книги / Основы дискретной математики
..pdf- 21 -
ГЛАВА 2. Ш Ш Т И Ч Е С К А Я ЛОГИКА
Основная литература
1.Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М., "Наука", 1975.
2.Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. М.. "Наука”,
1972.
3.Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., "Мир”, 1972, 1976.
4.Мощенский В.А. Лекции по математической логике. Минск, КГУ, 1973.
5.Основы кибернетики. Матоматнчеокле основы кибернетики. Под ред. Пупкова К.А. М., "Высьгзя школа", 1974.
6.Новиков П.С. Элементы математической логики. М., "Наука", 1973.
Дополнительнее литература
1.Глушков В.М. Введение в кибернетику. Киев, изд-во АН УССР, 1964.
2.Калберстоя Дж.Т. Математика и логика цифровых устройств.
Ы., "Просвещение”, £965.
3.Клини С. Математическая логика. Ы., "Мир", 1973.
4.Линдон Р. Заметки по логике. М., "Мир", 1968.
5.Клини С. Введение в метаматематику. М., ИЛ, 1957.
6.Мальцев А.И. Алгебраические системы. М«, "Наука", 1970.
7.Нечаев В.И. Числовые системы. М., "Просвещение", 1Э75.
8.Успенский В.А. Лекция о вычислимых функциях. М.. Физ-
матгиз, I960.
9.Фейс Р. Модальная логика. М«, "Наука", 1974.
10.ФреДденталь 1, Язык логики. М., "Мир", 1969.
11.Шиханович Ю.А. Введение в современную математику. М.,
"Наука", 1965.
12. Эдельман С.Л.. Математичеокая логика. М., "Высшая оката",
1975.
-22 -
2.1.Алгебра высказываний
Математическая логика занимается анализом методов рассужде ний. Причем, логику интересует не содержание утверждений, а фор ма их в том или ином предложении.
Цод высказыванием понимает повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Обозначим истин
ность высказывания |
следующим образом: I - истинно, 0 |
- ложно, |
|
; чбо И и Л или Т и |
F . Высказывание будем |
обозначать |
прописными |
буквами латинского |
алфавита. Рассматривают |
так называемые ато |
|
марные (элементарные), ила простейшие,и сложные, или составные, высказывания (формулы алгебры высказываний), которые получаются путем соединения простейших высказываний с помощью логических операций (называемых также пропозициональный и связками).
Логические операции можно задать с помощью следующих таблиц истинности.
1.Отрицание 1 ( - ) "не" (табл. 2.1).
2.Конъюнкция <£ ( л ) "И" (табл. 2.2).
Таблица 2.1. |
Таблица 2.2. Таблица |
2.3. |
Таблица |
2.4. |
|
А |
1А |
А в А & 8 А В |
A V B |
А В |
A z > 8 |
О |
/ |
О |
О |
О |
f |
о |
о |
f |
О |
|
|
1 |
О |
О |
|
|
1 |
1 |
1 |
О |
О |
О |
О |
О |
( |
О |
1 |
1 |
О |
1 |
1 |
1 |
О |
1 |
1 |
О |
О |
1 |
i |
f |
1 |
1 |
1 |
3. Ди зъ ю н кц и я V " и л и *' (неразделительное) (табл.г2.3).
4.Импликация о "алечет", ’если ...,то . "только если*’ (табл. 2.4).
5.Эквивалентность ^ "эквивалентно", "равносильно”, "тогда и только тогда" (табл. 2.5).
6.Суммирование по модулю 2 Ф (табл. 2.6).
