книги / Совершенствование метода вибродиагностики технического состояния элементов дорожных конструкций и кольцевых стендов

сальным и позволяет проводить расчеты для разнообразных сложных конструкций. Однако следует заметить, что расчет производится в числах и не позволяет производить аналитических зависимостей.

Для расчета механических характеристик процессов конструкцию дороги представляют в виде некоторой модели. Модель может быть условно разбита на две части: физическая модель и расчетная схема. Физическую модель представляют в виде дискретной модели-сетки, определяющей конфигурацию и взаимное положение слоев. Расчетная схема является математическим описанием процессов в модели-сетке.

Для построения модели сетки-блока, близкого по форме прямоугольному параллелепипеду, необходимо разбить его параллельными плоскостями на элементы. Относительные размеры элементов должны быть достаточно малыми. От их величины зависит точность расчета.

Если параллельные плоскости находятся на равном расстоянии друг от друга, то сетка называется регулярной. Применение нерегулярных сеток приводит к увеличению погрешностей расчета, поэтому мы ограничимся рассмотрением случая регулярных сеток. Шаги сетки в направлении различных координатных осей могут быть разными, что позволяет производить расчеты блоков, имеющих различные пропорции

Расчетная схема для монолитного блока может быть получена непосредственно из физических представлений о процессе деформирования элементов модели. Для этого в соответствии с принципом Даламбера к элементу прикладывают все внешние по отношению к нему силы и силы инерции и записывают суммы проекций этих сил на координатные оси. Проекции сил упругости и сил инерции на координатные оси могут быть записаны в виде следующих выражений:

∑Fxi = max ,

i

71

где m – масса элемента; aх, aу, az – проекции ускорения на координатные оси.

Для вычисления проекций упругих сил на координатные оси необходимо спроецировать на оси нормальные и касательные напряжения, действующие по граням элемента:

где σ+xx – напряжение, направленное в сторону x (первый ин-

декс) и приложенное к площадке с нормалью х (второй индекс); знак «+» показывает, что напряжение приложено по фасадной грани элемента; hx, hy, hz – шаги сетки в направлении соответствующих координатных осей.

В соответствии с представлениями теории упругости нормальные и касательные напряжения следует выразить через деформации растяжения (сжатия) и деформации сдвига:

где ε+xx – деформации растяжений в направлении х, вычисленные для передней грани элемента; ε+yy – деформации растяжения в направлении y, вычисленные для той же грани; ε+xy – деформа-

72

ции сдвига; λ, µ – коэффициенты Ламе, которые можно выразить через модуль Юнга и коэффициент Пуассона (Е, ν):

µ = 2(1E+ν) .

Расчетные соотношения должны быть инвариантны по отношению к перестановкам координатных осей, поэтому остальные выражения для напряжений можно получить циклической перестановкой х-у – z-х. В дальнейшем будем пользоваться такой сокращенной записью однотипных уравнений.

В качестве искомой функции при расчетах механических процессов выбирают перемещения узлов сетки относительно положения равновесия, поэтому следует выразить деформации через перемещения данного и соседних узлов.

Деформация растяжения в центре фасадной грани элемента естественно выражается через перемещения узлов х и (х + h), между которыми этот центр находится

где u – перемещения узлов в направлении х.

Для вычисления деформаций растяжения в центре передней грани в направлении y для соблюдения симметрии необходимо учесть перемещения четырех узлов:

где υ – перемещение узлов в направлении y.

Деформации сдвига определяются полусуммой тангенсов углов наклона соответствующих граней элемента к их положению в недеформированном состоянии. Выражая тангенсы через перемещение узлов и учитывая положение центра грани,

73

для которой вычисляется деформация сдвига, получаем выражения:

×(u(x + h, y + h) +u( y +h) −u(x −h, y + h)).

Ускорения, входящие в правую часть уравнений (2.6), следует также выразить через перемещения данного узла. Для этого возьмем перемещения в три последующие момента времени через равные промежутки τ и вычислим вторые разности:

где ω – перемещения в направлении z; τ – шаг по времени.

В результате получены известные в теории упругости уравнения Ламэ, выраженные в разностной форме. Если подставить все полученные выражения в уравнения, разделить на объем элемента hx, hy, hz и устремить шаги сетки к нулю, то с учетом предельного перехода к бесконечно малым величинам, например:

74

можно получить уравнение Ламэ в дифференциальной форме:

где ρ – плотность материала.

От дифференциальной формы записи уравнений Ламэ к разностной можно перейти формально, используя соотношения вида (2.8). В трехмерных задачах при применении прямоугольной системы координат так обычно и делают.

В других случаях это может привести к значительным погрешностям, поскольку при предельном переходе к бесконечно малым величинам в разностном уравнении может исчезнуть ряд членов, влияние которых на решение тем больше, чем больше размеры элемента. Кроме того, при получении уравнений из физических представлений становится ясным весь процесс деформации элемента.

Алгоритм расчета надо строить таким образом, чтобы последовательно вычислять напряжения, ускорения, перемещения. Это позволяет производить по ходу вычислений различные контрольные операции, например контроль по допустимым ускорениям или контроль прочности. Кроме того, это облегчает задание внешних воздействий на конструкцию, т.е. граничных условий.

