книги / Теория информации
..pdf
|
|
оо |
Мм |
|
|
S ( j со) = £ |
С,е - |
(4.16)- |
|
|
|
к =-*> |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
1 |
®И |
_ 1«Лю |
|
Q = -х----- |
f S{jcc)e »»dco. |
(4.17) |
||
|
2Ш0Г J |
|
||
|
В |
—(Оц |
|
|
Сравнивая (4.17) и (4.15), получаем |
|
|||
С , = |
1 |
|
|
|
x(-kAt) = Atx(-kAt). |
(4.18) |
|||
|
2 К |
|
|
|
Подставив значение С. в (4.16), будем иметь |
|
|||
|
|
со |
_ .пко) |
|
S(ja) = At ^ |
x(kAt)e т |
(4.19) |
||
|
|
к=-со |
|
|
Ужеэто соотношениедоказываеттеорему Котельникова: так какмежду х(/) и S(jay) имеется однозначная связь, то х(0, как и SQг(») (см. (4.19)), одно значно определяется отсчетами {х(АД/)}.
Выразим функцию x(t) через ее спектр, используя (4.15)
ДА“1 » -/Л™
x(t) = ^ - f e^'dcoY х(ЛДГ)е "•
(4.20)
Учитывая сходимость ряда и интеграла Фурье, произведем пере становку операций интегрирования и суммирования:
Л / |
00 |
x(kAt) j ey“,(''*4')d(o. |
|
|
дс(/) = — |
V |
(4.21) |
||
2п |
*■— |
|||
|
||||
Определив значение интеграла
МВ
-МВ
1 |
c7a>('-fca/) |»в |
2sinц,(Г - кAt) |
j (t - k A t ) |
I'"1 |
t-kAt |
и подставив его в (4.21), окончательно получим выражение, называе мое рядом Котельникова:
А*) = Z *(£ д о |
sincoB(/ - к At) |
(4.22) |
|
сов(/ - к At) |
|||
к=-ю |
|
Полученное выражение представляет собой разложение в ряд не прерывной функции x(t). Величины x(kAt) - значения непрерывной функции в точках отсчета. Множитель вида
sin to„(/ - к At) _ sin 2KFBX
®B(t - к At) 2KFBX (4-23)
является функцией времени и называется функцией отсчетов (рис. 4.2). Функция отсчетов принимает максимальное значение, равное
единице, в моменты времени t = kAt и обращается в нуль в моменты времени t = (k± m)At, где т = 1,2,3,... Следует отметить, что функции отсчетов ортогональны на бесконечно большом интервале времени. Функция отсчетов представляет собой реакцию идеального фильтра нижних частот на единичную импульсную функцию.
Таким образом, чтобы передать сообщение, являющееся непре рывной функцией времени и имеющее ограниченный спектр, необхо димо произвести следующие операции:
1.Найти огсчетные значения передаваемого сообщения в моменты времени, разделенные интервалами At = 1/2F.
2.Передать величины отсчетов по каналу связи любым из возмож ных методов.
3.Восстановить на приемном конце переданные отсчеты и сфор
|
|
|
|
|
|
мировать импульсы с малой |
||
|
|
|
|
|
|
длительностью (по |
сравне |
|
|
|
|
|
|
|
нию |
с интервалом |
между |
|
|
|
|
|
|
отсчетами), амплитуды кото |
||
|
|
|
|
|
|
рых были бы равны передан |
||
|
|
|
|
|
|
ным отсчетным значениям. |
||
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
кции |
отсчетов с амплиту |
|
|
|
|
|
|
|
дами, равными амплитудам |
||
-is -10 |
-5 |
о |
s |
ю |
is |
переданных отсчетных зна- |
||
Рис.4.2. График функции отсчетов |
|
чений. |
|
|||||
5. Просуммировать функции отсчетов и получить функцию вре мени, которая равна (или пропорциональна) переданному сообщению. Совокупность приведенных операций представлена на рис. 4.3.
