книги / Проектирование электронно-лучевых приборов

Рис. 3.2. Применение зеркального отображения при расчете поля триодной пуш­ ки:

а— исходная геометрия; б — зеркальное отображение

массивы коэффициентов А к согласно (3.6) умножаются на значе­ ния этих потенциалов и суммируются, а затем значение потенци­ ала в любой точке пространства вычисляется, как обычно, по фор­ муле (3.3).

Использование свойств симметрии рассчитываемых ЭОС. За­ частую при решении полевых задач по виду рассчитываемой си­ стемы и значениям потенциалов на ее электродах можно судить о свойствах симметрии функции распределения плотности заряда по поверхности электродов а(гь). Это может быть использовано для сокращения объема вычислений при решении полевой задачи. Рассмотрим, например, конфигурацию электродов, относящуюся к классу одиночных линз (рис. 1.9,а). Очевидно, распределение плот­ ности о(гь) по образующим электродов этой конфигурации сим­ метрично относительно плоскости 2= 0 .

Это используется при составлении системы уравнений коллокации (3.4) и позволяет сократить число неизвестных Ак и, следо­ вательно, число уравнений вдвое. При этом число коэффициентов (3.5) сокращается вчетверо с соответствующим сокращением объ­ ема вычислений.

Аналогичным приемом можно пользоваться и при наличии ан­ тисимметрии в распределении плотности заряда, которое позво­ ляет сэкономить время при расчете большинства электростатичес­ ких отклоняющих систем и повысить точность расчета электронных пушек. Рассмотрим конфигурацию электродов пушки, изображен­ ную на рис. 3.2,а. Расчет пушки с учетом влияния разброса ско­ ростей термоэлектронов требует высокой точности соблюдения условия IIк= 0 вдоль поверхности катода. Даже имея возможность рассчитывать потенциал с погрешностью не более 0,01 %, можно получить при потенциале анода порядка 1000 В на поверхности катода в промежутках между точками коллокации колебания зна­ чений потенциала ±0,1 В, в то время как весь спектр начальных энергий термоэлектронов укладывается в пределы 0 0,3 эВ! Следовательно, для получения корректных оценок хроматической аберрации следует добиться точного удовлетворения граничных

условий на поверхности катода, что достижимо при использова­ нии принципа зеркального отображения [40]. Согласно этому принципу распределение потенциала в ЭОС не изменится, если ис­ ключить из нее проводящую плоскость с потенциалом, равным нулю (плоскость катода), и ввести вместо этой плоскости элек­ троды, являющиеся зеркальным отображением электродов и име­ ющие потенциалы обратного знака (см. рис. 3.2,6). Применяя к расчету системы электродов, изображенной на рис. 3.2,а, прием, связанный с учетом свойств антисимметрии плотности заряда, можно упростить схему и рассчитывать только ее правую поло­ вину. При этом граничные условия на поверхности катода удов­ летворяются точно, что позволяет получать корректные результа­ ты, качественно отличные от получаемых без применения зер­ кального отображения [40].

В некоторых системах электродов потенциал и, следовательно, распределение плотности заряда ст(гь) являются периодичными функциями относительно одной из координат. Используя это, мож­ но решать полевую задачу лишь для одного из периодов измене­ ния этих функций, что существенно сокращает число уравнений коллокации.

Следует отметить, что предположение о строгой периодичности системы относится к ее идеализированной схеме, имеющей бес­ конечное число периодов, в то время как реальные системы имеют конечные размеры. Постановка полевой задачи для бесконечной системы приводит к необходимости суммирования расходящегося ряда кулоновских потенциалов. Учет конечного числа периодов позволяет обойти эту трудность. Как показали численные экспе­ рименты [41], для достижения практически полезной точности до< статочно ограничиться четырьмя-пятью периодами.

Использование свойств симметрии и периодичности особенно эффективно при расчете трехмерных систем, большинство из ко­ торых имеют по крайней мере две плоскости симметрии (см., на­ пример, рис. 1.12). Преимущества такого подхода наглядно де­ монстрируются расчетом систем типа ортогональных сеток (рис. 3.3). В результате использования свойств симметрии и периодич­ ности расчет такой системы сводится к заданию геометрии за­ штрихованного фрагмента и решению уравнений коллокации для него, поэтому время решения полевой задачи становится сопоста­ вимым по времени с решением аналогичных задач в двумерной постановке.

Описанный выше подход к решению полевых задач электростатики может быть использован и при расчете магнитных полей в тех случаях, когда примени­ ма модель [42], в которой задача сводится к решению интегрального уравнения первого рода для скалярного магнитного потенциала. В [43] приведен вывод выражения для поля магнитной отклоняющей системы с магнитопроводом. В со­ ответствии с методикой [42] решение трехмерной задачи с помощью преобразо-

нитного поля. Уравнения (3.8) могут быть решены на ЭВМ одним из приближенных методов с использованием решения полевой за­ дачи для вычисления компонентов напряженности поля, входящих в правые части уравнений.

