книги / Основы дискретной математики
..pdf-51 -
9.Построить автомат Мура:
а) |
который на последовательности |
Xi х2 и Х2х1xf выдает |
сиг |
|
нал I, |
на последовательность |
сигнал 2, на остальные |
0; |
|
б) |
принимая на входе монеты |
10, |
15 и 20 копеек, выдает |
|
сигнал Д, если значение текущей суммы опущенных монет кратно 50 и не кратно рублю; выдает сигнал Р, если сумма кратна рублю; и 0 во всех остальных случаях;
в) на последовательности x f х2 х2 ; x f х2 * f ; х 2 х 1х 2 выдает сигнал I, а на любые другие последовательности из трех входных сигналов выдает 0;
г) управляет продажей товара стоимостью в 50 коп. На вход автомата могут поступать 10, 15 и 20 коп. Когда суша опущенных монет будет равна (или превысит) 50 коп., автомат выдает сигнал на выдачу товара.
10. Построить автомат, на вход которого поступают:
а) три различных сигнала в любой последовательности и любое количество раз. На выходе появляется сигнал I только тог да, когда какой-либо из сигналов повторится не менее трех раз подряд, в противном случае на выходе 0;
б) сигналы X f , х2 , X j в любой последовательности (возмож но и любое количество повторений сигнала). На выходе появляет ся сигнал I в случав, корда сигналы, идущие через один, оказы ваются одинаковыми;
в) в любой последовательности (возможно о повторениями) числа 1,2 и 3. Автомат выдает сигнал "чет", если сушарное число четно, и "нечет" в противном случае.
11. На вход автомата поступает информация о сдаче зачетов. Если сданы два зачета, то автомат выдает оигнал о допуске к экзамену.
ГЛАВА. 4. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Ооноваая литература
1.Основы кибернетики. Математические основы кибернетики. Под ред. Пулкова К.А. М., "Выошая школа", 1974.
2.Белов В.В., Воробьев Е.М.,- Шаманов В.Б. Теория графов. М., "Высшая школа", 1976.
-.52 -
3.Ope 0. Теория графов. U., "Наука"* 1968*
4.Кофмав А. Введение в прикладную комбинаторику» М*, "Наука", 1975.
5.Мелихов А.Н. Ориентированные графы и конечные автома та. М., "Наука". 1971.
Дополнительная литература
1.Басакер Р.» Саатв Т. Конечные графы ж сети. U., "Наука", 1974.
2.Бери К. Теория графов и ее применения. Ы», ИЛ, 1962.
3.Енох А.Ш. Граф - схемы и их применение, Минск, "Высшая шкода". 1975,
4.Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. М., "Мир",
1971.
5.Зыков А.А. Теория конечных Грефов. Новосибирск, "Нау ка", 1969.
4.1» Основные понятия теории гЬа&Ьъ |
|
Граф G |
задан, если задано некоторое отношение |
|
G - < Г , д > * |
где |
множество вершин графа; Г - график, который |
аналитически может быть задав в одном из двух видов: |
а) в ви |
|
де указания множеств образов для каждой вершины; б) |
в виде |
|
перечисления всех пар, являвшихся множеством дуг. |
|
|
Пусть дан граф & (рис. 4;Х): |
|
|
а) |
задание графика в виде |
|
множеств образов: |
|
|
/ х ^ Л г •V |
* * } > |
|
Гл2 * { * * ,} ,
”%ч = Ф г
где/^.- множество образов для |
А ю . 4,1. |
вершины X -. |
|
- 53 - б) задание графика в виде перечисления:
|
|
Г = { < * , , * , > > < *,,Х2 >.<Х,, Xj >, < X j . *г Л <х2, ду >J |
|
Подграфом (хАграфа £ будем называть такой граф, который име |
|
ет |
вид |
&А = <ГА , А> , где А я х . Отовда /J £■/** . Частичным гра |
фом |
&а |
графа О называется граф вида Ga * < гш. ;с > , где |
Вершина инцидентна данной дуге, если данная дуга либо вхо дит в данную вершину• либо исходит из нее. Дуга инцидентна дан ной вершине, если она входит в данную вершину или исходит из нее. Две вершины называются смежными, если они инцидентны од ной дуге.