7. |
Стрелка Пирса (конъюнкция отрицаний) |
i (табл. |
2.7). |
|
8. |
Штрих Шеффера |
(дизъюнкция отрицаний) |
/ (табл. |
2.6). |
При построении и |
анализе сложных высказываний принимает |
|||
ся соглашение относительно силы пропозициональных связок.Упоря
|
|
|
- |
23 - |
|
|
|
|
Таблица |
2.5. |
Таблица 2.6. |
Таблица 2.7. |
Таблица |
2.6. |
|||
А В А - В |
А в |
А ф В |
А\ в A i 3 |
А В |
а 1 а |
|||
О 0 |
1 |
0 0 |
0 |
О О |
/ |
О О |
i |
|
О 1 0 |
О 1 |
1 |
О |
1 |
0 |
0 1 |
1 |
|
1 О 0 |
1 О |
1 |
1 |
О |
О |
1 О |
1 |
|
1 1 |
1 ■ |
1 1 |
О |
1 |
f |
0 |
/I 1 |
о |
дочение |
основных связок по убыванию их силы: 1, |
v . о , |
~ • |
Встает |
вопрос о равносильности различных формул, поскольку |
при |
|
помощи |
связок можно образовывать из атомарных сложные высказыва |
||
ния, которые следует рассматривать как функцию, где аргументами являются элементарные высказывания (т.е. область определения
функции { 0 . 1 } и все простейшие высказывания могут |
принимать |
значения из множества {Ot f} )• |
|
Высказывания А я 3 называются равносильными, |
если на оди |
наковых наборах значений переменных (атомарных высказываний), входящих в высказывагле, значения этих высказываний будут сов
падать. Равносильность А и |
в обозначается |
А = 3 , где |
= - |
|
знак равносильности. |
|
|
|
|
Примеры важнейших равносильностей: |
|
|
||
1. |
Коммутативный закон |
Ам В « В v А |
, А & 8 = |
б & А . |
2. |
Ассоциативный закон |
|
|
|
Av(evC)m(Av&)vC, А & . (а& .С)=(А& .В)& С .
3. Дистрибутивный закон
A v ( 8 & C ) s ( A v B ) & ( A v C ) , A£C ( 8 V C)S (A4C B ) V ( A £C C),
4. A v A S А 9
5. Закон поглощения
6. A v A s /,
7* |
A v О з А . |
в* |
A v f £ f |
9. |
O S f , |
10.Закон Де Моргана
11.А ш а ,
12.А э В £ A v В ,
A<ZAsA .
A V ( A & B ) S A
A 4 Л ш о »
A Be Os O, A 4 1s A ,
____ T * o .
(Av в) s а & в
. А 4 ( А * 3 ) ж А
• (А£сВ) я A v В
-24 -
13.А ~ & * (А & В) v (A &с Ь) »
14.Л Ф а г 5) V ( A <£ В)>
15. |
А I & г |
>5'4 5 |
г |
A |
v В , |
|
16. |
/ * 6 5 |
A v 6 |
* |
/ |
<£ |
6. |
Как указывалось выше, любое |
сложное высказывай?. * можно |
|||||
представать в виде функции от входящих в него элементарных выс казываний с областью определения функции { 0 . 1 } :»ри различных наборах значений переменных. Табличное описание такой функции называется таблицей истинности. В общем случае при /г перемен ных получается 2 п наборов (отрок таблицы истинности).
Одно и то же высказывание может иметь различные формы пред
ставления. Элементарной дизъюнкцией, называется |
выражение |
вида |
/,v/7 y...v/nf где каждое из / 1* ( с ® ftn. |
) является |
либо |
элементарным высказыванием, либо инверсией элементарного выска зывания. Элементарной конъюнкцией называется выражение вида
&Вт» где каждое из 8j ( /- trr>) является либо элементарным высказыванием, либо инверсией элементарного выс казывания. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) данного выска зывания называется равносИльное_ему высказывание вида
К,мК2 v...v к е |
/ где //( с - I # У есть элементарная конюънкция |
|
||||
Конъгективной нормальной формой |
(К®) данного высказывания назы |
|||||
вается равносильное ему высказывание вида |
&1>2 & |
► |
||||
где |
i J - I / |
) есть элементарная дизъюнкция. |
|
|||
|
Совершенной |
называется |
такая ДНФ, |
в которой каждая |
|
|
элементарная конъюнкция содержит все элементарные высказывания по одному разу. Элементарные конъюнкции в совершенной ДНФ назы вают конституентами единицы. Совершенной КНФ называют талую К», в которой каждая элементарная дизъюнкция содержит все эле ментарные высказывания по одному разу. Элементарные дизъюнкции
в совершенной Ю д называют конституентами нуля. Совершенные фор мы для высказываний единственны.