Теорема Котельникова справедлива и для случая, когда непрерывное сообщение x(i) имеет спектр, заключенный в ограниченной полосе частот a t f доf a. В этом случае отсчеты следует брать через интервал времени
|
|
|
|
|
1 |
I |
|
|
|
|
|
|
(4.24) |
|
|
|
|
Л' |
2 (/» -Л ) |
2 t f J |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где Afcn- ширина спектра функции, Дfcn = (fa - f t). |
|
|
|
|
|
|||||||||
Строго говоря, условия тео-*(,) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ремы Котельникова для реальных |
|
|
|
л<ЗД/) |
|
|
|
|
||||||
сигналов |
не |
удовлетворяются, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
-«At) |
|
|
|
|
|
|
x(5At) |
||||||
поскольку они представляют про |
|
1 |
1 |
|
| S |
|
||||||||
цессы, ограниченные во времени, |
— |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
||||||
| |
i |
|
i |
|
|
|
||||||||
и поэтому их спектр не ограничен. |
-----1---- |
1 |
1ЗД/ 1 4Д/ 1 |
|
||||||||||
; |
1 At |
1 2At |
|
|||||||||||
Однако практически всегда можно |
|
|
J |
1 |
|
1 |
|
1_ A:= 1 |
||||||
ограничить |
сверху спектр |
реаль |
1 |
j / ' j ' x i 1 L i |
k =2 ’ |
|||||||||
ного сигнала достаточно большой |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
частотой F |
так, чтобы составляю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
щие спектра за ее пределами были |
|
|
1/ |
1 |
\l |
|
|
- |
||||||
незначительными. |
|
|
|
1 |
'\3 |
i |
|
гг—'\ |
|
|||||
Таким |
образом, |
учитывая |
|
1 |
1 |
1 |
/ |
i \ |
1 |
|
||||
отмеченные |
ранее особенности |
n |
1 |
1 |
1 |
/ |
1 |
\ |
1 |
*= 4 |
||||
J___ 1/ |
1 |
'vj |
||||||||||||
реальных |
сообщений |
(сосредо |
h |
1 |
r r l |
|
1 |
|
|
=5 ^ |
||||
точенность почти всей энергии |
! |
! |
|
! / |
l X |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
" — |
|
|
|
|
||
в конечных интервалах времени Рис. 4.3. Восстановление непрерывной и полосы частот), выражение функции (4.22) можно с достаточной сте
пенью точности использовать для представления реальных сообще ний. В этом случае при длительности сообщения Г число отсчетов т будет конечным:
m = - ^ |
= 2FaT , |
(4.25) |
At |
|
а (4.22) примет вид
ю U- к а/) |
(4.26) |
При конечном числе отсчетов сумма (4.26) будет совпадать с мгновенными значениями x(t) не на всем интервале существования сообщения Т , а только в отсчетных точках. В промежутках между этими значениями x(t) отличается от суммы конечного числа членов ряда, в результате чего возникает погрешность. Эта погрешность ми нимальна в середине интервала Г и будет возрастать к его краям.
Определить среднеквадратичную ошибку восстановления сооб щения конечной длительности рядом Котельникова с конечным чис лом членов затруднительно. Однако, если убывание модуля спектраль ной плотности происходит достаточно быстро, можно указать границы среднеквадратической ошибки 5, возникающей при восстановлении реального сообщения с неограниченным спектром рядом Котельнико ва (4.22) в следующем виде:
(4.27)
где Е - полная энергия сообщения,
со
Е= J x2(t)dt, |
(4.28) |
|
|
||
а А Е - энергия сообщения, заключенная в полосе частот выше |
||
1 |
(4.29) |
|
2Д t |
||
|
||
С помощью оценки (4.29) можно определить Fn таким образом, чтобы погрешность восстановления непрерывного сообщения не пре вышала заданной величины.
В практических расчетах для определения относительной пог решности воспроизведения сообщений может быть использовано сле дующее выражение:
ос.
J [5(oo)|2d(o |
|
8’ » ^ ------------ , |
(4.30) |
J(5'((o)J2dco |
|
о |
|
позволяющее по заданной величине 8 при известных спектральных характеристиках сообщения найти верхнюю граничную частоту спек тра сов и интервал дискретизации
А / = — . |
(4 .3 1 ) |
Как видно на рис. 4.3, для воспроизведения исходной функции x(t) по ее дискретным значениям x(kAt) необходимо устройство с им пульсной реакцией вида (4.23). На выходе такого устройства и будет воспроизводиться исходная непрерывная функция х(/).
Подобную импульсную реакцию имеет идеальный фильтр нижних частот с частотой среза F. Таким образом, непрерывная функция может быть восстановлена при пропускании последовательности импульсов вида x(Mt)8(t - kAt) (решетчатой функции) через идеальный фильтр ниж них частот с указанной частотой среза. Здесь 8(/ - kAt) - дельта-функция. Практически эти импульсы аппроксимируются, например, прямоугольны ми импульсами длительностью А, где А « At, и высотой x(kAt)/A.
Ясно, что отклонение свойств ФНЧ от идеального ведет к не которым искажениям в воспроизведении непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам.
