книги / Основы метода конечных элементов
..pdfгде 0 — наименьшее из минимальных собственных чисел элементар ных матриц масс.
Таким образом,
Amin (М ) = Ш1П------=----- ^ 0
(О7(0
и согласно (11.84)
К \ Л К )Ж (L )0.
Суммируя результаты, можно привести следующую оценку числа
обусловленности матрицы К системы уравнений МКЭ для любого типа элементов:
Н = ^тах ^тт
(К )_ |
2СА |
(К ) |
(L ) В ’ |
|
где С — некоторая положительная константа, зависящая от коэффи циентов k(x) и q(x)t А — максимальное собственное число из всех соб
ственных чисел |
элементарных |
матриц /Q = |
/(! + /(?, i = 1 -A N, |
связанных с | |
+ (y7V)2j |
(с учетом |
граничных условий), |
(L) — минимальное (первое) собственное число дифференциальной задачи, не зависящее от дискретизации, 0 — минимальное собствен ное число из всех собственных чисел N элементарных матриц масс
Ки = Мс,связанных с |
Г |
(vN)2 dx (то же с учетом граничных условий). |
Получим теперь |
*i- |
1 |
оценки числа обусловленности для некоторых |
конкретных типов элементов. Рассмотрим вначале случай использо
вания элемента «/ 1—2». Как показано в параграфе |
II.2, |
||||||
|
|
1 |
— 1 |
А, |
Г2 |
1] |
|
« - Т Г |
1 |
|
1 |
|
|
2\’ |
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
_j____ |Jh_ |
Jh___ j_ |
|
|
||||
|
ht |
“l" 3 |
6 |
|
h{ |
|
|
Jh_____ L |
J _ |
, |
t = |
24 -(W — 1 ), |
|||
A |
|
|
|||||
|
6 |
h( |
A, |
|
3 _ |
|
|
_!_ |
4 - |
4 . R |
A |
-------- — |
|
|
|
A, |
+ |
3 + P |
6 |
|
At |
|
|
Ki = Jh___ L |
J_ + |
hi |
|
|
6 |
Aa |
A, T 3 |
Непосредственными вычислениями нетрудно убедиться, что здесь
при достаточно малом значении h = min ht i
Л ^ " Г + “Г + P’ 9 = 1 Г '
т. е. Я = О (-1-).
Если для дискретизации использовать
7 |
_l_ |
2/li |
_l_ g.-R |
8 |
1i |
Л< |
|
зл, |
+ |
~ |
+ |
р |
3ft, |
1 |
15 |
элемент вида «12—3», то
Г
3ft, 30
Kt = |
|
16 |
1 |
8Л' |
|
8 |
|
1 |
1 Г |
( 11. 86) |
|
|
3/i, |
||||||||
|
3Л, |
1h |
15 |
|
+ |
|||||
Симметрично |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
2ft, |
|
|
|
|
|
|
З/i.. |
+ |
.5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
где 6л — символ Кронекера (6U = |
1; 6 л = |
0, / Ф 1), |
|
|
||||||
7 |
+ |
2hw |
|
8 |
+ |
hN |
|
|
||
ЗЛд, |
15 |
|
|
со |
15 |
|
(11.87) |
|||
K N |
|
|
|
|
16 |
|
ShN |
|
||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
СО |
+ |
15 |
|
|
3hN + |
|
15 |
|
|
а
-4 2 — 1 -
hi |
2 |
16 |
2 |
|
30 |
||||
1 |
2 |
4. |
||
|
Поскольку абсолютные значения собственных чисел матрицы не превосходят любую из норм этой матрицы, то
|
|
*шах ( К д |
< I Я , Цое, |
|
|
|
где |
норма QЦ*, для |
произвольной |
матрицы |
А = |
(щ/), i, / = 1 , |
|
|
|
|
|
|
П |
|
..., |
л, определяется |
соотношением |
||Л||<х, = |
max |
2 |
\aij\- |
|
|
|
|
i |
/= 1 |
Следовательно, согласно (11.86), (11.87) при достаточно малых
имеем |
|
|
|
\ |
|
32 |
2ft, |
Лщах |
0 |
|
~ » |
ИЛИ |
|
|
|
Л ^ |
-gjj- , |
h = |
min ht. |
Так как матрица Л4, — положительно определенная при любом зна чении Н( Ф 0 , то ее минимальное собственное число
ah,
^min {М() = 20 »
где а > О — минимальное собственное число матрицы
|
4 |
2 - 1 |
|
|
|
|
|
2 |
16 |
2 |
|
|
|
|
L— 1 |
2 |
4 J |
|
|
|
Следовательно, 6 = |
и Н = О |
j. |
|
|
|
|
Рассмотри^ еще случай использования элемента |
Эрмита «/3—2». |
|||||
С помощью аналогичных |
рассуждений, |
учитывая |
вид матриц |
К( = |
||
= К\ -4- Afi = n 7 'S ~ r (R\ + |
R°i) ^“ ‘ПГ1 (см. п. |
3 |
параграфа |
II.2 ), |
нетрудно убедиться, что в данном случае при достаточно малом значе нии h
^ ^ 0 ( 5Л ) ’ 0 — 0 ( 420 ) ’ a i > °»
н =
Однако необходимо отметить, что и при использовании элемента Эрмита «13—2» решаемую систему линейных алгебраических уравне ний легко преобразовать таким образом, чтобы число обусловленности матрицы преобразованной системы по-прежнему имело порядок 1/Л2.
