книги / Статистические и интеллектуальные методы прогнозирования

ли, построенной на дифференциальном уравнении. Словом, в таких моделях используются зависимости, свойственные конкретной предметной области. Такого рода моделям свойственен индивидуальный подход в разработке.

Модели временных рядов – математические модели прогнозирования, которые стремятся найти зависимость будущего значения от прошлого внутри самого процесса и на этой зависимости вычислить прогноз. Эти модели универсальны для различных предметных областей, т.е. их общий вид не меняется в зависимости от природы временного ряда.

1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Составить общую классификацию моделей предметной области не представляется возможным: сколько областей, столько и моделей. Однако модели временных рядов легко поддаются простому делению.

Модели временных рядов можно разделить на две группы: статистические и структурные.

Встатистических моделях зависимость будущего значения от прошлого задается в виде некоторого уравнения. К ним относятся: регрессионные модели (линейная регрессия, нелинейная регрессия); авторегрессионные модели; модели экспоненциального сглаживания; модели по выборке максимального подобия и др.

Вструктурных моделях зависимость будущего значения от прошлого задается в виде некоторой структуры и правил перехода по ней. К ним относятся: нейросетевые модели; модели на базе цепей Маркова; модели на базе классификационнорегрессионных деревьев; модели нечеткой логики и другие.

Общая классификация методов и моделей прогнозирования представлена на рис. 1.1.

11

2.ВРЕМЕННОЙ РЯД

2.1.ПОНЯТИЕ ВРЕМЕННОГО РЯДА

Временной ряд – это последовательность значений, характеризующих изменения показателя по времени.

Пусть значения временного ряда доступны в дискретные моменты времени t 0,1, ,T. Тогда временной ряд –

y(0), y(1), , y(T ). Необходимо определить значения процесса x(t) в моменты времени T 1,T 2, ,T P. Момент време-

ни T называется моментом прогноза, а величина P – временем упреждения. Значение временного ряда в любой момент времени называется уровнем временного ряда (рис. 2.1).

Рис. 2.1. График временного ряда

Для вычисления значений временного ряда в будущие моменты времени требуется определить функциональную зависимость, отражающую связь между прошлыми и будущими значениями этого ряда:

Данная зависимость называется моделью прогнозирования.

13

2.2.КЛАССИФИКАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Временные ряды можно классифицировать по различным признакам: по интервалу наблюдения; по расположению точек временного ряда; памяти ряда; стационарности; по времени упреждения.

В зависимости от интервала наблюдения временные ряды делятся на следующие:

интервальные временные ряды;

моментные временные ряды.

Интервальный временной ряд характеризуется тем, что значение его определяется как некоторая сумма или усреднение значений процесса за определенный интервал. В качестве примера можно привести интервальный временной ряд – потребление электроэнергии за месяц: интервал – месяц, значение ряда – объем энергии за месяц или среднее значение потребления энергии за месяц.

Моментный временной ряд – это последовательность значений процесса в конкретный момент времени. Можно рассматривать моментный временной ряд как часть интервального внутри интервала наблюдения.

По расположению точек временного ряда, а точнее моментов времени, в которые определяются значения ряда, выделяются:

равноотстоящие временные ряды;

неравноотстоящие временные ряды.

Равноотстоящие временные ряды определяют значения ряда в моменты, отличающиеся друг от друга (соседние моменты времени) на одинаковый промежуток времени.

Неравноотстоящими временными рядами называются те ряды, для которых принцип равенства интервалов фиксации значений не выполняется.

14

В зависимости от памяти описываемого процесса выделяются:

временные ряды длинной памяти:

временные ряды короткой памяти.

Принцип деления рядов по памяти характеризуется зависимостью значений временного ряда друг от друга. Такая зависимость определяется автокорреляционной функцией (определение дано ниже).

Временной ряд с короткой памятью – это ряд, у которого зависимость значений ряда от предшествующих значений уменьшается с увеличением интервала этих значений. Математически это отражается в характере автокорреляционной функции, а именно для временного ряда с короткой памятью автокорреляционная функция быстро убывает.

Временной ряд с длинной памятью характеризуется тем,

что настоящее значение ряда зависит от большого значения предыдущих значений, т.е. ряд «долго помнит» предшествующие состояния.

