книги / Физические теории пластичности

Тензор моментных напряжений можно представить разложением на девиаторную и шаровую части:

где g – единичный тензор, I1 – первый инвариант. Заметим, что физический смысл такого представления в статье [17] не обсуждается; вероятно, это сделано только с целью исключения из дальнейшего рассмотрения первого инварианта моментных напряжений. Тогда с использованием (1.8)–(1.10) от уравнений равновесия (1.6)–(1.7) можно перейти к одному (векторному) уравнению равновесия:

Несколько забегая вперед, отметим, что при подстановке ОС в (1.11) получим дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно скоростей перемещений, что, в свою очередь, требует увеличения числа граничных условий до 6 в каждой точке поверхности тела. Как оказывается, это не совсем так, в цитируемой работе показано, что число кинематических граничных условий (в скалярной форме) равно 5.

Кратко остановимся на кинематике. В модели Койтера, как и в любом КлК, вводятся перемещения u и скорости перемещений v, причем эти величины следует трактовать как осредненные параметры по микрочастицам скользящего представительного объема, отнесенные к его центру масс. По этим полям можно обычным образом определить тензор малых деформаций и тензор деформации скорости соответственно:

Аналогично кинематике КлК можно ввести тензор вихря W и ассоциированный с ним вектор угловой скорости ω:

31

причем в модели Койтера именно последний вектор отвечает за поворотную моду и является сопряженным вектором к вектору объемных моментов. Иначе говоря, модель Койтера представляет собой так называемый псевдоконтинуум Коссера. Напомним, что тензор W (а следовательно, и ассоциированный с ним вектор угловой скорости) определяет угловую скорость движения материальных волокон, совпадающих в текущий момент времени с главными осями тензора деформации скорости D [31].

Введем также (транспонированный) градиент вектора угловой скорости, являющийся материальной производной так называемого тензора кривизн-кручений k :

Учитывая геометрический смысл тензора вихря W (а следовательно, ассоциированного с ним вектора ω) и полагая поле градиентов вектора скорости перемещений достаточно гладким, можно трактовать тензор кривизн-кручений как меру относительного вращательного движения двух бесконечно близких триэдров материальных волокон, направленных вдоль главных векторов тензора деформации скорости. Тензор k , как нетрудно показать, является девиатором и несимметричным тензором. Таким образом, наряду с представлением движения частицы суммой мгновенных трансляционного движения, квазижесткого поворота и «чистого» деформирования (теорема Коши–Гельмгольца) в псевдоконтинууме Коссера появляется еще одно деформационное движение, характеризуемое тензором кривизн-кручений.

Используя соотношения (1.6)–(1.9), (1.12)–(1.14), можно показать, что скорость совершения работы над каждой материальной частицей определяется соотношением:

Для упругого материала этим соотношением выражается и скорость изменения внутренней энергии, что в дальнейшем используется для построения определяющих соотношений (гиперупругих или упругих по Грину).

32

Согласно определению гиперупругого (по Грину) материала существует упругий потенциал П, являющийся скалярной функцией мер деформированного состояния, такой, что ее производная по времени равна скорости изменения удельной (на единицу объема) механической работы. Общий вид П следует из (1.15):

Предполагая изотропию материала, приходим к требованию, чтобы потенциал был только функцией квадратичных главных инвариантов мер деформации, т.е. (ε: g)2 , ε: ε, ε: k, k : kT , k : k , причем третий из

перечисленных инвариантов нарушает условие изотропии и поэтому должен быть исключен из рассмотрения. Тогда в предположении малых деформаций получаем по аналогии с потенциалом для классической гиперупругой среды:

где G – модуль сдвига, ν – коэффициент Пуассона, l – так называемый характерный размер материала (о котором мы поговорим несколько позднее), η – безразмерная величина (в работе Койтера она называется

аналогом коэффициента Пуассона). При этом из требования положительной определенности потенциала вытекают следующие ограничения на материальные константы: G > 0, 0 < ν< 0,5, –1 < η< 1, l – вещест-

венное число. Из (1.17)–(1.18) легко получаются определяющие соотношения следующего вида:

Остановимся на анализе параметра l – характерного размера материала. Напомним, что k является градиентом вектора поворота, т.е. первой производной по координатам вектора поворота. Тогда k l можно

33

трактовать как приращение этого вектора поворота на характерном размере, а еще одно умножение на этот размер (вкупе с умножением на модуль упругости) дает момент на этом же масштабе. Тогда l представляется возможным отождествить с упомянутым выше радиусом корреляции. По крайней мере, это не противоречит качественной картине – при стремлении радиуса корреляции к нулю моментные напряжения, как и должно быть, стремятся к нулевым. При этом надо иметь в виду, что, поскольку рассмотрение осуществляется на одном масштабном уровне, при решении задач численными или аналитическими методами следует оперировать размерами, не превосходящими радиус корреляции. В случае неупругого деформирования радиус корреляции, вероятно, становится функционалом процесса, и для него потребуется формулировка эволюционного уравнения.