В заключение заметим, что, хотя не существует реальных сигна лов со строго ограниченным спектром, это не умаляет практического значения выводов, сделанных из теоремы Котельникова. Принимая сигнал с практически ограниченным спектром (что всегда имеет мес то на практике) за идеальный сигнал со строго (в смысле условий те оремы) ограниченным спектром, мы после восстановления по диск ретным отсчетам получим сигнал, несколько отличный от исходного, но это отличие незначительно, если правильно выбрана ограничиваю щая спектр частота F. В процессе передачи сигнал дополнительно ис кажается различными помехами, и на их фоне можно пренебречь ис кажениями, вызванными отличием реальных сигналов от идеальных.
П ринцип дискретизации Железнова. В предложенной Н.А Железновым модели сообщения характеризуются: конечной дли тельностью Тс; сплошным спектром, отличным от нуля на всей часто
тной оси, т.е. S(a>) Ф0 при - |
со < © < оо. |
|
Вводится |
допущение |
ограниченности интервала корреляции |
(т.е. считается, |
что функция корреляции равна нулю вне интервала |
|
т0) и малости интервала корреляции по сравнению с длительностью сообщения (Т » т0). Рассматриваются сообщения, являющиеся стационарными и нестаци онарными функциями времени. Введен ные допущения не вступают в противо речие с природой реальных сообщений, так как вследствие конечной длительнос ти их значение в любой момент зависит только от некоторого отрезка прошлого
ограниченной длительности. Поэтому интервал корреляции реальных сообщений является ограниченной величиной. Это ограничение, запи сываемое в виде
е д г ; |
|
(4.32) |
|
[ = 0 |
п р и т > т0, |
||
|
представлено на рис. 4.4.
Н.А. Железновым доказано, что такие сообщения могут быть предсказаны системой линейного прогнозирования со среднеквад ратичной ошибкой, сколь угодно мало отличающейся от нуля, толь ко в промежутке времени, равном интервалу корреляции т0. Таким образом, дискретизацию следует производить с интервалом, не превышающим т0, поскольку лишь в этом случае возможно безо шибочное восстановление исходного сообщения. Число некорре лированных отсчетов:
(4.33)
Определение интервала корреляции т0 производится с использова нием понятия эффективной полосы частот сообщения
А сОэфф = 2 я Д /фф, т 0 = 2 д у ~ ’ |
(4 34) |
где Дсоэ(М) определяется как основание прямоугольника с высотой, рав ной максимальному значению спектральной плотности Sx(iо), и пло щадью, равной площади под кривой спектральной плотности сообще ния (рис. 4.5):
I
Дсо
Sx(<■>)
Для нестационарных функций ис пользуется понятие текущего интервала корреляции, который является функцией времени т0 = г0(t). В этом случае отсчетные значения непрерывного сообщения будут располагаться на оси времени не равномерно. Метод дискретизации Н.А. Железнова менее разработан, чем метод В.А. Котельникова, и поэтому не полу чил еще широкого распространения.
(4.35).
Рис. 4.5. К определению эффективной полосы частот
4.7. Адаптивная дискретизация
Если ранее рассмотренные методы и алгоритмы дискретизации были рассчитаны на все множество возможных реализаций сигнала и потому опирались на предельные значения его динамических ха рактеристик, то при адаптивной дискретизации ориентируемся на динамические характеристики конкретной реализации, что позволяет получить минимальное число выборок, обеспечивающих восстанов ление этой реализации с заданной точностью.
В основе принципа адаптивной дискретизации лежит непосредс твенное слежение за текущей погрешностью восстановления сигнала е.
Наиболее широкое применение на практике получили алгоритмы дис кретизации с адаптацией по длине интервала аппроксимации. В процессе последовательного наращивания интервала аппроксимации производится сравнение сигнала ы(/) с воспроизводящей функцией «*(/), формируемой с учетом текущих значений динамических характеристик сигнала. Когда погрешность воспроизведения достигает заданного значения е0, наращи вание интервала прекращается и производится отсчет. Интервалы време ни между отсчетами при этом оказываются произвольными.
В качестве воспроизводящих функций наиболее часто используются степенные алгебраические полиномы (4.6) нулевой и первой степеней. При этом возможны как интерполяционные, так и экстраполяционные
способы адаптивной дискретизации. Интерполяционные способы не на шли широкого применения, поскольку их реализация связана с запоми нанием сигнала на интервале аппроксимации и выполнением большого числа вычислительных операций. Поэтому ограничимся рассмотрением примеров адаптивной дискретизации на основе экстраполяции.