Очевидно, что деление временных рядов по памяти является понятием относительным и определяется в зависимости от контекста задачи.

Важным классификационным признаком рядов является стационарность, по которому можно выделить ряды:

стационарные;

нестационарные.

Стационарный временной ряд – это такой ряд, который остается в равновесии относительно постоянного среднего уровня. Остальные временные ряды являются нестационарными.

По времени упреждения ряды могут быть:

долгосрочного прогнозирования;

среднесрочного прогнозирования;

краткосрочного прогнозирования.

15

Важно отметить, что интервал упреждения для разных задач прогнозирования определяется по-разному. Так, для электропотребления классификация шире:

ультракраткосрочное прогнозирование: до одного дня;

краткосрочноепрогнозирование: отодногоднядонедели;

среднесрочное прогнозирование: от одной недели до года;

долгосрочное прогнозирование: более чем на год вперед.

2.3. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВРЕМЕННОГО РЯДА

В общем виде при исследовании временного ряда Y (t) выделяются несколько составляющих (аддитивная модель):

где T – тренд, медленно меняющаяся компонента, которая описывает влияние долговременных факторов;

S – сезонная компонента, отражающая повторяемость значений временного ряда в течение небольшого промежутка времени; C – циклическая компонента, отражающая повторяемость

процессов в течение длительного периода;

E – случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учету и фиксации случайных факторов.

Основными статистическими характеристиками временного ряда являются:

математическое ожидание:

16

автокорреляционная функция (коэффициент автокорреляции):

(y(i) y)(y(i ) y)

Исследование временных рядов, в том числе и для задач прогнозирования, последовательно осуществляется по следующему алгоритму [5]:

1)графическое представление временного ряда;

2)определение и удаление закономерных компонент временного ряда (тренда, сезонных и циклических составляющих);

3)сглаживание и фильтрация (удаление низкоили высокочастотных составляющих временного ряда);

4)исследование случайной составляющей временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели случайной компоненты;

5)прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда.

Для авторегрессионных методов прогнозирования необходимо выполнение требования по стационарности временного ряда. Стационарные ряды характеризуются постоянством средних значений и дисперсий его величин.

2.4.СТАЦИОНАРНОСТЬ ВРЕМЕННОГО РЯДА

Стационарный временной ряд – такой ряд, вероятностные характеристики которого не изменяются во времени. Поэтому стационарность требуется для точного описания данных во всех интересующих моментах времени.

Можно выделить стационарность в широком и узком смысле.

Для стационарного временного ряда в широком смысле справедливо следующее:

17

математическое ожидание уровней ряда не изменяется во времени:

дисперсия уровней ряда также не изменяется во времени:

Для стационарного временного ряда в узком смысле должно выполняться еще одно условие:

R( ) cov(y(t), y(t )) cov(y(t k), y(t k)) const. (2.8)

На рис. 2.2 и 2.3 приведены стационарные и нестационарные временные ряды.

Рис. 2.2. График стационарного временного ряда

Рис. 2.3. График нестационарного временного ряда

18

Простейшим примером стационарного временного ряда является «белый шум».

Если во временном ряде есть тренд или сезонность, то этот ряд не является стационарным, но присутствие циклов не означает нестационарность ряда, так как нельзя предсказать заранее, где будут расположены максимумы и минимумы временного ряда.

Если в графиках временных рядов на рис. 2.2 и 2.3 добавить линию тренда (такая возможность есть в Excel), то стационарность и нестационарность будет видна графически (рис. 2.4 и 2.5).

Рис. 2.4. График стационарного временного ряда с линией тренда

Рис. 2.5. График нестационарного временного ряда с линией тренда

19

При анализе ряда на стационарность применяются различные тесты. Наглядную интерпретацию дают графические методы: анализ графиков временного ряда и автокорреляционной функции.

Графический метод был рассмотрен выше.

Анализ автокорреляционной функции подразумевает по-

строение графика данной функции (коррелограммы). Скорость изменения коррелограммы определяет стационарность процесса. Для стационарного временного ряда график автокорреляционной функции достаточно быстро убывает (рис. 2.6 и 2.7).

Рис. 2.6. График автокорреляционной функции стационарного временного ряда

Рис. 2.7. График автокорреляционной функции нестационарного временного ряда

20