книги / Статистические и интеллектуальные методы прогнозирования

ПРИМЕР 4.2. Построить модели MA (3), MA (4) и WMA (3) для временного ряда:

Исходные данные

Модели скользящего среднего MA (3), MA (4) и WMA (3) рассчитываются по следующим формулам:

x(k 1) x(k) 13(x(k 1) x(k 2) x(k 3)) ; x(k 1) x(k) 14(x(k 1) x(k 2) x(k 3) x(k 4)) ;

x(k 1) 3x(k) 2x(k 1) 1x( 2). 3 2 1

Результаты прогноза по данным моделям представлены в табл. 4.2 и на рис. 4.5 (жирным шрифтом указаны спрогнозированные значения временного ряда).

Таблица 4.2

Исходные данные, данные моделей MA (3), MA (4) и WMA (3)

61

4.4.МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ARMA

Комбинация авторегрессионного процесса и процесса скользящей средней образует класс временных моделей – ARMA (авторегрессия – скользящая средняя). Данная модель базируется на предположении о том, что текущее значение исследуемого временного ряда зависит только от линейной комбинации предыдущих значений временного ряда и белого шума.

Модель ARMA (р, q) выглядит следующим образом:

Такая модель может интерпретироваться как линейная модель множественной регрессии, в которой в качестве объясняющих переменных выступают прошлые значения самой зависимой переменной, а в качестве регрессионного остатка – скользящие средние из элементов белого шума. ARMA-процессы имеют более сложную структуру по сравнению со схожими по поведению ARили MA-процессами в чистом виде, но при этом ARMA-процессы характеризуются меньшим количеством параметров, что является одним из их преимуществ.

Для построения модели ARMA по серии наблюдений необходимо определить порядок модели (числа p и q), а затем и сами коэффициенты.

Начальное приближение для p выбирается с помощью частичной автокорреляционной функции (ЧАКФ), где p – номер последнего несезонного лага, при котором частичная автокорреляция значима. Начальное приближение для q выбирается с помощью автокорреляционной функции (АКФ), где q – номер последнего несезонного лага, при котором автокорреляция значима [16]. На практике ограничиваются порядками не выше 3-го.

Согласно теореме разложения Вольда [13], любой стационарный временной ряд может быть описан с заданной точностью моделью ARMA. Благодаря своей универсальности данная

64

модель получила широкое признание в области прогнозирования временных рядов.

Расчет модели ARMA осуществляется аналогично моде-

лям AR и MA.

4.5.МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ARIMA

Методология ARIMA (p, d, q), разработанная Боксом и Дженкинсом [13], чрезвычайно популярна во многих приложениях, и практика подтвердила его мощность и гибкость. Общая модель, предложенная Боксом и Дженкинсом, включает три типа параметров модели: параметры авторегрессии (p), порядок разности (d) и порядок скользящего среднего (q).

Общий вид модели ARIMA (p, d, q) имеет вид

где u(k) определяется как разность d-го порядка в соответствии с моделью I.

4.6.МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ARIMAX

После рассмотрения AR и I, и MA остается рассмотреть ту часть, которая в аббревиатуре зашифрована буквой X – eXtended.

Целью расширения всякой модели прогнозирования является добавление в нее учета внешних факторов.

Расширение модели ARIMAX имеет дело с моделью авторегрессии ARIMA (p, d, q) и добавлением в нее показателей другого внешнего ряда z(k) ^

65

Для расчета моделей ARMA, ARIMA и ARIMAX используют приложения «Анализ данных программы MS Excel» [17, 18]

и командами MATLAB [7, 19, 20, 21].

4.7.АНАЛИЗ КАЧЕСТВА АВТОРЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

После того, как модель построена, необходимо удостовериться в ее качестве. С этой целью выполняют проверку адекватности модели процессу, объекту или явлению, для которого она построена. Следует отметить, что процедура оценки адекватности регрессионных моделей (см. главу 3) не подходит для оценки авторегрессионных моделей. В авторегрессионных моделях нет возможности выбора регрессоров, поэтому оценка значимости коэффициента множественной корреляции не применяется. Оценка общего качества уравнения тоже не применяется, так как структура авторегрессионных моделей задана.