Для этого достаточно «масштабировать» матрицу системы (11.76) следующим способом:
К = П/Ш,
где диагональная матрица П = |
diag {nlt П2, .. |
Пдг) (см. (11.47)), ире- |
шать систему |
|
|
К у = |
ПЬ, у = ГГ'г. |
(11.88) |
Такое «масштабирование» равносильно тому, что на каждом элементе вектор фиксируемых параметров имеет вид (ср. с (11.47), (11.48))
~ 1
= ПГ1©* = |
h t |
v \ - 1 |
|
1 |
Vi |
||
|
|||
|
К - |
_ Vi _ |
Vi- |
1 |
|
h p t - x |
, N, |
|
Vi |
i = 1 , |
|
|
|
|
D |
|
|
1 |
i |
|
а элементарные матрицы жесткости и масс принимают вид
К\ = S~TR)S~\ М, = S- TR°CS~1.
В случае постоянных коэффициентов (ср. с п. 3 параграфа II.2):
|
36 |
3 |
— 36 |
3' |
К\ = |
3 |
4 |
— 3 |
— 1 |
ЗОЛ, — 36 |
— 3 |
36 |
— 3 |
|
|
3 |
— 1 |
— 3 |
4 |
|
|
|
|
156 |
22 |
54 — 13“ |
|
|
||
|
4 |
= |
^ - |
22 |
4 |
13 |
— 3 |
’ |
|
|
|
|
1 |
420 |
54 |
13 |
156 |
— 22 |
|
||
|
|
|
|
— 13 |
— 3 |
— 22 |
|
4_ |
|
|
Исследуя, |
как |
прежде, квадратичную форму |
aZ/fco = |
£ wf х |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*=1 |
X Ki&i, Ki = К\ + |
Mit |
нетрудно |
убедиться, |
что |
в |
данном |
случае |
|||
Л = О (1/й), |
0 = |
0 |
(й), |
следовательно, |
И = О |
|
Таким образом, |
чтобы избежать значительного искажения вычисленного решения ошибками округления, целесообразно строить и решать (в случае ис пользования элементов Эрмита) систему (11.88), а не (11.76)
Аналогичное «масштабирование» можно и нужно применять и при использовании других видов элементов Эрмита,- когда в качестве фиксируемых параметров используются значения искомой функции и ее производных. Это позволит «удержать» число обусловленности
матрицы соответствующей системы |
уравнений на уровне величины |
4. Практическая оценка точности |
вычисленного на ЭВМ решения. |
Как было показано в предыдущих пунктах, теоретически установлена скорость сходимости приближенного решения МКЭ к точному решению краевой или вариационной задачи (теорема II.2). При соблюдении определенной осторожности эту скорость не нарушает и замена точного интегрирования квадратурными формулами. Однако все эти результа ты косят асимптотический характер, и их трудно использовать для оценки точности конкретного вычисленного на ЭВМ решения, тем бо лее что полученные результаты искажены и ошибками округления. Отметим, что, зная по теоретическим оценкам порядок числа обуслов ленности матрицы решаемой системы и учитывая длину машинного слова (точность вычислений), можно по упомянутому ранее практичес кому правилу приближенно оценить число верных значащих цифр
полученного решения 2, т. е. верных по отношению к точному решению z дискретной системы МКЭ линейных алгебраических уравнений
(11.76). Ориентируясь на эти верные цифры решения 2, можно приме |
|
нить следующее практическое правило для оценки погрешности в точ |
|
ке хс вычисленного приближенного значения uN(xt) = щ |
по отноше |
нию к точному решению дифференциальной задачи и (х{). |
(Напомним, |
что компонентами вектора решения г являются фиксированные в узлах
значения искомого приближенного решения uN (х) и некоторых его производных.)
