книги / Теория информации

матрицей коэффициентов корреляции \\Rkl\\- Математические ожида­ ния коэффициентов разложения равны нулю. Неслучайные базисные

функции принято называть координатными функциями.

Т

Предположив, что J m](t)dt <<ю, детерминированную функцию

-т

mu{t) в (3.49) на интервале - Т < t < Т также можно разложить по функциям <рА(/), представив в виде

Выражение случайного процесса в виде (3.50 в) позволяет сущест­ венно упростить его линейные преобразования, поскольку они сводятся к преобразованиям детерминированных функций [/»„(/), (01 >а тэФ~ фициенты разложения, являющиеся случайными величинами, остаются неизменными.

Чтобы определить требования к координатным функциям, рас­ смотрим корреляционную функцию процесса U (t) , заданную разло­ жением

ли(/,/2) = M m o u ( t 2)] = л/[Хс,ФДОЕс/ф/(^-)1 = Е М О Д М О фДл)-

Поэтому целесообразно выбирать такие координатные функции, которые обеспечивают некоррелированность случайных величин ( C J . Разложение (3.50), удовлетворяющее этому условию, называют кано­ ническим разложением.

По известному каноническому разложению корреляционной фун­ кции случайного процесса можно записать каноническое разложение самого случайного процесса с теми же координатными функциями, причем дисперсии коэффициентов этого разложения будут равны дис­ персиям коэффициентов разложения корреляционной функции.

Таким образом, при выбранном наборе координатных функций центрированный случайный процесс характеризуется совокупностью дисперсий коэффициентов разложения, которую можно рассматривать как обобщенный спектр случайного процесса.

В каноническом разложении (3.50) этот спектр является дискрет­ ным (линейчатым) и может содержать как конечное, так и бесконечное число членов (линий).

Основным препятствием к широкому практическому использованию канонических разложений случайных процессов является сложность про­ цедуры нахождения координатных функций. Однако для ряда стационар­ ных случайных процессов эта процедура вполне приемлема.

3.7. Графическое представление сигналов

Достаточно широкий класс реальных сигналов охватывается их моделью в виде марковского процесса. Положим, сложный сигнал строится из некоторого дискретного множества элементарных сиг­ налов. Если источник генерирует в данный момент j - й элементарный сигнал, то говорят, что он находится в j -м состоянии. Полное описа­ ние процесса заключается в задании набора элементарных сигналов (состояний) ( е } и условных вероятностей р.к перехода источника из состояния j в состояние к.

Для полноты модели в рассмотрение можно включить случай, ког­ да вероятность перехода pjkзависит от времени пребывания источника в состоянии j: вероятность перехода в состояние к в интервале (т, т + dx) после перехода в состояние j равна pjk(i)(h.

Этот сложный процесс может быть отражен очень простой графической моделью. Способ построения модели за­ ключается в следующем. Со­ стояниям источника ставятся в соответствие точки (узлы); воз­ можность перехода из данного ^ состояния в другое отображает­ ся наличием линии (ветви), со­ единяющей соответствующие узлы; направление перехода указывается стрелкой; веро­ ятность перехода указывается

числом около надлежащей ветви. Величины подчиняются очевидному

соотношению = Полученный в результате граф может выглядеть, например, как на рис. 3.5.

Известно, что существуют преобразования графа, не изменяющие определенные свойства, но упрощающие его структуру. Причем, поль­ зоваться преобразованиями Лапласа функций pJk(т) более удобно, чем самими функциями pJk(T). Кроме удобства при написании признаков ветвей графа функции Pjk(s) позволяют очень просто вычислить вре­ менные моменты сигналов. Пусть, например, нас интересуют только те сигналы, которые начинаются с состоянияj и заканчиваются состо­ янием к. После соответствующих преобразований графа можно полу­ чить функцию Pjk(s) в виде степенного ряда Р (s) = aQ+ axs + a2s2+...

