книги / Многоканальные системы передачи оптического диапазона

вительной и положительной, необходимо брать за меру

висит, конечно, от размеров выбираемой области прост­ ранства. Таким образом, с помощью волновой функции возможно лишь вероятностное описание движения микро­ частиц: мы можем лишь предсказать вероятность того, что в определенный момент частица будет находиться в определенной области пространства. При использова­ нии теории квантовой механики иное описание движения частиц, кроме вероятностного, невозможно. Вероятност­ ный характер описания явлений микромира— принци­ пиальная особенность квантовой м'еханики.

Эта ее особенность не связана с наличием большой совокупности частиц, с помощью которых вероятност­ ные предсказания могут быть проверены. Квантовая ме­ ханика применима для описания поведения отдельных частиц (например, поведения электрона в атоме водо- , рода), так как статистические закономерности квантовой механики являются результатом проявления внутренних свойств микрочастиц.

На основе статистического толкования волновой функции в квантовой механике разработаны правила для вычисления вероятностей и средних значений фи­ зических величин, которые

Пусть, например, кривая (рис. 1.1) представляет гра­ фик распределения вероятности значений координаты х для некоторого момента времени. Промежуток Ал:, в ко­ тором лежит большая часть площади, ограниченной кри­ вой, можно принять за некоторую условную меру вели­ чины разброса результатов измерений координаты х (здесь мы предполагаем, что функция нормируема, т. е. вся площадь конечна). Вероятность локализации частицы

21

за пределами Ах мала, и с подавляющей вероятностью мы обнаружим ее в этом промежутке.

Аналогичным способом можно определить меру раз­ броса Ар результатов измерения количества движения в направлении л\ Более точное математическое исследова­ ние показывает, что определенные выше Ах и Ар под­ чинены соотношению

Дл>Др>/г. (1.10)

Это соотношение, впервые установленное в 1927 г. Гей­ зенбергом путем анализа экспериментов по измерению координат и количества движения, не может быть сколь угодно малым, т. е. не существует такого состояния частицы, которое соответствовало бы вполне определен­ ным значениям координат и количества движения для одного и того же момента времени.

Соотношение Гейзенберга, называемое принципом не­ определенности, является одним из самых фундаменталь­ ных следствий современной квантовоймеханики. Оно представляет количественное выражение ограниченности классической механики. Суть его заключается в принци­ пиальной невозможности измерения с одинаковой точ­ ностью двух сопряженных величин. Неопределенность (неточность) измерений этих величин не связана с не­ совершенством измерительных приборов или методики измерений, а следует из природы исследуемого объекта.

Квантово-механическое объяснение строения и свойств объектов и явлений в микромире является непростой задачей, тем более что некоторые крупные западные фи­ зики— представители копенгагенской школы: Бор, Гей­ зенберг, Дирак и др., принимавшие решающее участие в разработке этой теории, внесли в изложение ее основ немало философской путаницы и идеалистических извра­ щений. Неприменимость или ограниченная применимость некоторых понятий классической физики к квантово-ме­ ханическим явлениям привела отдельных ученых к отри­ цанию причинности в физике микромира. Между тем развитие квантовой теории чрезвычайно обогатило науч­ ное знание и позволило объяснить в соответствии с диа­ лектико-материалистическим учением многие физические явления окружающего мира. Эта теория явилась мето­ дом более глубокого по сравнению с предыдущими теори­ ями проникновения в сущность материальных процессов и более точным их отражением, что в свою очередь лиш­

22

ний раз подтверждает неисчерпаемую сложность мате­ риального мира.

В то же время научный прогресс нередко исполь­ зуется для возрождения и поддержания идеалистических философских систем. Открытие новых форм и свойств материи, обнаруживающих неприменимость и ограни­ ченность некоторых установившихся понятий и пред­ ставлений, рассматривается идеалистами разных оттен­ ков как доказательство условности и непрочности научно­ го познания, а также обоснования идеалистического ми­ ровоззрения и агностицизма.

Объективность соотношения (1.10) заключается в том, что в правой части его находится универсальная посто­ янная, не зависящая от свойств конкретных приборов или отдельного вида материи. Формулировка соотноше­ ния неопределенностей как невозможности одновременно­ го измерения координат и скорости встречается в ряде книг и, будучи понимаема буквально, без оговорок, дает повод для идеалистических утверждений об ограничен­ ности научного познания, невозможности проникновения в сущность явлений. Согласно материалистической тео­ рии познания, принципиально непознаваемых объектов не существует. Речь идет лишь о том, что электрон не имеет определенных значений импульса и координаты, а не о том, что мы не можем их одновременно измерить.

