книги / Теория информации

тональных функций (базиса), удобной для последующего анализа прохождения сигнала через те или иные цепи и каналы связи.

Совокупность методов представления сигналов в виде (3.1) назы­ вают обобщенной спектральной теорией сигналов.

Представление (3.1) является разложением сигнала по системе ба­ зисных функций. К системе базисных функций предъявляют следую­ щие основные требования: для любого сигнала ряд должен сходиться, функции \)/А(/) должны иметь простую аналитическую форму; коэф­ фициенты ак должны вычисляться относительно просто. Этим трем условиям удовлетворяют системы ортогональных функций.

Условие ортогональности нормированной базисной функции име­ ет вид

(3.2)

где

5Йсимвол Кронекера. Систему {(р(/)} называют ортонормированной. Для детерминированных сигналов наибольшее распространение

получили методы спектрального анализа, использующие преобразо­ вания Фурье. В этих методах в роли \|fk(t) выступают гармонические функции, а роль коэффициентов акиграют амплитуды гармоник.

Важное значение гармонических сигналов для техники связи обусловлено рядом причин. В частности:

1.Гармонические сигналы инвариантны относительно пре­ образований, осуществляемых стационарными линейными элек­ трическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.

2.Техника генерирования гармонических сигналов относительно

проста.

Кроме гармонического сигнала для анализа характеристик цепей в технике связи используют еще две очень важные функции: дельта­ функцию и функцию единичного скачка.

Функция единичного скачка o{t), она же функция Хевисайда, она же функция включения, равна нулю для отрицательных значений ар­ гумента и единице - для положительных. При нулевом значении аргу­ мента функцию считают либо неопределенной, либо равной 1/2:

0, / < О,

1, / > 0 .

График функции единичного скачка приведен на рис. 3.2. Функцию единичного скачка удобно использовать при создании

математических выражений для сигналов конечной длительности. Простейшим примером является формирование прямоугольного им­ пульса с амплитудой А и длительностью Т:

s(t)= A (a (t)-o (t-T )).

Вообще, любую кусочно-заданную зависимость можно записать в виде единого математического выражения с помощью функции еди­ ничного скачка.

метода Фурье на случайные процессы. При разложении случайных процессов коэффициенты ак являются случайными величинами, а оп­ тимальные базисы определяются через корреляционные функции этих процессов.

К задачам синтеза сигналов относят задачи определения формы сигналов (структурный синтез) и задачи определения параметров сиг­ налов известной формы (параметрический синтез).

3.2. Частотная форма представления сигнала

Рассмотрим, какие функции целесообразно выбирать в качестве базисных при анализе инвариантных во времени линейных систем. При исследовании таких систем решения всегда содержат комплекс­ ные экспоненциальные функции времени. Детерминированные сиг­ налы, описываемые экспоненциальными функциями времени, при прохождении через инвариантные во времени линейные системы не изменяются по своему характеру, что является следствием инвари­ антности класса экспоненциальных функций относительно операций дифференцирования и интегрирования.

Широко используются представления детерминированных сигна­ лов с применением базисных функций еР' как при р = ± ую (преобра­ зование Фурье), так и при р = s + у'со (обобщенное преобразование Фурье, известное как преобразование Лапласа).

До сих пор мы не касались физической интерпретации базисных функций. Для чисто математических преобразований она не обязатель­ на. Однако такая интерпретация имеет безусловные преимущества, так как позволяет глубже вникнуть в физический смысл явлений, про­ текающих в системах при прохождении сигналов.

Использование экспоненциальных базисных функций в преобра­ зовании Фурье комплексно-сопряженными парами (с положительным и отрицательным параметром со) позволяет в соответствии с формулой Эйлера е1ш/2 + е~у“ / 2 - cos со/ представить сложный детерминирован­ ный сигнал в виде суммы гармонических составляющих. Поскольку параметр со в этом случае имеет смысл круговой частоты, результат такого преобразования называют частотной формой представления сигнала.

Всилу указанных преимуществ разложение сигналов по системе гармонических базисных функций подверглось всестороннему иссле­ дованию, на основе которого была создана широко известная класси­ ческая спектральная теория сигналов.

Вчастотном виде могут представляться как периодические, так и непериодические детерминированные сигналы.