Коэффициент aQдает безусловную вероятность осуществления переходаj —►к, т.е. вероятность появления сигнала любой длитель­ ности, начинающегося с у-го символа и заканчивающегося к-м. Ве-

личина ~ а\ характеризует среднюю длительность такого сигнала;

2* (оЛ2

дисперсия длительности определяется величиной а0 [а0)

Из полного графа случайного процесса легко определить любую инте­ ресующую нас реализацию, выделив в нем соответствующую траекторию. По характеристикам ветвей траектории находится вероятность данной ре­ ализации и ее остальные временные статистические характеристики.

Наиболее эффективно граф может быть использован для нахожде­ ния статистических характеристик подмножества сигналов, выделяе­ мого по какому-либо признаку.

происхождения, всегда может рассматриваться как совокупность координат точки в n-мерном пространстве, т.е. соответствующий вектор в «-мерном пространстве определяется совокупностью п чисел, которые являются его проекциями на соответствующие оси. Это записывается следующим образом:

х = (х{,х2, ... ,х ).

Сигнал с ограниченным спектром, согласно теореме Котельникова, полностью задается дискретным множеством равноотстоящих отсче­ тов. Совокупность чисел, характеризующих значение функций отсче­ та в соответствующих точках, можно рассматривать как совокупность координат некоторой точки; таким образом, сигнал также представля­ ется как вектор (точка) в многомерном пространстве, которое можно назвать пространством сигналов. Размерность пространства сигналов равна числу степеней свободы рассматриваемого сигнала. Как отмеча­ лось выше, оценкой числа степеней свободы отрезка сигнала длитель­ ностью Т и ограниченной шириной F спектра является число 2FT.

В большинстве практических случаев число измерений про­ странства сигналов очень велико. Хотя такие пространства не до­ пускают наглядного изображения, аналитические соотношения геометрии значительно облегчают рассмотрение проблем связи.

Расстояния в пространстве сигналов имеют наглядный смысл. Для так называемого евклидова пространства справедливо следующее соотношение для длины вектора:

п

(3.54)

которое является обобщением обычной теоремы Пифагора. В п-мерном пространстве длина вектора называется его нормой. Если рассмотреть два вектора .г, и х2 (на рис. 3.6 показана двумерная модель), то можно найти угол между ними и расстояние между концами векторов.

Исходя из рис. 3.6 получаем:

Сравнивая значение энергии с соотношением (3.57), можем запи­ сать ||х||2 = 2FEc.

Так как длительность сигнала конечна, то можно определить сред­ нюю мощность сигнала Р следующим образом: Рс= EJT. Тогда

Итак, норма вектора сигнала (т. е. длина вектора) при заданной длительности и ширине спектра сигнала определяется его средней мощностью. Для стационарного случайного сигнала операция осред­ нения квадрата реализации по времени определяет дисперсию процес­ са, следовательно, норма вектора сигнала пропорциональна его сред­ нему квадратическому значению

И = ° ,J 2 F T

(3.59) Простое геометрическое толкование имеют различные опера­

ции над сигналами. Например, если сигнал в канале искажается определенным образом, то пространство сигналов искривляется за счет определенного смещения каждой точки. Пропусканию сигна­ ла через фильтр с поло-

пространства

п р о п о р ц и о н а л ь н у ю среднеквадратическому значению помехи. Если помеха носит слу­ чайный характер, то она образует некоторую область неопределен­ ности около каждой точки пространства сигналов.

Геометрическая модель позволяет дать наглядное изображение процессов, происходящих в линиях связи.

Конт рольны е вопросы

1.Дайте определение детерминированного и случайного процес­ сов. Приведите примеры.

2.Дайте определение дельта-функции и укажите основные ее свойства.

3.Поясните смысл величин, входящих в тригонометрическую и комплкексную формы записи ряда Фурье.

4.Какой вид имеет спектр периодического сигнала?

5.Дайте определение понятий реализации и ансамбля реализаций случайного процесса.

6.Дайте определение основных характеристик случайного процесса.

7.Как описываются статистические свойства дискретных сообще­ ний? Какие процессы называются марковскими?

8.Что такое «белый шум»? Каковы его свойства?

9.Каким образом оценивается в технике практическая ширина спект­ ра сигнала, и какие характеристики полностью определяют сигнал?

10.Дайте геометрическое определение различимости сигналов.

4. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И КВАНТОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ

4.1.Способы квантования сигналов

Влюбую систему информация поступает в виде сигналов. Различ­ ные параметры физических процессов с помощью датчиков обычно преобразуются в электрические сигналы. Как правило, ими являются непрерывно изменяющиеся ток или напряжение, но возможно поступ­ ление и импульсных сигналов, как, например, в радиолокации. Печат­ ный текст отображается буквами, цифрами и другими знаками.

Хотя поступающую информацию можно хранить, передавать и обрабатывать как в виде непрерывных (аналоговых), так и в виде дискретных сигналов, на современном этапе развития информацион­ ной техники предпочтение отдается дискретным сигналам, поэтому сигналы, как правило, преобразуются в дискретные. С этой целью каждый непрерывный сигнал подвергается операциям квантования по времени (дискретизации) и по уровню.

Под дискретизацией подразумевают преобразование функции непре­ рывного времени в функцию дискретного времени, представляемую со­ вокупностью величин, называемых координатами, по значениям которых исходгная непрерывная функция может быть восстановлена с заданной точностью. Роль координат часто выполняют мгновенные значения функ­ ции, отсчитанные в определенные моменты времени.

Под квантованием подразумевают преобразование некоторой ве­ личины с непрерывной шкалой значений в величину, имеющую диск­ ретную шкалу значений. Оно сводится к замене любого мгновенного значения одним из конечного множества разрешенных значений, на­ зываемых уровнями квантования.

Аналоговый сигнал (рис. 4.1 а), описывается непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией х(/), причем и аргумент, и сама фун­ кция могут принимать любые значения из некоторых интервалов: f< t< t",x'< x< x" (см. рис. 4.1а).

Первоначально в электросвязи использовались преимущественно аналоговые сигналы. Их можно просто генерировать, усиливать, переда­ вать и принимать. Недостатком таких сигналов является то, что любое из­

менение их формы из-за помех и искажений влечет за собой изменение принимаемого сообщения. Возросшие требования к качеству передачи сообщений заставили перейти к дискретньт и цифровым сигналам.

Причины перехода к дискретному и цифровому выражению ин­ формации заключаются в следующем.

Для конкретных задач управления или исследования интересую­ щего нас объекта обычно требуется значительно меньше информации, чем ее поступает с датчиков в виде сигналов, изменяющихся во вре­ мени непрерывно. Учет априорных сведений об этих сигналах и целях их получения позволяет ограничиться отсчетами, взятыми через опре­ деленные моменты времени.

При неизбежных флуктуациях во времени интересующих нас параметров и конечной погрешности средств измерения информа­ ция о величине сигнала в каждый момент отсчета всегда ограничена, что и выражается в конечном числе уровней квантования. Кроме того, специфика решаемых в системе задач часто такова, что целесообраз­ но ограничиться значительно меньшим числом уровней, чем следует из указанных выше ограничений.

Во многих случаях информация извлекается и передается с целью дальнейшей обработки средствами цифровой техники, в первую оче­ редь ЭВМ и микропроцессорами. Рациональное выполнение операций дискретизации и квантования при этом приводит к значительному эко­ номическому эффекту как за счет снижения затрат на хранение и обра­ ботку получаемой информации, так и вследствие сокращения времени обработки информации, что ведет к улучшению качества управления.

При передаче и обработке информации в цифровой технике существу­ ет принципиальная возможность снижения вероятности получения оши­ бочного результата до весьма малых значений. Она возникает потому, что при использовании дискретных сигналов, во-первых, применимы такие методы кодирования, которые обеспечивают обнаружение и исправление ошибок, а во-вторых, можно избежать свойственного аналоговым сигна­ лам эффекта накопления искажений в процессе их передачи и обработки, поскольку квантованный сигнал легко восстановить до первоначального уровня всякий раз, когда величина накопленных искажений приблизится к половине кванта. Практическая реализация указанных методов наиболее эффективна при минимальном числе уровней, равном двум.

Выражение информации в цифровой форме облегчает унифика­ цию операций ее преобразования на всех этапах обращения. Массо­ вость изготовления типовых узлов и блоков, простота их настройки, отсутствие необходимости регулировки в процессе эксплуатации поз­