Наиболее .популярны при численном интегрировании уравнений движения заряженных частиц .методы Адамса —- Штермера и Рунге — Кутта [44]. Общим для обоих .методов является то, что приближенное интегрирование ведется по шагам .при .последовательном наращивании значений времени. При каждом новом значении времени вычисляются значения всех координат и соответствующих компонентов скоростей по приближенным формулам, число членов в которых определяется порядком метода. Метод Адамса — Штермера намного экономичнее метода Рунге — Кутта, однако при его применении на каждом шаге нужно знать значения вычисляемых функций в нескольких предыдущих точках, поэтому в практике траекторного анализа ЭОС обычно применяется комбинация этих ме­ тодов. Значения функций в нескольких начальных точках определяются по мето­ ду Рунге — Кутта, а для дальнейших расчетов используется более экономичный метод Адамса — Штермера. В этом методе на каждом шаге вычисление всех функций выполняется дважды по так называемым формулам «счета» и «пересче­ та». Разности значений координат, полученных по этим формулам, например ДД и Дг для осесимметричных ЭОС, используются для автоматического выбора

шага интегрирования по времени.

При заданной относительной точности определения е на каждом очередном

наоборот, если условие (3.10) выполняется на трех последующих шагах, то ве­ личина шага удваивается. Таким образом, величина шага выбирается автомати­ чески, исходя из заданной точности определения координат траектории и эконо­ мии времени вычислений, поэтому при интегрировании уравнений движения прак­ тически невозможно определить заранее, в каких точках траектории будут получены значения координат — все зависит от особенностей распределения по­ тенциала в рассчитываемой системе.

Чтобы иметь результаты расчета траекторий в удобной для дальнейшего использования форме, целесообразно предусмотреть

ных координат для каждой из рассчитываемых траекторий. Эти плоскости в дальнейшем для краткости будут называться экра­ нами.

Первый экран (2 = 21) размещается на некотором расстоянии от начала траектории (достаточном, чтобы он не попал на началь­ ный участок, где интегрирование ведется по методу Рунге—Кут-

Рис. 3.4. Схема к расчету электронных пучков:

а — конического; б — параллельного

та). Затем на каждом шаге интегрирования проверяется выполне­ ние условия 2 т^ г ! (гт — координата текущей точки траектории) и, если оно выполнено, вычисляются значения координат в плоско­ сти 2 = 2 1 интерполяцией по их значениям в текущей и трех преды­ дущих точках траектории. Затем 21 заменяется на 22 и так далее вплоть до достижения последнего экрана г= гк, совпадающего с заданной координатой конца траектории. После расчета несколь­ ких траекторий его результаты сводят в таблицу, где для каждого экрана имеются наборы значений координат всех рассчитанных траекторий. Такое представление может быть использовано для аппроксимации уравнений траекторий в принятом в электронной оптике виде, т. е. как функций от осевой координаты.

Одной из немногих особенностей вычисления траекторий в магнитостатиче­ ских полях является то, что правые части уравнений движения зависят не толь­ ко от компонентов напряженности магнитного поля, но и от компонентов скоро­ сти частицы. Поскольку компоненты скорости вычисляются на каждом шаге интегрирования, это не вносит дополнительных требований к алгоритму вычисле­ ния траекторий, однако заставляет обращать особое внимание на возможность накопления ошибок к концу траектории.

Первичная обработка результатов расчета траекторий. Как указано выше, результаты расчета каждой траектории представля­ ются в виде таблицы значений ее координат (и скоростей) в раз­ личных сечениях пучка, задаваемых координатами экранов 2 /. Методы первичной обработки расчета траекторий рассмотрим на примере двух наиболее распространенных ситуаций, встречающих­ ся при траекторном анализе осесимметричных ЭОС:

1) расчет осесимметричного пучка электронов, вылетающих с одинаковой скоростью из точки на оси системы с угловым рас­ пределением 0\ (ф) (рис. 3.4,а), — встречается при расчете элек­ тронных линз;

2) расчет пучка, образованного электронами, вылетающими с

определяется условиями параксиальности так, чтобы координата

срт и Нт определяются как значения угла и координаты, дальней­ шее уменьшение которых не приводит к заметным изменениям ко­

(аналогичный вид имеют графики функции р(Л) для пучка с рис.

используются значения координаты р для соответствующего эк­ рана, полученные в результате расчета траекторий. В качестве ко­ ординаты р могут рассматриваться как радиус К для осесимметрич­ ных систем, так и любые из декартовых координат х или у для трехмерных ЭОС. Отрицательная часть графиков на рис. 3.5 для осесимметричных ЭОС показывает ход траекторий в меридиональ­ ной плоскости после пересечения оси. На том же рисунке штри­ хом показан вид графика функции р с учетом осевой симметрии пучка (для этого «отрицательная» часть графика отражается сим­ метрично относительно оси). Из рис. 3.5 видно, что для плоскости 2Т каждому значению р могут соответствовать от одного до трех значений ф или Л.