Существуют такие высказывания, которые при любых значениях переменных прийимают истинные значения. Они^называются тавтоло гиями: £ А - " / - тавтология”. Вели высказывания при одних значениях переменных принимают истинные значения, а при других - ложные, то также высказывания называются выполнимыми. Вели выска зывание принимает значение "ложь" при любых значениях переменных, то оно называется противоречием. Установить равносильность двух высказываний можно с помощью приведения их к одинаковому виду.
- 25 - Шопинзация сложных «оказываний
Существует несколько способов минимизации олохных высказы ваний. Рассмотрим один нэ способов, удобный дня алгоритмизации итого процесса - метод КваДна. В втом методе топольэуются сле
дующие равносильности: |
А * (А 6 |
$ ) s а ; |
|
закон поглощении |
|||
овойство склеивания |
(А 4 |
в) v (а 4 & )ж а ; |
|
овойотво неполного склеивания (A d &)у(Ad B)*Av(A&6}f(A&6)> |
|||
КваДн предложил адгоржтм получения сокращенной Д ® : |
|||
если в совероенной Д ® |
провести воевоамоиные операции неполного |
||
склеивания и поглощения, |
то получим форму, которая называется |
||
сокращенной Д Ю . Минимальной формой называется такая сокращен |
|||
ная форма, которая содержит какмек&аее количество элементарных |
|||
высказываний. Далее строитоя так называемая кмшакаятная мат |
|||
рица: |
|
|
|
отроки - конституэнты I (исходной совершенной Д Ш ; столбцы - имооханты (конъюнкции сокращенной ДНФ, истин
ность которых следует из истинности любой из конституент I. со держащих данную импжжкалту).
Отмечаем позиции матрицы на пересечении конституент 1 (столбцов) и входящих в них простых икдяняазт (строк). Находим вое наборы тшплжкант, которые перекрывают все констктуенты I (столбцы); выписываем данные наборы, соединяя ямоликанты знака ми дизъюнкции.
Таким образом, получаем набор функций, называемых тупиковы ми. Выбирается тупиковая форма, содержащая минимальное количест
во переменных,- она и будет являться минимальной Д О |
О Д » ) , |
|
||
Любая функция алгебры логики может быть представлена, па- |
||||
пример, о помощью операций конъюнкции, дизъюнкции п инверсии. |
|
|||
Такой набор называется функционально полным набором операций. |
|
|||
Существует много различных наборов операций, |
которые дают функци |
|||
онально полную систему. |
|
|
|
|
Функционально полные системы: /V, 7j, {~!.& J. { *3. f t ] и т.д. |
||||
Чтобы системы была функционально полной, |
необходию, чтобы функ |
|||
ции, входящие в систему, в совокупности |
содержал* следующие |
свой |
||
ства: |
|
|
________ _ |
|
1) несамодвойствеяность, т .е.f ( x f*хг, •• |
) * { ( x t, ^ ,..., |
}; |
||
2) немонотонность, т.е. для наборов переменных, рассматривае |
||||
мых как двоичные числа, для хоторых xf ж2 х3 ...хп * у f |
</г % ...у п , |
|||
|
- 26 - |
|
должно |
выполняться условие f ( x f, .... хп ) ф |
4 ( У г У г ... Уп ) J |
3) . нелинейность, т.е. функция не может быть представлена |
||
в виде |
полинома |
, где а с- - ко |
эффициенты, принимающие значение либо 0, либо I \
4)несохранение нуля, т.е. 4 (0,0,...,0) а I;
5)несохранение единицы, т.е. / (1,1,...,I) а 0.