Путем в графе называется такая последовательность дуг, в ко торой каждая последующая дуга исходит из вершины, в которую захо дит предыдущая дуга. Длина пути измеряется количеством пройденных дуг. Путь называется простым, если на этом пути ни одна дуга не встречается дважды. Дуть называется элементарным, если на этом пути ни одна из вершин не встречается дважды* Дуть, начи нающийся и кончающийся в одной ж той же вершине, называется контуром. Контур длиной в единицу называется петлей. Количество
ДУГ, |
инцидентных данной вершине x-L , дает степень этой верши |
|
ны |
• Степень для данной вершины разбивается на пояусте- |
|
пень |
исхода J > ( х / ) ; подустепень захода |
* |
Для неориентированных графов характерно то, что в графи ческом изображении не ставятся стрелки на дугах. Линии, соединя ющие две вершины в неориентированных графах, называются ребра ми. Аналогом пути в неориентированных графах является цепь. Аналог контура - цикл.
Граф называется смешанным, если в нем одновременно при сутствуют как ребра, так ■ дуги. Граф, в котором между вершина ми больше чем одно ребро (одна дуга), называется мультжграфом.
Простой цикл, в который входят все ребра графе, называет ся эйлеровым циклом. Граф, в котором сущеотдует эйлеров цикл, называется эйлеровым графом. Граф называется связным, если между любыми вершинами графа существует цепь. Все множество связных вершин называется компонентой связности. Граф называется снхьяоовязным, если между любыми двумя его веркхвамн существует путь.
4.2. Свойства Грефов. Задачи на графах
Теорема Эйлера |
|
|
1ра$ является эйлеровым в том и только |
в том случае, если, |
|
во-первых, граф связан, во-вторых, все его |
вершины имеет четную |
|
степень. |
|
|
Представление графов в виде матриц: |
|
|
а) матрицы смежности. |
|
|
Дан граф 0 (рис. 4.2}. В |
|
|
матрице смежности графа Q стро |
|
|
ки и столбцы есть вершины графа. |
|
|
При наличии дуги между вершина |
|
|
ми графа на пересечении верши |
|
|
ны-строки, из которой исходит |
Рис. 4,2. |
|
дуга, и вершины-столбца, адца дуга заходит, |
ставится единица. |
|
Свойства матрицы: |
|
|
1)сумма единиц по строке дает полустепень исхода данной
вершины;
2)сумма единиц по столбцу дает полустепень гахода данной
вершины.
б) матрица инцидентности: строки-вершины;
|
столбцы - множество всевозможных дуг графа. |
|
||||
|
На пересечении строки и столбца |
ставится +1, если данная |
||||
дуга заходит в вершину, и -I, если дуга исходит из вершины. |
||||||
Для нашего графа матрица инцидента показана в табл. 4.2. |
||||||
|
|
Таблица 4.1 |
Таблица 4.2 |
|||
|
|
* s |
* 4 |
Xf A , X/ Xj х2 хч |
xs x2 |
|
*t |
1 |
/ |
*1 |
4 |
* 1 |
|
*2 |
|
|
1 |
4 |
+ 1 |
|
*3 |
|
1 |
|
* 1 |
~1 |
|
iX |
, tJ |
‘ |
* 4 |
4 |
- 1 |
|
LJLI1 |
! |
|||||
|
|
|
||||
Внутренняя устойчивость графа
Подмножество X* G X графа £ - < 0 ^ будем называть множест вом внутренней устойчивости, если никакие две вершины множества X не смежны, т.е.
X Л г х ' = ф .
Числом внутренней устойчивости является число, равное наибольшей из мощностей множеств внутренней устойчивости.
В ж в я я устойчивость графа
Подмножество X s X графа Сгж<Г,Х> называется множеством внешней устойчивости, если вершины графа либо являются верши нами подмножества Л', лабо дуги, исходящие ив втих вершин,
ве иржвадлежащих множеству X * , долины заходить в какие-либо Ирин,пржнедлежадие множеству л", т.е.