Указанное соотношение (1.10) ограничивает лишь применимость классической механики и связанных с нею представлений. Оно показывает, что природа частиц бо­ лее сложна, чем тот абстрактный образ «твердого ша­ рика», который мы создали на основе исследований с макроскопическими телами и которым мы раньше пользо­ вались в классической теории.

Означает ли это, что классическая механика неверна и должна быть заменена квантовой механикой? Конеч­ но, нет! Каждая новая теория представляет новую сту­ пень в познании мира, более глубокое применение его закономерностей и обычно охватывает более широкую область явлений, включая в себя в то же время старую теорию. Некоторое представление о границах области, в которой применялась классическая механика, можно получить из соотношения неопределенностей. По опре­ делению количества движения р = mv, мы можем пред­ ставить Др в виде Др = /пДу и переписать соотноше­

23

скорости зависит от массы тела и для частиц, облада­ ющих большой массой, будет очень мало.

Признание соотношения неопределенностей отраже­ нием действительных свойств материальных объектов, экспериментально подтвержденных законом природы, подрывает основы связываемых с ним идеалистических положений о границах познания. Соотношение неопре­ деленностей отражает корпускулярно-волновую природу частиц, и установление этого наряду с другими поняти­ ями и результатами квантовой механики является важ­ ным шагом в познании свойств материального мира. Абсолютизация прибора в процессе познания является идеалистическим извращением или метафизическим отры­ вом от условий познавательной деятельности, не чем иным, как «приборным идеализмом».

В классической теории учитывается, что влияние при­ бора на макроскопический объект имеет строго разграни­ чительную линию и может быть сделано сколь угодно малым. Специфика квантовой механики такова, что дета­ лизация воздействия прибора на атомный объект может быть осуществлена лишь с точностью, обусловленной существованием кванта действия. Поэтому описание квантовых явлений включает описание существенных взаимодействий между атомными объектами и прибо­ рами.

Такие свойства частиц, как заряд, масса покоя, спин, неизменны во всех их проявлениях, не связанных с пре­ вращениями, и потому в квантовой механике принима­ ются как постоянные характеристики. Другие же, как, например, наличие определенных координат, появляются лишь в результате взаимодействия частицы с другими объектами в определенных условиях, в связи с услови­ ями опыта. Такова особенность квантовой теории о един­ стве мира и всеобщей связи явлений.

1.5.Взаимодействие квантовых систем с электромагнитным полем

Процессы излучения и поглощения энергии представ­ ляют результаты взаимодействия квантовых систем с электромагнитным полем. В зависимости от определен­ ных условий квантовые системы могут изменять свои энергетические состояния. При переходе из возбужден­ ного состояния с большей энергией в состояние с мень-

24

шей энергией происходит излучение. Частота колебаний, излучаемых квантовой системой, определяется разностью энергий начального и конечного состояний и вычисля­

него стационарных, состояний.

При поглощении кванта энергии происходит обратный процесс: из состояния с меньшей энергией W\ система переходит в состояние с энергией W2, поглощая излу­

чение с ЧаСТОТОЙ (0|2=0)21.

Причиной изменения состояния энергии квантовой си­ стемы являются возмущающие воздействия. Если эти изменения происходят под воздействием внешнего элект­ ромагнитного поля, их называют индуцированным излу­

Определение вероятности переходов возможно при ре­ шении уравнения Шрёдингера. Однако квантово-механи­ ческий подход к анализу переходов в квантовой системе, хотя и позволяет многосторонне оценить процессы излу­ чения и поглощения энергии и учесть все особенности процессов, в математическом отношении весьма сложен, и его использование в инженерной практике затруд­ нительно.

Вместе с тем еще до создания современного мате­ матического аппарата квантовой механики Эйнштейном был предложен термодинамический подход к анализу квантовых явлений. Методика Эйнштейна в литературе носит название вероятностного метода. Применение это­

и N2 частиц. Полагаем, что совокупность частиц располо­ жена в электромагнитном поле с плотностью энергии р, под действием которого происходят переходы.

25

Вероятность переходов между рассматриваемыми уровнями характеризуется постоянными коэффициента­ ми Ац, В21 и В\2, которые получили название коэффи­ циентов Эйнштейна. Рассмотрим физические соображе­ ния, на основании которых он ввел эти коэффициенты.

Вероятность спонтанного излучения не зависит от плотности энергии внешнего электромагнитного поля, она должна зависеть лишь от времени: чем больше проме­ жуток времени, тем больше вероятность спонтанного перехода с верхнего уровня на нижний.