1.Переведите в символически форму высказывания:
%а) если оно упадет, то оно поломается. Оно поломано, значит оно упало;
6) он или пенсионер,или школьник. Но он не пенсионер, зна чит он школьник;
в) если ЭВМ исправна и мы не сделали ошибки, то мы сделали открытие. Но если ЭВМ неисправна и мы не сделали ошибки, то мы все-таки что-то сделали;
г) если он бегает по лужайке и у него длинные уши, то он заяц или осел. И если он кричит "И-а" - он не заяц, следователь но, он осел;
д) если А перпендикулярно В, С параллельно А, то В перпен дикулярно С;
е) если деталь не стоит в плане и обеспечена заготовкой,
то, если она срочная и план составлен |
правильно, - неверно, |
||
что деталь не стоит в |
плане; |
|
|
ж) если |
он едет, |
то он поезд, но |
это не значит, что если |
он стоит, то |
он не поезд. |
|
|
2. Придумать содержательное описание формул. Затем преоб разовать формулу к ДНФ и прочитатьвновь содержательное опиоание:
а)
б)
в)
г)
д)
а)
б)
в)
а)
б)
А^ 5 v С ;
А& & ? С i
A ((В э Cj v 3);
A z> ( 3v С ) v C & D ; A v 5 => ( С 9 Х>);
е) |
А&ь => ( С ~ А ); |
*) ( А ~ в ) = » А & С ; |
|
а) |
а ТГЪ => ( С ~ Я ) ; |
«) |
а л в = c & s ~ A & a i , c & h ! |
К) |
( А Л В Ф й Л С ) = > в . |
3. Построить таблицы истинности для формул:
(Р=> Q )v (P sQ A P ); г) |
((P&Q)=>Q)=* ( р =» Q}i |
|
(P~Q&P)z>(f>s,R); |
д) |
( Р = (Р = > * ))г » ((Р э Q)=>(P=> #)), |
(P4(Qz>P))=> р ; |
е) |
(P £ (Q v Р))& ((Q=> p ) v Q ). |
4.Доказать выполнимость Фоомул:
Р=» P i
(Р * Q)=> (Q=* Р );
в) |
(Q * (P & P ))4 ((P v P )< = 0 ) . |
-27 -
5.Показать, что ту же таблицу истинности, что и эквивалент
ность имеет логическая операция ( а => 8 ) & (8 => а ) .
6.Сколько имеется различных (т.е. отличающихся истинност ными таблицами) двухместных логических операций?
7.Сколько имеется различных коммутативных двухместных логи чески операций?
8.Выразить:
а) |
вое осыошые операции через конъюнкцию и отрицание; |
|||||||||
б) |
вое осножше операции через дизъюнкцию и отрицание; |
|||||||||
в) |
вое основные операции через импликацию и отрицание; |
|||||||||
г) |
v |
через .» . |
|
|
|
|
|
|
||
9. |
Построить два тождествеHH6WIOXKUX высказывания, |
в каж |
||||||||
дом из которых используются: |
|
, в , С , V |
; |
|
||||||
а) |
элементарные показывания |
А |
|
|||||||
б) |
высказывания А да А |
, 8 да |
С |
, Х> . |
|
|
||||
10. |
Предотявить: |
|
|
содержащей операции да |
и — |
; |
||||
а) |
x 4 y v z |
в форме, |
||||||||
б) |
( x v y ) & ( x v i) |
в форме, содержащей операции |
4 , " ; |
|||||||
в) |
|
(a vc)8c f i v d j d c |
в форме, содержащей опера- |
|||||||
г) |
цп |
Ф , |
4 |
“ |
; |
|
|
содержащей только операцию |
||
(АФВ&С)=> А<&б |
|
в форме, |
||||||||
д) |
"отрелха Пирса"; |
в форме, |
содержащей только операцию |
|||||||
(А да 8 ) ф (в ~ с ) |
||||||||||
о) |
"отрелка Пирса"; |
|
|
|
|
|
|
|||
(х=> у ) & 2 |
в форме, содержащей только операцию |
|
||||||||
"штрих Шеффера";
я) (х y t j ) l z в форме, содержащей только операцию "ятркх Шеффера".