Для оценки качества авторегрессионных моделей используются следующие метрики [22, 23]:

коэффициент детерминации параметры R2;

средняя абсолютная ошибка (MAE – Mean Absolute Error);

средняя абсолютная ошибка в процентах (MAPE – Mean Absolute Percentage Error);

среднеквадратическая ошибка (MSE – Mean squared error).

Коэффициент детерминации R2 – это доля дисперсии за-

висимой переменной, объясняемая рассматриваемой моделью зависимости, т.е. объясняющими переменными. Формула коэффициента детерминации имеет вид

где yi – известные значения временного ряда;

yi – предсказанные значения;

66

в процентном соотношении, что делает данный показатель понятной и легко интерпретируемой. Коэффициент R2 используется как процент объясненной дисперсии. Особенности метрик приведены в табл. 4.3.

68

4.8.АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ АВТОРЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

Расчет авторегрессионных моделей и их исследование осуществляется по следующему алгоритму [22, 23]:

1.Анализ исходных данных. Анализ временного ряда начинается с построения его графика. Анализ графика заключается в определении особенностей временного ряда, определении характера графика (скорость изменения, функциональная зависимость), определении тренда и наличия выбросов, необходимых для сглаживания в прогнозе.

2.Определение диапазона для расчета и исследования про-

гнозирования. Для решения задач расчета и исследования авторегрессионных моделей необходимо выделить период, на основе которого будут рассчитываться данные модели, а также период прогнозирования. Для корректности выбора этих диапазонов необходимо учитывать достаточную выборку диапазонов, скорость изменения значений временного ряда, наличие сезонного тренда

идругие характеристики временного ряда. Однако для выбора диапазонов не существует четкой методики, а для определения диапазона в основном используются экспертные оценки.

3.Проверка исходных данных на стационарность. Провер-

ка исходных данных на стационарность осуществляется в соответствии с подразд. 2.4.

4.Преобразование к стационарному процессу (в случае необходимости). Преобразование к стационарному виду осуществляется одним из методов, описанных в подразд. 2.5.

5.Расчет авторегрессионных моделей. На данном этапе выбираются вид и структура авторегрессионной модели, осуществляется расчет параметров данных моделей.

6.Оценка качества авторегрессионных моделей и выбор модели прогноза. Выбираются метрики, осуществляется расчет значений метрик, анализ полученных результатов и выбор модели прогноза на основе рассчитанных метрик.

69

4.9.ДОСТОИНСТВА И НЕДОСТАТКИ АВТОРЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

Основным достоинством авторегрессионных моделей является факт получения высококачественной модели с адекватным прогнозом при минимуме временных затрат и требований

кисходным данным.

Кнедостаткам можно отнести следующие:

Прогноз по исходным данным возможен только на один период вперед. Если нужно сделать прогноз на более длительный срок, то в качестве влияющих факторов для расчета придется брать не реально существующий Y, а тот который рассчитан по модели, что в итоге даст прогноз на прогнозе, а значит, адекватность такого прогноза, как минимум, в два раза меньше.

С увеличением разрядности авторегрессии возникает необходимость расширять диапазон исходных данных.

4.10. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АВТОРЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В MS EXCEL

Для исследования авторегрессионных моделей используется Пакет анализа MS Excel, который располагает необходимым набором инструментов для регрессионного анализа. Данный пакет доступен при установке MS Excel. Чтобы использовать эту надстройку, необходимо сначала загрузить ее:

на вкладке Файл выбрать элемент Параметры, затем пункт Надстройки;

нажать кнопку Перейти;

в окне Доступные надстройки установить флажок Пакет анализа, а затем нажить кнопку ОК.

Инструмент Регрессия из Пакета анализа позволяет вычислить следующие данные: коэффициенты линейной функции регрессии (методом наименьших квадратов), коэффициент де-

70