книги / Статистические и интеллектуальные методы прогнозирования

S-образной функция также может быть определена двумя формулами:

Очевидно, что S-образная функция является «антонимом» Z-образной функции, поэтому и применяется для отражения нечетких понятий «большое», «значительное», «существенное».

S-образные и Z-образные функции принадлежности имеют другое название – «сигмоидальные» функции. Для них определено следующее выражение:

101

Очевидно, что в случае а > 0 может быть получена S-об- разная функция принадлежности, а в случае a < 0 – Z-образная функция принадлежности.

П-образная функция представлена на рис. 6.6.

Рис. 6.6. График П-образной функции принадлежности

При определении П-образной функции могут быть использованы любые из рассмотренных выше Z- и S-образных функций:

6.1.2.Операции над нечеткими множествами

Снечеткими множествами, как и с четкими, можно производить различные операции, но особенность операций над нечеткими множествами будет связана с функцией принадлежности.

Пусть A и B – нечеткие множества. Множество A является подмножеством множества B A B , если

102

Разностью A \ B нечетких множеств A и B называется нечеткое множество с функцией принадлежности

Дополнением нечеткого множества A называется нечеткое

множество A , функция принадлежности которого определяется следующим образом:

x U A (x) 1 A (x) . (6.15)

Дизъюнктивной суммой A B нечетких множеств A и B

называется нечеткое множество с функцией принадлежности

x U

A B (x) max{[min{ A (x),1 B (x)}]; [min{ B (x),1 A (x)}]. (6.16)

ПРИМЕР 6.3. Пусть заданы множества A и B :

Очевидно, что A B .

Операции дополнения, объединения, пересечения, разности и дизъюнктивной суммы будут определены следующим образом:

A { x1,0.6 ; x2,0.8 ; x3,1 ; x4,0 };

B { x1,0.3 ; x2,0.1 ; x3,9 ; x4,0 };

A B { x1,0.7 ; x2,0.9 ; x3,0.1 ; x4,1 };

103

A B { x1,0.4 ; x2,0.2 ; x3,0 ; x4,1 }; A \ B { x1,0.3 ; x2,0.1 ; x3,0 ; x4,0 }; B \ A { x1,0.6 ; x2,0.8 ; x3,0.1 ; x4,0 }; A B { x1,0.6 ; x2,0.8 ; x3,0.1 ; x4,0 }.

ПРИМЕР 6.4. Пусть A – нечеткое множество «от 5 до 8», В – нечеткое множество «около 4», заданные своими функциями принадлежности (рис. 6.7, 6.8).

Рис. 6.7. График функции Рис. 6.8. График функции принадлежности «число от 5 до 8» принадлежности «число, близкое к 4»

Тогда операции пересечения, объединения и дополнения могут быть представлены графиками функций принадлежности

нечеткого множества A B , A B , A (рис. 6.9, 6.10, 6.11).

104

6. Операции с пустым множеством:

где – пустое множество с функцией принадлежности

x U (x) 0.

7. Операции с универсальным множеством:

8. Представление разности множеств через операции объединения и дополнения:

9. Представление дизъюнктивной суммы множеств операциями объединения и дополнения:

Вотличие от четких множеств для нечетких множеств

вобщем случае:

6.1.2.2. Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическим произведением A B нечетких множеств

A и B называется нечеткое множество, функция принадлежно-

106

Алгебраической суммой A ˆ B нечетких множеств A и B

называется нечеткое множество, функция принадлежности которого определяется следующим образом:

Для операций {, ˆ} характерны следующие свойства: 1. Коммутативный закон:

На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень нечеткого множества A ,

107

где – положительное число. Нечеткое множество A определяется функцией принадлежности:

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями. Графически эти операции представлены на рис. 6.12.

Рис. 6.12. Графики возведения в степень, концентрирования и растяжения

Операции концентрирования и растяжения особенно значимы, когда необходимо свойства нечеткости сделать более четкими (концентрирование) или менее четкими (растяжение).

6.2.НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА

Нечеткая логика – это обобщение традиционной булевой логики на случай, когда истинность рассматривается как лингвистическая переменная, принимающая значения типа: «очень истинно», «более-менее истинно», «не очень ложно» и т.п. В соответствии с булевой логикой любая переменная принимает одно из двух значений: «истинно» или «ложно». В нечеткой логике переменная может принимать любое значение на диапазоне «истинно», «ложно» («менее истинно», «более ложно» и др.). Указанные лингвистические значения представляются нечеткими множествами.

108

6.2.1. Лингвистические переменные

Лингвистической переменной называется переменная,

принимающая значения из множества слов или словосочетаний естественного искусственного языка [31, 32].

Терм-множеством называется множество допустимых значений лингвистической переменной.

Словесную оценку лингвистической переменной можно рассматривать как выражение x is q, где x – лингвистическая переменная, q – словесное (лингвистическое) значение, являющееся неформальной оценкой количества или интенсивности, лингвистический терм. Например, температура тела человека (T) является лингвистической переменной. А ее качественные характеристики (нормальная, высокая, низкая) представляют собой множество термов. При этом словесная оценка (конкретный терм) обозначает определенный диапазон изменения температуры. Полный количественный диапазон изменения лингвистической переменной называется доменом или универсумом – областью изменения переменной. Множество термов можно дополнить новыми термами, образованными на основе исходных. Например, не очень высокая, выше низкой. В данном случае появляются правила образования новых термов, или, иначе говоря, грамматика.

Таким образом, лингвистическая переменная определяется следующим образом [32]:

x,T ,U ,G, M ,

где x – имя лингвистической переменной;

T – терм-множество, каждый элемент которого (терм) представляетсякакнечеткоемножествонауниверсальноммножествеU;

G – синтаксические правила, часто в виде грамматики, порождающие название термов;

M – семантические правила, задающие функции принадлежности нечетких термов, порожденных синтаксическими правилами G.

109

ПРИМЕР 6.5. Рассмотрим лингвистическую переменную

множество T можно определить как T = {«холодно», «комфортно», «жарко»} со следующими функциями принадлежности:

Множество синтаксических правил G порождает новые термы с использованием квантификаторов {«не», «очень» и «более-менее»}.

Семантические правила M заданы в виде таблицы расчета функций принадлежности (табл. 6.1).

Графики функций принадлежности термов «холодно», «не очень холодно», «комфортно», «более-менее комфортно»,

110