Для вероятности спонтанного перехода со второго уровня на первый за время dt получим величину

Из выражения (1.11) следует, что коэффициент Эйн­ штейна Л21 представляет вероятность перехода за едини­ цу времени.

Индуцированные излучение и поглощение возникают под действием внешнего электромагнитного поля. Физи­ чески очевидным является то, что вероятность этих про­ цессов должна быть пропорциональна плотности энергии электромагнитного поля р и времени. Поэтому для веро­ ятностей индуцированного излучения можно записать следующие соотношения:

dv™{ = pB2Xdt для переходов 2- И ; dv^ = pB]2dt для переходов 1-»-2.

Физический смысл коэффициентов £21 и В п состоит в том, что они представляют вероятности индуцирован­ ного излучения или поглощения за единицу времени, рассчитанные для единичной плотности электромагнит­ ного поля.

Если известны вероятности переходов, то нетрудно составить уравнения, определяющие изменение коли­ чества частиц на первом и втором энергетических

Количество частиц на втором уровне уменьшается за счет спонтанного и индуцированного излучений и увели­ чивается за счет поглощения энергии частицами, нахо­

26

дящимися на первом уровне, и перехода их на второй уровень.

Аналогично можно получить уравнение и для измене­ ния частиц на первом уровне:

Уравнения (1.12) и (1.13), определяющие изменение ко­ личества частиц на энергетических уровнях, Н*осят назва­ ние кинетических.

В этих уравнениях непосредственно не видна кванто­ вая природа явлений; она скрыта в вероятностных коэф­ фициентах Л2|, В21 и В\2. Естественно, что в рамках ве­ роятностного метода эти коэффициенты нельзя опреде­ лить расчетным путем. Детально анализируя состояние квантовой системы, Эйнштейн получил соотношения, свя­ зывающие коэффициенты Л2|, В21 и fi|2 и позволяющие вычислить их по экспериментальным данным:

где g 1, Цг— статистические веса первого и второго уров­ ней (кратности вырождения); с — скорость распростра­ нения света; OJ2I — частота перехода; До>2| — полоса ча­ стот, в пределах которой происходит переход. Обычно экспериментально определяют Аоi, о>2|, Дм2|, после чего рассчитывают остальные коэффициенты.

Практическая ценность вероятностного метода заклю­ чается в его физической наглядности и математической простоте. Он был предложен Эйнштейном лишь на основе физических соображений. В соответствии с современной теорией он является следствием более полной квантовой теории.

Следует отметить, что переходы могут быть излуча­ тельными (с излучением электромагнитной энергии в ви­ де фотона) и безызлучательными (с выделением теплоты, например в кристаллической решетке, в материале сте­ нок газоразрядных приборов). Излучательные переходы еще носят название оптических (все остальные перехо­ ды — тепловые и др.— неоптические) .

В теории ОКГ представляет интерес изучение макро­ систем, состоящих из М тождественных микросистем (на­ пример, атомов и молекул), обладающих отдельным

27

спектром энергетических состояний. Такой макроскопи­ ческой системой является активная среда (или активное вещество) ОКГ. Состояние макросистемы можно опре­ делить через статистическое распределение составляющих ее микросистем по стационарным энергетическим состо­

яниям.

Для большинства ОКГ наиболее важным является рассмотрение ансамбля слабовзаимодействующих микро­ частиц. В этом случае макросистема может быть охарак­ теризована тем же энергетическим спектром, что и каж­ дая отдельная микросистема (атом, молекула).

Изолированная макросистема, находящаяся при по­ стоянной температуре Т, стремится к некоторому опре­ деленному вероятному состоянию, распределению микро­ систем по энергетическим уровням. Наиболее вероятное состояние системы — это состояние с наименьшей энер­ гией, так называемое равновесное.

Отношение населенностей двух уровней в равновес­ ном состоянии определяется в соответствии с распреде­ лением Больцмана [см. формулу (1.1)]. Равновесное со­ стояние является динамическим равновесием. В системе непрерывно происходят переходы с выделением и погло­ щением энергии. Поглощая энергию, частицы переходят из основного состояния в возбужденное. Через некото­ рый промежуток времени частица спонтанно возвраща­ ется в основное состояние. Среднее время нахождения частицы в возбужденном состоянии называется време­ нем жизни. Время жизни частицы есть величина, обрат­ ная коэффициенту Эйнштейна для спонтанного излуче­ ния: 721 = 1/Л2|. Для большинства возбужденных состоя­ ний время жизни составляет 10-6— 10“ 8 с. Однако име­ ются такие состояния, время жизни в которых значи­ тельно больше и достигает примерно 10-3 с. Такие состо­ яния называются метастабильньши. На этих уровнях про­ исходит «накопление» частиц, увеличение населенности сверх равновесной.

