jβi ,

β =1, Β i ; для того чтобы отличать их от переменных первой группы, будем называть их внутренними «скрытыми (неявными)» (implicit) переменными. Полная совокупность внутренних переменных, таким обра-

При построении модели для решения вопроса выбора внутренних переменных целесообразно руководствоваться нижеприведенными требованиями:

1.Набор внутренних переменных должен быть достаточным для адекватности модели: последняя должна описывать интересующие эффекты и соответствовать экспериментальным данным с требуемой точностью;

2.Набор внутренних переменных должен быть минимальным (так как введение каждой дополнительной переменной приводит к необходимости включения эволюционного уравнения (для неявных) или уравнения замыкания (для явных), т.е. усложнению ОС).

Можно отметить, что требования 1 и 2 противоречивы, что характерно для построения любой модели [8]: необходимо при минимуме использованных средств достичь возможно полного, адекватного описания явления или объекта.

3.Внутренние явные переменные (по крайней мере, некоторые) должны быть измеримы экспериментально в любой момент времени.

Кэтому приводит необходимость задания начальных условий для (не-

16

PNRPU

которых) явных внутренних переменных (например, распределение зерен по размерам в начальный момент времени). Кроме того, измеримость некоторых переменных необходима для верификации модели.

Структура конститутивной модели с внутренними переменными

Анализ существующих моделей материала и физических механизмов неупругого деформирования широкого класса конструкционных материалов позволяет предложить структуру конститутивной модели, включающую:

1) уравнения состояния (определяющие соотношения (ОС))

2) эволюционные уравнения (ЭУ) (для скрытых переменных)

3) замыкающие уравнения (ЗУ)

Наряду с соотношениями в скоростной (дифференциальной) форме могут использоваться уравнения в терминах самих параметров, характеризующих напряженно-деформированное состояние и воздействия. Вопрос выбора типа ОС, ЭУ и ЗУ – в терминах мер напряженного состояния и других параметров («интегральные» соотношения) или мер скоростей их изменения («дифференциальные» соотношения, соотношения скоростного типа) – в каждом конкретном случае решается исследователем. При этом учитываются соображения физического характера, сложности записи соотношений, ясности интерпретации результатов и т.д.; понятно, что в силу отсутствия четко определенных критериев подобный выбор во многом субъективен. Следует отметить, что общая система соотношений модели материала может содержать уравнения разных типов как по группам соотношений, так и внутри каждой из трех групп.

17

В качестве положительных сторон подхода можно отметить следующие:

1.Бόльшая ясность физической интерпретации уравнений по сравнению с построением ОС в операторной форме. В частности, при построении макрофеноменологических (операторных) соотношений теории пластичности необходимость учета нескольких (а зачастую – множества) механизмов приводит к чрезвычайной сложности получаемых уравнений, что затрудняет анализ таких ОС (особенно в случаях, когда в авторской работе подробно не раскрывается физический смысл построенных в ней ОС). Применение внутренних переменных позволяет существенно упростить эти операторы. При этом и сами внутренние переменные, и эволюционные уравнения для них физически прозрачны.

2.Возможность прямой или косвенной проверки результатов моделирования эволюции мезо- и микроструктуры на основании опытных данных и/или анализа параметров на различных масштабных уровнях.

3.Относительная простота совокупности уравнений модели (определяющих, эволюционных и замыкающих).

4.Широкие возможности обработки результатов решения эволюционных уравнений при переходе к макропеременным (с использованием различных операторов осреднения). На основании одних и тех же уравнений для микро- и мезоуровней возможно получение различных (в том числе дающих количественно различные результаты) моделей материалов.

5.Модели данного типа обладают значительной универсальностью, поскольку они основаны на фундаментальных физических законах, пригодных для описания целых классов материалов.