Уравнения (2.3)–(2.9) являются универсальными и пригодными для расчета характеристик движения любого узла мо- дели-сетки. В процессе расчета число таких уравнений равно количеству узлов в модели. Однако алгоритм расчета можно построить таким образом, чтобы избежать решения системы связанных уравнений, а решать каждый раз одно уравнение с одним неизвестным. В нашей системе такими неизвестными, входящими в выражения для ускорений, будут перемещения данного узла на следующем шаге по времени (t + τ).

Разделим предыдущие уравнения на объем элемента hx, hy, hz и на плотность материала ρ и умножим на квадрат шага по

75

времени τ2. Решая их относительно перемещений в следующий момент времени, получаем:

u(t + τ) = U + 2u – u(t – τ), (2.10) υ(t + τ) = V + 2υ – υ(t – τ),

ω(t + τ) = W + 2ω – ω(t – τ),

где

W=(σ+zz −σ−zz )+(σ+zx −σ−zx )+(σ+zy −σ−zy ),

σ+xx = Axx+ [u(x +h) −u]+

+Byx+ [υ(x +h, y +h) +υ(y + h) −υ(x + h, y −h) −υ(y −h)]+

Bzx+ [ω(x +h, z +h) +ω(z + h) −ω(x + h, z −h) −ω(z −h)],

σ+xx = Axx− [−u(x −h)]+

+Byx− [υ( y +h) +υ(x −h, y +h) −υ(x −h, y −h)]+

+Bzx− [ω(z +h) +ω(x −h, z +h) −ω(z −h) −ω(x −h, z −h)],

σ+xy =Cyy+ [u(y +h) −u]+

+Dxy+ [υ(x +h, y +h) +υ(x + h) −υ(x −h, y +h) −υ(x −h)],

σ−xy =Cyy− [u −u( y −h)]+

+Dxy− [υ(x +h) +υ(x +h, y −h) −υ(x −h) −υ(x −h, y −h)],

σ+yx =Cxx+ [υ(x +h) −υ]+

+Dyx+ [u(x +h, y +h) +u( y +h) −u(x +h, y −h) −u( y −h)],

σ−yx =Cxx− [υ−υ(x −h)]+

+Dyx− [u( y +h) +u(x −h, y +h) −u(y −h) −u(x −h, y −h)].

76

Безразмерные коэффициенты А, В, С, D, так же как и напряжения, имеют три индекса: первый нижний индекс определяет направление, в котором вычисляется разность, второй нижний индекс и верхний знак определяют направление нормали к грани элемента, для которой эта разность вычисляется (рис. 2.1). Если материал блока однородный изотропный, то направление при вычислении напряжений не играет роли. В этом случае для определения напряжений требуется найти двенадцать коэффициентов:

77

Рис. 2.1. К определению коэффициентов разностной схемы

При одинаковых шагах сетки по всем направлениям количество различных коэффициентов сокращается до четырех. Все коэффициенты расчетной схемы безразмерны, поэтому напряжения и ускорения имеют размерность перемещений. Представление всех коэффициентов в определяющих уравнениях в виде безразмерных величин удобно при масштабировании

ивычислениях.

2.2.Экспериментальное определение характеристик для цифровой модели-сетки

Процесс вибрации в дорожной конструкции во многом зависит от потерь энергии на внутреннее трение в материалах (особенно при применении вяжущих – битумов). Особенно ве-

78

лико влияние трения при расчетах на резонансных частотах конструкции. Для количественного описания таких процессов применяют различные упрощенные модели. Наиболее простой и удобной для расчетов является модель, в которой напряжения потерь пропорциональны скорости изменения деформаций во времени. Коэффициенты пропорциональности между напряжениями потерь и скоростью изменения деформаций имеют тот же смысл, что и соответствующие коэффициенты в гидродинамике. Поэтому их называют коэффициентами вязкости твердых тел.

Потери энергии сопровождают любой процесс деформирования, поэтому каждому виду деформаций будут соответствовать свои потери. Например, нормальные напряжения зависят от деформаций растяжения в трех направлениях и могут быть выражены в дифференциальной форме в следующем ви-

де [10]:

Им соответствуют нормальные напряжения потерь

где ξ и η – коэффициенты вязкости.

Касательным напряжениям соответствуют касательные напряжения потерь

Если учесть, что между коэффициентами вязкости существует такая же функциональная связь, что и между коэффициентами Ламэ, т.е. будет определяться коэффициентом Пуассона

79

то одним коэффициентом вязкости можно пренебречь.

При данном условии, если спроектировать все напряжения упругих сил и напряжения потерь на координатные оси, то вместо уравнений Ламэ получим уравнения динамического равновесия в виде

=ρ∂2u и т.д.

∂t2

Вразностном представлении первой квадратной скобке

вполученном выражении будет соответствовать функция U, следовательно, с учетом потерь энергии на внутреннее трение уравнения могут быть представлены в виде

80