11.Используя показывания А -к А • строжть о привлечением любых других высказываний тождественно-ложное ваоказнмние, осдериащее операцию "отрелха Пирса" хотя бы один раз.
12.Доказать, что даиные формулы яжжяютоя тавтологиями:
а)
б)
в)
г)
Д)
•)
к)
•)
(Р = И)* ( Р * 5 ) ; P a (a a (P A Q ));
( р а а ) а ( ( й ш К) а (Pmfi))i ( f i a S ) a ( O a p )t
P a (Q a p ) ,
(P a Q )a ((p - ,(gs> Р ))а (р а /(Х I; (P A O )a p ; ж) (P A Q )aQ i
а)
б)
в)
к) |
- 28 - |
p = ( P v £ t ) ; |
|
л) |
Q ^ ( P v Q ) ; |
м) |
(p =>p)*((Q a/?)=>((PvG )= R )); |
в) |
(P = > Q )^ ((Р =>Q )^ Р )’ |
o) |
{ Q = P ) = ( ( Q = P ) = > Q); |
П) ( р у Р ) = > р ; |
|
p) |
(Q a р ) z>((PvQ)=* (Р v& )); |
С) |
((p ^ Q )^ Р ) => Р ; |
т) i 5 a ( P z > Q ) . |
|
13. |
Доживать, что данные формулы являются тавтологиями: |
(А& (£ v ё)) ~ А ;
( A v ( a 4 8))~*U
{А=>а )~а .
D ((Av8)it(A Y C)4(3VD )4 (C Y D))^((A6.Z>)Y (в А С)),
Д) (A4(AvC)S<(6*C))~((A& 6)v(6<t С )).
в) ((A v B )* (e v C )4 (C v A ))~ ffA * 3 )v (a * C ) Y ( C it A b л) ((А V а) 4 (8 vС) А (с vJ>j)~l(A 4 С) v (3 4 C)v (б А V);
s)({AwВ *с)& (BvCvV)& (С Y D vA))~((A&6)v(A 4J>)V(б& D)V C );
I) « А ч В ) 4 ( А v S ) ) ~ A ;
К) ((A 4 £ )Y ((A V B )& (A V 8 )J)~ (A v 3 )i
A)(A v (A 4 B))~~ (A v 8 ).