тию каустики. Размер изображения точечного источника,_как ^ид-

но из рис. 3.5, определяется максимальной из величин р и рм= = р(срм), поэтому можно предположить, что плоскость наименьше-1

го сечения пучка определится из условия рги(й) = Ргп(^м)-

Следует отметить, что аппроксимация (3.12) при увеличении числа траекто­ рий Н становится неустойчивой, как и всякая аппроксимация такого рода. В ре­ зультате этого на графике функции р(<р) «могут появиться «зарифлениости», не имеющие никакого физического соответствия. В таких случаях целесообразно использовать сплайн-аппроксимацию, обладающую рядом полезных свойств, нз которых в нашем случае наиболее полезны следующие:

сплайн имеет минимальную кривизну из всех функций, проходящих через заданный набор точек;

сплайн, интерполирующий функцию, сходится к ней при бесконечном дроб­ лении интервала аппроксимации точками, в которых заданы значения функции (подробнее о свойствах сплайн-аппроксимации и возможностях ее применения

вмоделировании ЭОС см. в [46]).

Влюбом случае аналитическая аппроксимация функции р по­ зволяет вычислять такие важнейшие электронно-оптические харак­ теристики, как распределение плотности тока в заданном сечении пучка и контрастно-частотную характеристику исследуемого эле­ мента.

Контрастно-частотная характеристика. Особенностью электрон­ но-оптического анализа ЭЛП является необходимость подробного исследования внутренней структуры электронного пучка, опреде­ ляющей информационные качества электронного пятна, создающе­ го изображение. Это связано с потребностью оценивать качество ЭЛП как преобразователя или канала передачи информации, об­ ладающего шумами.

В первом приближении информационное качество ЭЛП (и, сле­ довательно, ЭОС) может оцениваться его разрешающей способ- ностью, которая по ГОСТ 17791—82 определяется как величина, характеризующая наиболее мелкие детали объекта, которые мож­ но различить на изображении или передать в сигнале. Определение разрешающей способности связано с определением размеров попе­ речного сечения электронного пучка некоторой плоскостью, в ко­ торой формируется изображение. Эти размеры могут оцениваться с помощью методов расчета многолинзовых систем (см. например, [14]), основанных на использовании значений увеличений и абер­ раций каждой из линз, которые, в свою очередь, могут быть опре­ делены аналитическими [14, 32] или численными методами.

Однако наиболее полное представление о качестве ЭЛП как канала передачи информации дает его контрастно-частотная ха­

С другой стороны, оценка КЧХ узлов и ФЭ ЭЛП, а также при­ бора в целом полезна для потребителей ЭЛП, поскольку приборы работают в той или иной системе регистрации визуальной инфор­ мации, где КЧХ ЭЛП может, например, умножаться на КЧХ опти­ ческого объектива в системах с фоторегистрацией или давать предельные размеры деталей, наблюдаемых человеческим глазом, и т. п.

Результаты определения КЧХ ЭЛП расчетным путем могут быть сопоставлены с экспериментом. Для этого по известной ме­ тодике [39] определяется зависимость контраста К изображения оптической миры с прямоугольным распределением плотности, имеющей переменный шаг и различное число штрихов Ы:

АС(М) = (Вмакс—В Мин) / (В макс+ в мин),

где Вмакс и Вм„н — максимальный и минимальный уровни яркости в изображении штрихов миры.

Сравнение значений контраста и КЧХ осуществляется с помо­ щью формулы Кольтмана [39]

В Д = 4 / я [ Г ( Л 0 - ( У з)Г(ЗЛ0 + ( 7 5) Г ( 5 Л 0 - . .].

Таким образом, КЧХ является экспериментально определяемым параметром прибора в целом и в то же время может использо­ ваться для оценки качества и критичности отдельных узлов и фун­ кциональных элементов ЭЛП.

Следует отметить, что для расчета КЧХ некоторого функцио­ нального элемента ЭОС необходимо иметь возможность рассчи­ тывать распределение плотности тока в изображении точечного источника, создаваемого этим элементом, или по крайней мере иметь аппроксимацию функции р(ф) [или р(й)], описывающей зависимость координат пересечения траекторий электронов с плос­ костью изображения от начальных условий.

Рассматривая, например, электронную пушку и функцию р2(й), связывающую радиус вылета Н электрона с поверхности ка­ тода с координатой его попадания в некоторый экран, можно ус­ тановить зависимость между распределением плотности тока на поверхности катода /*(й) и распределением /2(Я) в плоскости эк­ рана г [49]:

(3.19)

0

где /?о — радиус рабочей зоны катода; б[х] — дельта-функция, по­ зволяющая выбрать из всех электронов, вылетающих из пределов рабочей зоны катода, лишь те, для которых выполнено условие ^2=р2(А), где приравниваются квадраты, чтобы учесть осевую симметрию задачи (см. штриховую линию на рис. 3.5). Это ПреД­