Строго говоря, в реальных условиях периодические сигналы не существуют, так как идеальный периодический сигнал бесконечен во времени, а всякий реальный сигнал имеет начало и конец. Однако во

многих случаях конечностью времени действия сигнала можно пре­ небречь и для анализа допустимо использовать аппарат, пригодный для идеальных периодических сигналов.

С пектры периодических сигналов. Простейшим периодичес­ ким сигналом является гармоническое колебание (тока, напряжения, заряда, напряженности поля), определяемое законом

'2 я ,

s(t)= A cos — t -\|/ = -4cos(c0|/ - у ), (3.7)

Т

при - оо < t < + оо. Здесь А, Т, со,, \\i - постоянные амплитуда, период, частота и фаза.

Указание этих параметров, образующих спектр гармонической функции, и будет ее частотным представлением.

Обычно прибегают к графическому изображению спектра. По оси абсцисс наносятся частоты, по оси ординат - амплитуды и фазы. Для удобства вычерчиваются два графика, представляющих амплитудный и фазовый спектры соответственно. Очевидно, для гармонического сигнала каждый из этих спектров изобразится единственной точкой. График становится более наглядным, если из указанной точки опус­ тить на ось частот перпендикуляр, который будет изображать так на­ зываемую спектральную линию.

Гармонический сигнал находит широкое применение на практике,

вчастности, при регулировке устройств обработки информации и сня­ тии их амплитудных и частотных характеристик.

Произвольный детерминированный сигнал определяется как неко­ торая заданная функция времени jt(f). В настоящее время в большинс­ тве случаев произвольный детерминированный сигнал представляется

ввиде надлежащим образом выбранной совокупности элементарных сигналов. Основой для такого рассмотрения являются ряды Фурье.

Итак, любой сложный периодический сигнал может быть пред­ ставлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов, дейс­ твующих при - со< t < +00.

Пусть заданная на интервале t}< t< t2функция s(t) периодически

повторяется с частотой со, = — , где Т - период повторения, причем

выполняются следующие условия (условия Дирихле):

1) в любом конечном интервале функция s(() должна быть непре­ рывна или иметь конечное число разрывов первого рода;

Таким образом, если функция x(t) имеет конечную длительность (т.е. ограничена по времени) и удовлетворяет указанным выше усло­ виям, она может быть сколь угодно точно представлена суммой эле­ ментарных детерминированных сигналов типа синусоиды. При этом каждый элементарный сигнал характеризуется своей амплитудой,

определяемой формулой (3.13), и частотой - щ . Графически это

можно изобразить так, как показано на рис. 3.3. Расстояние между со- 2

седними частотами гармоник по оси частот равно

Следует отметить, что приведенным выше условиям Дирихле удовлетворяют все физически осуществимые сигналы. Поэтому при представлении периодических сигналов в виде рядов Фурье эти усло­

ращаются в нуль. Для нечет-

ной относительно / функции s(t), наоборот, в нуль обращаются коэф­ фициенты ап(3.11), и ряд состоит только из синусоидальных членов.

Таким образом, структура частотного спектра периодического сигнала полностью определяется двумя характеристиками - амплитудной и фазо­ вой, т.е. модулем и аргументом комплексной амплитуды [(3.13) и (3.14)].

Наглядное представление о «ширине» спектра и относительной величине отдельных его составляющих дает графическое изображе­ ние спектра (см. рис. 3.3). Здесь по оси ординат отложены модули ам­ плитуд, по оси абсцисс - частоты гармоник.

Спектр периодической функции состоит из отдельных «линий», соответствующих дискретным частотам: 0, со,, 2оо,, ..., жо,. Отсюда и название - линейчатый, или дискретный, спектр.

Существует очень важное понятие —практическая ширина спектра сигнала. Интуитивно ясно, что если полоса пропускания какого-либо уст­ ройства недостаточно широкая, чтобы пропустить все гармоники, сущест­

венно влияющие на форму сигнала, то сигнал на выходе этого устройства исказится. Таким образом, можно сказать, что ширина полосы пропуска­ ния устройства не должна быть уже ширины спектра сигнала.

Существует несколько критериев для определения практической ширины спектра сигнала. Например, ширину спектра можно опреде­ лять как область частот, в пределах которой сосредоточена основная энергия сигнала (например, 95 %). Можно отбрасывать все гармоники с амплитудами, меньшими 1 % максимальной амплитуды в спектре, тогда частоты оставшихся гармоник и определят ширину спектра сигнала.