Изолированная система частиц, находящаяся в любом состоянии, отличающемся от распределения Больцмана для данной температуры, является неравновесной и будет стремиться к состоянию равновесия. Процессы возврата системы в равновесное состояние называются релакса­ ционными.

Рассматривая переходы в квантовой системе под воз­ действием внешнего поля, мы не касались вопроса, каким образом влияют переходы в системе на плотность энер­

28

гии внешнего поля. Чтобы решить этот вопрос, рассмот­ рим характер спонтанного и индуцированного излучений. Они качественно различны. Спонтанное излучение возни­ кает под воздействием случайных возмущений. Акты излучения квантов энергии не связаны друг с другом, на­ правления распространения спонтанно излученных кван­ тов и их поляризация произвольны. Такое излучение будет ненаправленным. По отношению к внешнему элект­ ромагнитному оно будет некогерентным, шумовым. Ин­ дуцированное излучение распространяется в том же на­ правлении, что и вынуждающее внешнее излучение, обла­ дает той же поляризацией и синфазно с ним. Эти свойства индуцированного излучения физически обоснованы. Воз­ мущающее воздействие на квантовую систему изменяется

всоответствии с изменением внешнего поля, и переходы

вквантовой системе должны следовать за этими изме­ нениями. Внешнее электромагнитное поле как бы синхро­ низирует излучение квантовой системы.

Поскольку индуцированное излучение синфазно с внешним электромагнитным полем, энергия поля будет увеличиваться за счет индуцированных переходов. При­ ращение энергии поля

частиц на верхнем уровне; dv"'\ — вероятность индуциро­

ванного излучения.

Если индуцированное излучение будет преобладать над поглощением энергии, станет возможным усиление электромагнитного поля с помощью квантовой системы. Эта возможность и реализуется в ОКТ.

Предположим, что рабочее вещество состоит из оди­ наковых молекул или атомов, обладающих двумя энерге­ тическими уровнями. Электромагнитное поле на частоте перехода со2| с плотностью энергии р индуцирует переходы между этими уровнями. Переходы 1->-2 сопровождаются поглощением:

D и^погл = Л 0)21 N 1dv'o I = п ш 2 1N i В i opdt.

Переходы 2->-1 сопровождаются выделением энергии, увеличивающей энергию электромагнитного поля:

dW»3n= /г 0)21 Nzdv'o"1= /шо| NiBoipdl.

29

Суммарный эффект взаимодействия определяется раз­ ностью величин энергии, излучаемой и поглощаемой квантовой системой. С учетом соотношения (1.14) для результирующей мощности взаимодействия поля и вещест­ ва получим

Если dW /dt > 0, в результате взаимодействия происходит усилениеэлектромагнитной волны, при dW /dt < 0 —ослаб­ ление, т. е. поглощение.

Из выражения (1.16) непосредственно следует усло­ вие, определяющее принципиальную возможность усиле­ ния излучения с помощью данной квантовой системы. Усиление возможно, если

Коэффициент усиления пропорционален этой величине. Для простых, невырожденных уровней (g2 = gi = l)

условие (1.17) упрощается: Nz — N i > 0.

Внешнее электромагнитное излучение усиливается с помощью квантовой системы, если на верхнем уровне излучаемого перехода находится большее количество ча­ стиц, чем на нижнем. Если N2 > N\, говорят, что вещество обладает отрицательным коэффициентом поглощения.

Усиление, как правило, происходит в полосе частот. Энергетические уровни всегда имеют конечную ширину ДW. Поскольку спонтанное излучение — явление случай­ ное, то время перехода атома из одного состояния в дру­ гое — величина неопределенная.

Неопределенности времени перехода Дt соответствует некоторая неопределенность величины энергии ДИР, при­ чем между Д/ и ДW, согласно принципу неопределенности

ствует малая неопределенность времени перехода Д/ и более широкие энергетические уровни. При большом вре­ мени жизни ширина энергетических уровней меньше. При переходах между энергетическими уровнями конечной ши­ рины величина квантов энергии может принимать не­ прерывный ряд значений в пределах некоторого интер­ вала. На рис. 1.3 показаны некоторые переходы между уровнями 2 и-/. При переходе 1 излучается квант наи­ большей величины, при переходе 3 — наименьшей. Этому соответствуют и частоты излучения: переход 1 сопро­ вождается наибольшей частотой, переход 3 — наимень­ шей. Излучаемая квантовой системой мощность макси-

30