Остановимся на анализе параметра η, для чего рассмотрим соот-

ношение (1.19) 2 в компонентной форме. Напомним физический смысл компонент тензора моментных напряжений и геометрический смысл компонент тензора кривизн-кручений [26]; компоненты будем опреде-

лять в ортонормированном базисе ik (k = 1, 3 ) декартовой системы координат Ох1х2х3. Компоненты kii характеризуют изменение вдоль оси Охi угла кручения материального объема вокруг той же оси Охi. Компоненты kij (i ≠ j) характеризуют изменение угла поворота вокруг оси Охi

вдоль координаты хj, т.е. изгиб материального волокна, расположенного вдоль оси Охj вокруг оси Охi.

ствующую на единицу площадки, перпендикулярной оси Охi, пару сил, закручивающую материальное волокно вокруг той же оси Охi. Компоненты тензора моментных напряжений µˆ ij , i ≠ j , определяют дейст-

вующую на единичную площадку, перпендикулярную оси Охi, пару сил, изгибающую материальный отрезок вокруг оси Охj.

Для диагональных компонент девиатора моментных напряжений получим:

Если известен характерный размер материала, то с использованием любого из этих соотношений экспериментально может быть оп-

34

ределен параметр η; однако его физический смысл при этом остается

невыясненным.

Для недиагональных компонент имеем:

Предположим, что грань с нормалью ij подвергается изгибу вокруг оси ii, тогда если грань с нормалью ii свободна от изгибающего момента вокруг оси ij, т.е. µˆ ij = 0, то эта свободная грань будет испытывать изгиб

вокруг оси ij на величину kij = – 1ηk ji . Таким образом, действительно

имеет место определенная аналогия с коэффициентом Пуассона в классической теории упругости, однако с заменой диагональных компонент мер напряженного и деформированного состояния на недиагональные компоненты.

Как уже отмечено выше, основные соотношения теории Койтера совпадают с уравнениями широко известного континуума Коссера [83]. Однако в модели Коссера вращательная степень свободы вводится независимо от классической кинематики сплошной среды, т.е. каждой материально частице наряду с поступательными степенями свободы придается возможность совершать независимые вращательные движения, скорость поворота обозначается (аналогично принятому выше обозначению в модели Койтера) ω. Для формулировки ОС упругого материала, как правило, используется формализм, идентичный рассмотренному выше.

В последние 10–15 лет опубликовано значительное количество работ, в которых предложены различные варианты расширения континуума Коссера на процессы неупругого деформирования, остановимся на одной из них [94]. В статье принято несколько иное определение тензора деформации скорости – в духе классических соотношений континуума Коссера (записанных в терминах градиента вектора скорости перемещений) D определяется как сумма градиента скорости перемещений и градиента вектора скорости поворота, т.е. является несимметричным тензором 2-го ранга; здесь не будем останавливаться на деталях изложения кинематики, уделив главное внимание процедуре формулировки ОС для пластической составляющей меры скорости деформации. По аналогии с классическими неупругими средами для континуума Коссера предполагается приемлемой гипотеза об аддитивности скоростей упругих и неупругих составляющих мер скоростей деформаций:

35

определения Dp и k p в случае неассоциированной модели вводятся пластический потенциал и функция текучести; для ассоциированного закона достаточно ввести функцию текучести, здесь воспользуемся ассоциированным законом. В этом случае также возможны два варианта: либо использовать одну функцию текучести f (S, µˆ ′, RT ) для определе-

ния пластических составляющих тензора деформации скорости и тензо-

Аналогичным образом с применением принципа градиентальности осуществляется формулировка ОС для варианта с двумя функциями, вывод которых предоставляется читателю. В последние 10–15 лет наблюдается устойчивый рост интереса к различным неклассическим континуумам, в частности, к градиентным моделям (материалам второго порядка), в том числе в рамках физических теорий пластичности;

36

с кратким обзором публикаций по этой тематике интересующийся читатель может познакомиться в статье [47].

ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 1

1.Дайте определение физических теорий пластичности.

2.В каких условия возникает необходимость перехода к геометрически нелинейным определяющим соотношениям?

3.Сформулируйтеаксиомунезависимостиотвыборасистемыотсчета.

4.Дайте определения конвективных и коротационных производных.

5.В чем состоит основное отличие коротационных и конвективных производных?

6.Дайте определения квазитвердого и деформационного движения.

7.В каких случаях требуется осуществлять переход к моделям обобщенных континуумов?

8.В чем состоят основные отличия моделей обобщенных континуумов от классических?

9.Приведите вывод соотношений модели обобщенного континуума В. Койтера.