Однако независимо от критерия, по которому определяют ширину спектра сигнала, можно выделить такие общие для всех сигналов законо­ мерности: чем круче фронт сигнала, чей короче импульсы и че,ч больше пауза между импульсами, тем шире во всех этих случаях спектр сигнала, т.е. тем медленнееубывают амплитуды гармоник с ростом их номера.

Хотя условия одновременного ограничения длительности и полосы частот не могут быть выполнены в точности, однако можно ограничить спектр полосой F и иметь малые значения сигнала вне интервала Т.

Значение рядов Фурье в современной технике очень велико. Ос­ нованный на формулах (3.11 и (3.12) гармонический анализ сложных периодических сигналов в сочетании с принципом наложения (супер­ позиции) представляет собой эффективное средство для изучения вли­ яния линейных систем на прохождение сигналов.

Если на входе линейной системы, характеристики которой извест­ ны, существует сигнал e(t) (электродвижущая сила), то для нахождения выходного сигнала достаточно учесть амплитудные и фазовые измене­ ния, претерпеваемые каждой из гармонических составляющих сигнала при прохождении через рассматриваемую систему. Условие линейнос­ ти системы позволяет рассматривать прохождение каждой из гармоник сигнала независимо от всех остальных гармоник.

С пектры непериодических сигналов. В реальных системах пе­ редачи всегда действуют непериодические сигналы, так как все сигна­ лы имеют конечную длительность.

Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический с периодом Т —*оо. При этом разность частот между соседними гармоника­ ми стремится к нулю. Спектр становится сплошным, амплитуды - беско­ нечно малыми. При Т -* со частота со, превращается в dco, «со, - в текущую частоту со, а операция суммирования - в операцию интегрирования.

Если функция x(t) не ограничена во времени, удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интервале и дополнительно удовлетворяет условию

то

—оо

т.е. интеграл (3.19) сходится, то ее можно представить следующим ин­ тегральным выражением:

называемым интегралом Фурье.

Внутренний интеграл, являющийся функцией ю, обозначим

-СО

После подстановки (3.19) в выражение (3.18) получаем

—00

Выражения (3.19) и (3.20) представляют собой прямое и обратное преобразования Фурье. S(со) называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции s(f). Выражение (3.20) пред­ ставляет собой непериодическую функцию в виде суммы (интеграла) гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами.

Из анализа преобразований Фурье вытекает следующее важное поло­ жение: огибающая сплошного спектра (модуль спектральной плотности) непериодической функции и огибающая линейчатого спектра периодичес­ кой функции (полученной из непериодической nytneM продолжения ее с пе­ риодом Т) совпадают по форме и отличаются только масштабом.

Поскольку спектральная характеристика - комплексная величина, то ее можно представить в виде

где Л(со) и В(а>) - соответственно действительная и мнимая части спектральной плотности; 5(ю) и \|/(оо) - амплитудно-частотная (АЧХ) и фазо-частотная (ФЧХ) характеристики спектральной плотности.

Непосредственно из формулы (3.19) вытекают следующие выра­ жения для Л(со) и 5(ш):

Как и в случае ряда Фурье, модуль спектральной плотности есть функция четная, а фаза - нечетная относительно частоты со.

Итак, структура спектра непериодического сигнала полностью определяется функциями частоты S(co) (спектром амплитуд) и <р(со) (спектром фаз).

3.3. Случайный процесс как модель реального сигнала

Рассмотренные математические модели детерминированных сиг­ налов являлись известными функциями времени. Их использование позволяет успешно решать задачи, связанные с определением реакций конкретных систем на заданные входные сигналы. Случайные состав­ ляющие, всегда имеющие место в реальном входном сигнале, считают при этом пренебрежимо малыми и не принимают во внимание.

Однако единственная точно определенная во времени функция не может служить математической моделью сигнала при передаче и пре­ образовании информации. Поскольку получение информации связано с устранением априорной неопределенности исходных состояний, од­ нозначная функция времени только тогда будет нести информацию, когда она с определенной вероятностью выбрана из множества воз­ можных функций. Поэтому в качестве моделей сигнала используется случайный процесс. Каждая выбранная детерминированная функция рассматривается как реализация этого случайного процесса.

Необходимость применения статистических методов исследова­ ния диктуется и тем, что в большинстве практически важных случаев пренебрежение воздействием помехи в процессах передачи и преоб­ разования информации недопустимо. Считается, что воздействие по­