Vx; т X " ( х я / ф ) .
Числом внешней устойчивости является число, равное наименьшей из мощностей внешне устойчивых множеств.
Ядром графа называется множество вершин, являщнхся одно временно внешне и внутренне устойчивым.
Граф называется Р -хроматичеоким, если оущеотцует такое разбиение множества его вершхн на Р классов, в котором ребра ооединшот вершины, принадлежащие различным ждаооам. Процедура разбиения называется Р -раскраокой. Хроматичеоким числом X графа навивается наименьшее число Р ( при котором граф явля ется Р -хроматичеоким.
Функцией Г р а н т конечного графа называется функция |
ф Сх) , |
относящая каждой вершине X число $ (* )* О и приниыащая |
в каж |
дой вершине значение, наименьшее из тех целых неотрицательных чисел, которые не принадлежат множеству
$ ( & ( * ) ) s C f ( i / ) l < / e G ( к ) } -
- 66 -
Определение дякнн путей в графе
Исходная матрица смежности указывает все пути в графе дли ной в единицу» Чтобы получить пути длиной в две единицы, нужно умножить матрицу саму на себя. Наличие числа, отличного от ку ля, на пересечении отроки и столбца полученной матрицы указыва ет на наличие пути длиной в две единицы от вершины-строки дс вершины-столбца, на пересечении которых стоит число, а его зна чение - яа количество этих путей. Умножив полученную матрицу на исходную, мы определим наличие и количество путей длиной в три единицы (в случае, если матрице не равна нулю) и т.д.
Ьесконтуркый ориентированный граф может быть представлен в ярусно-параллельной форме (ЯВФ). Ярусно-параллельной формой графа называется такая форма представления графа, когда верши ны расположены по ярусам, прячем в первый ярус входят все вер шины, не вмещне входящих дуг, во второй - имеющие входящие дуги только из вершин первого яруса, в I -тый ярус входят вое вершины, не имеющие вхождений из последующих ярусов, и хотя бн одна заходящая дута исходит из £-/-го яруса. Порядок вер
шин внутри одного и того |
же яруса безразличен, т.е. вершины |
не соединены между собой |
дугами. |
|
Деревья |
Деревом будем называть связный граф, не имеющий циклов. В дереве между любыми двумя вершинами существует цепь, причем только одна. Согласно теореме Кэли для графа, имеющего /г вер
шив, можно построить я различных деревьев. В графе типа де рева, имеющем я вершин, количество ребер n - f ,
Цикломатическим числом графа является число, равное ко личеству ребер, которое можно изъять Н8 графа, чтобы граф стал деревом. Вели в графе Сг количество ребер /V ,, а количество вершин п , то Дипломатическое число графа у * Л/ тп + 1 ,
Лесом будем называть граф, состоящий аз ыеоколышх ком понент связности, где каждая компонента является деревом.
X. Являются ли данные графи изоморфными (рис. 4.3 - 4.6)? 2, Привести по два возможных гомоморфных отображения
для Графов (рис. 4.7).- 3. Построить полные графы для 1,2,3,4 и 5 вершин.
- 57 -
Рис. 4.3 |
Рис. 4.4* |
4. Построить все возможные деревья, содержащие 1,2,3 к
4 вершины.
5. Раскрасить графы (рис. 48).
6 |
& |
?1-с. V6 .
-Ьъ -
о.Построить функции Гранди на графам (рис, 4.9).
а |
$ |
г |
|
||
|
4.9. |
|
7. Убрать в графах (рис. 4.10) минимальное количество ребер, чтобы графы стали деревьями.
Рис. 4*10*
8. Моино ли нарисовать данные фигуры, не отрывая каран даша и не проходя по ребрам дважды (рис. 4.11)?
Рис. 4.И .
-59 -
9.Найти ядро графа о помощью алгоритмов Магу (рис, 4Л 2),
^ |
* |
Рис. 4.12.
4.13),
fcc# 4+13*