10.Изложите основные положения модели С. Фореста и Р. Сиверта.

11. Получите определяющие соотношения модели С. Фореста и Р. Сиверта при использовании двух функций текучести.

37

ГЛАВА2. МЕХАНИЗМЫНЕУПРУГОГОДЕФОРМИРОВАНИЯ

2.1. ОДИСЛОКАЦИОННЫХ МЕХАНИЗМАХ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

К числу важнейших «носителей» механизмов неупругого деформирования моно- и поликристаллов относятся одномерные (линейные) дефекты кристаллической решетки – дислокации; без знания этих дефектов, механизмов их возникновения и взаимодействия с другими дефектами невозможно понимание физической природы пластической деформации и сопровождающих последнюю процессов упрочнения – разупрочнения материалов и других эффектов, наблюдаемых на макроуровне.

Существовавшее в начале XX века предположение о сдвиге атомных плоскостей идеального кристалла относительно друг друга как возможном механизме неупругого деформирования столкнулось с огромным расхождением теоретических и экспериментальных данных. Оценки необходимых для реализации сдвига касательных напряжений (так называемой теоретической прочности) были получены различными авторами и приведены во многих источниках [30, 32, 147]. Весьма изящный способ определения теоретической прочности на сдвиг был предложен Я.И. Френкелем [30], который рассмотрел сдвиг одной атомной цепочки относительно другой. Пусть d – расстояние между двумя кристаллографическими плоскостями (совпадающими с плоскостью сдвига), а а – расстояние между атомами в направлении сдвига. При малом относительном сдвиге х атомных слоев сдвиговое напряжение определяется законом Гука (G – модуль сдвига):

Очевидно, что в силу периодичности расположения атомов в слоях смещение одного слоя относительно другого на величину х = а переведет решетку в исходное состояние (при нулевых напряжениях), в силу чего сдвиговые напряжения можно принять изменяющимися по синусоидальному закону:

38

где τm – максимальное сдвиговое напряжение, которое может вы-

держивать решетка. В предположении малости х/а последнее соотношение можно записать в виде:

Несколько с иных позиций вопрос об определении напряжения сдвига, необходимого для движения дислокации, рассмотрели Пайерлс и Набарро [55]. Они определили изменение энергетического профиля поверхности скольжения при возникновении возмущений от движения дислокации из одного равновесного положения до другого, также предполагая, что напряжение сдвига, действующее по плоскости скольжения, является периодической функцией относительно смещения соседних плоскостей. Используя синусоидальное приближение, было показано, что напряжение страгивания краевой дислокации определяется выражением:

где v – коэффициент Пуассона, а = b (модуль вектора Бюргерса). Понятно, что полученные оценки являются качественными, позволяющими оценить порядок величины критического напряжения, соответствующего началу пластического деформирования.

Однако эксперименты, проведенные на широком классе отожженных кристаллов различных металлов, показывают, что значения сдвиговых критических напряжений равны (10–6÷10 –4) G. Объяснение этому было дано в середине 30-х годов нашего столетия, в первую очередь – в практически одновременно опубликованных в 1934 году работах Тейлора, Орована и Поляньи (результаты были получены авторами независимо друг от друга). Отмеченное несоответствие объяснялось цитируемыми авторами и другими исследователями наличием в кристаллах специфических линейных дефектов – дислокаций. В этом случае для осуществления неупругого деформирования нет необходимости одно-

39

временного разрушения связей всех соседствующих вдоль плоскости сдвига атомов, достаточно локального разрушения и восстановления таких связей вдоль линии дислокации по эстафетному механизму. Установление такого типа дефектов в качестве основного «носителя» неупругой деформации позволило существенно улучшить соответствие теоретических и экспериментальных данных.

Два основных типа дислокаций – краевые и винтовые. Основной характеристикой дислокации является вектор Бюргерса, определяющий различие замкнутого контура в бездефектном кристалле и замкнутого контура, окружающего линию дислокации (контур Бюргерса).

Схематично образование краевой дислокации можно представить следующим образом: в идеальном кристалле делается плоский надрез, в который вставляется лишняя полуплоскость (экстраплоскость), после чего системе дают возможность отрелаксировать (рис. 2.1). После релаксации правильное строение кристалла восстанавливается во всем объеме, за исключением узкой области (с размерами в несколько межатомных расстояний), примыкающей к краю экстраплоскости.

Рис. 2.1. Схема образования краевой дислокации (экстраплоскость и линия дислокации перпендикулярны плоскости рисунка)

Плоскость, перпендикулярная экстраплоскости и определяемая нормалью n, называется плоскостью залегания или плоскостью скольжения краевой дислокации; вектор Бюргерса b краевой дислокации расположен в плоскости залегания и определяет направление возможного движения (скольжения) дислокации. Край экстраплоскости определяет

40