4.8. Квантование сигналов по уровню
Поскольку математической моделью непрерывного сигнала является случайный процесс U {t), мгновенное значение сигнала U = £/(/.) пред ставляет собой случайную величину. Диапазон ее изменения, называ емый непрерывной шкалой мгновенных значений сигнала, ограничен значениями «mjn и и ^ , что отражает условие физической реализуемос ти сигнала. Непрерывную шкалу мгновенных значений ип = итзх - итт, сигнала разбивают на п интервалов, называемых ш агам и квантования. Границами шагов квантования являются значения и0 = ы ., и,,..., м , ип = и ^ . Из множества мгновенных значений, принадлежащих /-му шагу квантования (и.,< и < и ) только одно значение И,- является разрешенным (/-й уровень квантования). Любое другое из указанного множества значе ний округляется до и\. Совокупность величин и,'(/ = 1,2,..., л) образует дискретную шкалу уровней квантования. Если эта шкала равномерна, т. е. разность значений Аи1 = и, - постоянна на всем протяжении непре рывной шкалы мгновенных значений сигнала и, квантование называют равномерны м . Если постоянство значений не выдерживается, - кванто вание неравномерное. Благодаря простоте технической реализации рав номерное квантование получило наиболее широкое распространение.
В результате замены мгновенного значения сигнала U соответствую щим уровнем квантования и] возникает погрешность Ь. = и - и ], которую называют ош ибкой квантования. Эта погрешность является случайной ве личиной. Нас чаще всего интересует ее максимальное значение 5М = max | 8( | и среднеквадратическое отклонение для всего диапазона изменения мгновенных значений сигнала. Используются также приведенные значе ния этих величин
8 М О = 8* / ( Wranx — M m in ) > ^0 = & / ( U max — Wm in ) •
С позиций минимизации наибольшей возможной ошибки квантова ния непрерывную шкалу мгновенных значений сигнала целесообразно
разбить на п одинаковых шагов кванто |
|
|||
вания Д = (м ^ - um.J/n |
и уровни кван |
|
||
тования разместить в середине каждого |
|
|||
шага (рис. 4.6). При этом максимальная |
|
|||
ошибка квантования не превышает 0,5 Д. |
|
|||
Если каждый уровень квантования вы |
|
|||
бран равным нижней (верхней) границе |
|
|||
шага квантования, максимальная ошибка |
|
|||
квантования возрастает до величины Д. |
|
|||
Среднеквадратическое |
отклонение |
|
||
ошибки квантования для /-го шага а. за |
|
|||
висит не только от шага Д. |
и располо |
|
||
жения в нем /-го уровня квантования, но |
квантование |
|||
и от закона распределения мгновенных |
||||
|
||||
значений сигнала в пределах этого шага: |
|
|||
СТ' |
= J ! ~ u'i)2P(u)du> |
(4.36) |
||
гдер{и) - функция плотности вероятности мгновенных значений сигнала U. Считая шаги квантования малыми по сравнению с диапазоном изме нения сигнала, плотностьр(и) в пределах каждого /-го шага можно принять постоянной и равной некоторому среднему значению, например />(и(')Л (.. При таких предположениях минимальная среднеквадратическая ошибка
а. достигается при расположении уровня квантования в середине шага:
ст,
(4.37)
Преобразовав подкоренное выражение к виду
а? = [/> (ц ;)Д .]|д , |
(4.38) |
отмечаем, что дисперсия ошибки квантования на /-м шаге равна д 2 /12 равномерно распределенного на этом шаге сигнала, умноженной на ве роятность р{и\)Aj попадания мгновенного значения сигнала в пределы данного шага. Дисперсия полной ошибки квантования о2 для всей непре рывной шкалы мгновенных значений сигнала определяется как математи ческое ожидание дисперсий А2 /1 2 на отдельных шагах квантования:
(4.39)
При одинаковых шагах квантования ( Д . = Д)
(4.40)
п
Так как принимаем £/>(«,')д = 1» то
СТ2 = Д 2 / 1 2 |
(4.41) |
Таким образом, при квантовании с постоянным шагом и разме щении уровней квантования в середине шага (равномерное кван тование) среднеквадратическая ошибка квантования как для рав номерного, так и для произвольного распределения мгновенных значений сигнала одинакова:
(4.42)
Шум квантования. При квантовании сигнала по уровню случай ный процесс заменяется ступенчатой зависимостью Изменяю щуюся во времени ошибку квантования 5(0, также представляющую собой случайный процесс, называют ш ум ом кв ан т о в ан и я :
5(0 = и ( I ) - и (0 |
(4.43) |
Сохраняя ранее введенные предположения (о малости шага кван тования и равномерности распределения в нем мгновенных значений сигнала) и считая случайные процессы U (t) и 8(0 эргодическими, сред неквадратическую ошибку равномерного квантования о можно опреде лить по реализации 5,(0 (рис. 4.7). В пределах каждого шага квантова ния Д зависимость 5,(0 заменяется прямой t • tgP,, где р - переменный угол наклона прямой. При размещении уровней квантования в середи не каждого шага математическое ожидание ошибки квантования равно нулю, а ее среднеквадратическое значение определяется выражением