14. |
Dpi к а ж и значениях переменных x , y rz > u , v , w |
cjej |
le формулы ложны: |
a) |
((x = ( y & Z ) ) * ( g = > X ) ^ У ; |
|
(x A y ) v ( x & z ) v ( y 4 z ) v ( u A * ) v ( u A w.)vfv*A wjvfx£aj; |
■) |
v y ) 4 ( X Y Z ) ) i |
r) (A v y J A ( y v z ) b f z v x ) ^ x k y & Z - i |
|
д) |
( x v у ) э х Л <J VXSe у . |
15.Построить формулу от трех переменных» которая:
а) пропашет такое же эиачезше» как большинство (меньшин
ство) переменных; |
|
|
|
|
б) |
истинна в том и только в том случае, когда равны две |
|||
переменных ложно. |
|
|
|
|
16, Построить талую формулу А |
. чтобы приведенная ниже фор |
|||
мула была тождественно-истииной: |
|
|||
а) |
((A A Q)=> р ) |
z>((p Z> Q ) Z>A ); |
||
б) ((R = ( S & ( > ) ) = > A ) = (а 4 ( р = |
||||
17. Доказать» |
что если есть тождеотвенно-ложная Д ® , то |
|||
для любой элементарной конъюнкции формулы существует такая пе |
||||
ременная Р. когда |
Р |
и Р входят |
в эту конъюнкцию. |
|
- 29 - 18. Доказать, что если есть тождественно-истинная К ® , то
для любой элементарной дизъюнкции формулы существует такая пе
ременная |
Р , Когда |
Р |
и Р |
входят |
в эту дизъюнкцию. |
|
v |
19. |
Получить С Д ® |
данной функции двумя различными способами; |
|||
а) |
(X v Z ) Ы * v t ) ; |
|
з) |
( A v 6 ) a ( В ! С ) ; |
||
0) |
( Х Ф у ) 1 ( Х v y ~ Z |
х); |
и) |
(A* B)v А & в ; |
||
») |
A У A S В ® С ~ |
В; |
|
к) |
(Х*У)1 *' |
|
г) |
А =• А ~ 8 ^ б ; |
|
|
л) (А 4 y j l (X = z ) i |
||
Д) |
(A t a j » fair;. |
|
м) |
(л ~ 5 ) ~ А & в . |
||
•) |
(А\ Ь ) у (А 4 С); |
|
|
н) |
1ФХ£< у ф X & Z -, |
|
ж) |
( X i y ) s (х I Z ) ; |
|
|
о) |
х у y ^ z 4 ( х ~ у ) > |
|
20. |
Получить ( Ж ® данной функции двумя различными способами: |
а) |
( А £ ( BvC)J=>((A & a ) v C ) ; |
б ) |
'(~(а А в ) * А ) у ( А 4 ( 6 V О), |
В) ( С ? > А ) = > ( ( В ы С ) * > ^ .
а)
б)
и)
г)
Д)
е)
*)
е)
я)
21» Получить Q 5 ® данной функции:
((А&8)=*А)4 ({А Л &)=• В Л |
к) (Аэ А)=>{5-^0/ |
|
((А » d J ^ A j z * (а =>(в&А)). |
|
£} |
л) ( A v 6 A C 4 J})StAvBit С, |
||
(А=> 8 ) * ((B d С )=> (А А С)), |
м) |
х = ( у -*.*); |
f x v y j ^ f x v z j v X ^ y ; |
Н) ( x v y j & * k Z , |
|
( A i B ) ~ ( C l BJ, |
О) |
(Аф д ) ~ (А IC). |
Х = > ( < / ~ * ) ; |
п) X ~ ~ ( y ~ z ) , |
|
A ^ ( S = > A ) j |
Р) |
((х = > у ) и ) * у . |
А ~ в => А , |
С) X & (у 4 Z j i |
|
(к А у v Z ) A ( i v у v Z) AfKvZjp) |
( ( х =» y ) = * z ) ~ Z • |
|
22. Получить С5СЩФ данной функции:
а) ( ( x l y ) l Z ) t ( x a y ) ;
б) |
(А => 5 ) ^ ( В 9 С ) ; |
|
в) |
((X ф y)~~ Z )=> X; |
|
Г) |
( A t S>)~ (А Ф С ); |
|
Д) ( А Ф в z > C ) i C ; |
|
|
е> |
(А & В А С ; |
|
ж) |
|
|
я) |
(xJk 5vzJi((Xvy); |
|
я) |
б St с=> (А ч $ ~ |
£ i |
|
23. Получить ф ® |
дяя |
К) |
А 4 В ~ С » |
В* А |
л) |
(А~*6)~ A de Ь , |
|
м) |
У |
. |
в) |
A =>(B=>(A=>CJJ, |
|
°> |
(x&y4Z)£'(xv у), |
|
а) А * А = > & * А , |
||
Р) |
(A~A)*(6~6)i |
|
С> |
(xiyJSr fx *yji |
|
т) A * > ( B * C )~
данной функции и затем перейти к
•) |
(A =(в=>С))*([А =>С )=>(А Э Е)), |
л) |
1 ( А , Ь , С ) - А , |
6) |
((({А = ’ 6 ) = > А ) = > 6 ) = С ) = > С ; |
«О |
(A tb )= > (A & в ), |
в)
г)
д)
в)
ж)
а)
в)
к)
а)
б)
в)
г)
д)
в)
ж)
- ЗС
((А =>&)=>(С =>£))=* (В => С). ( K v y ) 4 (К v Z ) ;
f * v У) I ( * v УЛ
( A t B ) a ( ( n 6 ) i A );
A V ( ( B 4 C ) \ ( A 4 С )),
((А =>&)=> С) ~ А ,
н) A 9 ( 6 * ( A S >C));
о) ( А ~ А ) э ( 8 * 6 ) ;
п) |
A^V_(Ajj* В) ~ А ; |
р) |
X v у i ' i A f* — |
о) (A~6)z_A4_e> '•
т) (Ai(B*A&<D))v Я I у) A v B 6 t C ( A е ь ) .