В качестве отрицательных сторон подхода можно отметить:

1) большое число внутренних переменных и соответствующих эволюционных уравнений, необходимых для адекватного описания процесса необратимого деформирования;

2) трудности решения «проблемы замыкания»: при формулировке физических уравнений для представительного макрообъема возникает

необходимость введения параметров меньшего масштабного уровня и эволюционных уравнений для них и т.д. Следует отметить два наиболее употребительных подхода к решению проблемы замыкания. В первом – феноменологическом – параметры, характеризующие структуру на более низких масштабных уровнях, определяются функциональными уравнениями через параметры рассматриваемого уровня (например, как

18

в модели турбулентности Рейнольдса) с последующей экспериментальной проверкой этих уравнений. Второй подход основан на построении иерархической совокупности моделей нескольких масштабных уровней и установлении связей между однотипными характеристиками процесса деформирования соседних уровней. Следует отметить, что в этом случае полностью избежать феноменологических соотношений, конечно, не удается, однако они записываются для самого низкого масштабного уровня в принятой иерархической совокупности;

3) отсутствие в подавляющем большинстве случаев аналитических решений системы эволюционных и определяющих соотношений, что приводит к необходимости использования численных методов.

Анализируя совместно и преимущества, и недостатки рассматриваемого подхода, можно отметить, что применение данного подхода представляется весьма перспективным для построения моделей материалов, особенно в свете развития вычислительных технологий.

О многоуровневых моделях

Следует отметить, что подавляющее количество теоретических работ, посвященных описанию формирования и эволюции текстуры, являются, по существу, двухуровневыми (мезо- и макроуровни). В связи с этим кратко остановимся на особенностях построения многоуровневых моделей . Обзор подходов и методов, применяемых в многоуровневых моделях, гипотез и алгоритмов для установления связей родственных переменных различных уровней, основных нерешенных проблем в рассматриваемой области приведен в [78]. Представляет интерес одна из недавних публикаций по данному направлению [126], в которой делается попытка сформулировать теоретические основы построения многоуровных моделей. Отмечается, что существующие многоуровневые модели можно разделить на два больших класса: 1) «согласованные» (двухсторонние), в котором связи параметров соседних уровней устанавливаются с применением итерационных процедур между уровнями; 2) «иерархические» (односторонние), для которых указанные связи определяются только в одном направлении – сверху вниз или снизу вверх (по шкале масштабов). Приведена общая схема N-уровневой модели, согласно которой каждой точке «грубого» k-го уровня соответствует представительный (материальный или статистический) объем более «тонкого» (k+1)-го уровня; дальнейшее рассмотрение ведется для двух

19

соседних уровней. Большое внимание уделяется связям параметров и уравнений различных уровней, формулируется набор законов (называемых авторами принципами) для установления этих связей.

Детально рассматривается кинематика соседних масштабных уровней, устанавливаются связи кинематических характеристик (координат, градиентов места, ограничиваясь вторым порядком градиентов), мультипликативное разложение градиентов места, отмечается отличие промежуточных (разгруженных) конфигураций рассматриваемых уровней. Уравнения движения (изменения количества движения и момента количества движения) записаны в обобщенной формулировке (принцип виртуальных скоростей). Значительная часть статьи посвящена рассмотрению термодинамических соотношений и установлению связей между термодинамическими параметрами соседних уровней. Обсуждаются подходы к формулировке конститутивных соотношений рассматриваемых масштабных уровней.

Классификационными признаками для подразделения многоуровневых моделей на классы могут быть выбраны: а) число уровней, включенных в рассмотрение, и связанный с уровнями выбор «элементарной ячейки» (в дальнейшем будем называть ее «элементом» соответствующего уровня); б) модель (гипотеза) связи однотипных характеристик различных уровней; в) физические теории, положенные в основу соотношения нижних масштабных уровней. В настоящее время подавляющее большинство используемых многоуровневых моделей относится к двухуровневым (макро- и мезоуровни), в качестве элемента нижнего уровня в таких моделях, как правило, выбирается кристаллит (зерно, субзерно); в последние годы появляются трехуровневые модели (с добавлением микроуровня). В подразд. 8.1 подробно рассмотрены идеология построения многоуровневых моделей и их классификация.

Весьма важным отличительным признаком многоуровневых моделей, во многом определяющим «качество» моделей, является гипотеза о связи характеристик различных уровней (иногда говорят о гипотезе осреднения, или о гипотезе агрегирования – объединения элементов нижележащего уровня в элемент более высокого масштабного уровня). На различных вариантах таких связей подробно остановимся в подразд. 8.2.

20