24. |
Подучить С К Ж |
для функции и затем перейти к СЕ»: |
|||||
( А \ Ъ ) э ( С = > S ) ; |
|
з) |
( х у у ) у х £ у - |
||||
(*,=>(*;» Х3 ))=> Х3 ; |
и) |
( А 4 В ) у А => В : |
|||||
( А ~ В ) 1 ( В 1 С ) ; |
|
к) |
|
( х у У)~(2=* * & Ч |
|||
( Х ~ Ч ) 4 ( ( Х = > Ч ) => Z) . |
л) |
|
( x v у ) & К , |
||||
(x&<y)i(x = z |
|
и) |
|
( * * У ) * У ' |
|||
/Д * A )v (B = > В), |
|
н) |
|
At Ы А & 5 |
|||
(х v у)&с (х v * |
|
о) |
|
д |
|||
25. |
Подучить К № |
для функции: |
|||||
в) ( ( * i y ) \ Z )z>X; |
|
|
|
||||
б) ( А 9 в ) = > ( C v В ); |
|
|
|
||||
В) (x f y ) & ( Z ~ X ) ; |
|
|
|
||||
r> ( у ~ * ) v ( x * Z ) S c y ; |
|
|
|
||||
д) |
Ф6 |
э С) * Г , |
|
|
|
||
е) |
C & ( D |
=> Т)& B ) v ( C i £ ) i |
|
||||
и) A & B S i P v A S e C S c D w A & B & C 4f Z) v A Sc ^ |
|||||||
И) |
6 4 * e j ~ M • |
C J; |
|
|
|
||
x ~ ( y ~ z ); |
|
|
|
|
|||
к) |
(X v (y 0 Z ))= > Z S c (y * x ), |
|
|||||
л) |
(*2iX3 )* «*1 ~ *<f) v (*, ® |
X v ))i |
|||||
M) |
|||||||
(A =*(& -'C))Z >A & ((B G С )ч ( в 4 0 ); |
|||||||
H) |
(Xv y * z ) s > ( x b y & z ) ) v |
K £ y; |
|||||
o)(At В)=> ((A ~ C ) ф В )
П) |
(*2 s *3)=((*, * *3) l(*t * |
(*3 => Xs )))i |
|
p)( 2 ~ Х ) Ф ( у + ' Х ) ;
c)(A 4 &)•* ( A 1 C );
T)( ( X 4 y ) l Z ) t ( x ^ y ) ,
У) |
( А * В ) = > ( В Ф С ) , |
||
Ф) |
x 4 z V g S z V X & y & z , |
||
X) |
(*’ ~ * i ) * x* * |
( * s * * , ) ; |
|
Ц) |
|||
((X Ф у ) - , z ) о |
X , |
||