Пусть согласно теореме II.2 приближенное решение сходится в
норме пространства |
к решению дифференциальной задачи со ско |
ростью порядка п. |
Тогда в силу теоремы вложения Соболева 1971 бу- |
дет справедлива |
и |
оценка |
|
|
|
|
шах |uN (х) — и (х) |= |
О(Л"). |
|
Предположим, |
далее, что |
существует |
следующее представление: |
|
и (х() = и? + |
а (х{) hn + |
О (hn+>), |
h = max (xt — x;_i). (11.89) |
|
Рассматривая |
приближенные решения в общей точке хс для двух |
сеток с максимальными размерами элементов h и h, т. е. выражения (11.89) и
|
|
и{Х() — ui -1- о: (Х{)Нп-|- О(/tn~^”*), |
(11.90) |
||||
можно с точностью до величин порядка hn+l найти |
|
||||||
|
|
|
a(xt). |
ut ~ ui |
|
|
|
|
|
|
hn— hn |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Это |
позволяет |
получить |
следующие |
оценки погрешности |
вычислен |
||
ного |
решения |
в точке |
xt: |
|
|
|
|
|
|
Ди * = |
|и (x t) — и!( |
|« |а |
(Х() |t i 1, |
|
|
|
|
bu» = - ^ L , |
и"~ ф |
0 . |
|
||
|
|
|
I«fl |
|
|
|
|
Используя вычисленные решения систем МКЭ уравнений для двух разбиений области на элементы, можно уточнить получаемые для уз лов значения приближенного решения по формуле
Ul = OUl |
( 1 — Cf)Ui> |
(11.91) |
где
(11.92)
Действительно, учитывая в (11.91) представления (11.89), (11.90), име ем
щ = и(х{) — а (*,) [ahn+ (1 - a )h n]- a O |
(hn+[) - |
||
- (1 - |
а) О(hn+l) = |
и(xt) + О(Лп+1 + |
Еп+[), |
так как согласно |
(11.92) ahn + |
(1 — a) hn = 0 . |
|
Таким образом, |
|
|
|
|и (х{) — uti\ = 0 (hn+l + An+I).
Если доказана сходимость решения дискретной задачи к решении» дифференциальной, но скорость сходимости неизвестна, то, предпо
ложив выполнение соотношения
и (Х{) = щ + а (ж,) h? + О(/tv+')
и использовав три варианта сетки с максимальными размерами эле ментов ft, ft, ft, можно установить экспериментально значение у из
следующего соотношения (справедливого |
с точностью до О (ftv+1)): |
\hv-hf\ |
|
-=-----=— « -Ц -— |
= -i- , |
где щ , щ , и? — значения вычисленного решения в узле x'h общем |
|
для всех сеток. |
|
При наличии численных решений, отвечающих трем сеткам, можно вычислить решение в узле xt с повышенным порядком точности по
формуле |
|
|
|
(uf)* = |
ахи1 + в2иУ+ |
(1 — — O<L)UI , |
|
где |
|
|
|
_ |
hn+1 (hn — hn) - |
hn (7in+ 1- |
hn+ l) |
1 |
(itn— kn) (hn+l—hn+l) |
' |
|
_ |
hn {hn+l — ftn+l) — ftn+ ' (hn — hn) |
||
г |
(hn — hn) (hn+l — hn+1) |
Отметим, что при этом имеем |и (*,) — (ыГ)* |= О (hn+2).
5. Численные результаты. Обратимся теперь к более подробному рассмотрению численных результатов, полученных МКЭ при решении модельного примера пунктов 1 —3 параграфа II.2 . Остановимся в ос новном на случае использования кусочно-линейных полиномов, т. е. применения элементов вида « / 1 —2 ».
Вначале рассмотрим поведение приближенного решения при из мельчении сетки, когда длина элементарного отрезка принимает зна чения h, равные 0,25; 0,125; 0,0625. При этом все остальные особеннос
ти построения сеточной системы уравнений (в частности, |
число узлов |
||||
|
|
|
Т а б л и ц а 5 |
||
*1 |
«о (х{) |
|
“ i |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
h = 0,25 |
/2 «0,125 |
h = |
0,0625 |
0 |
— 1 |
— 1,00655220 |
— 1,00161180 |
— 1,00039950 |
|
0,25 |
—0,71597458 |
—0,72331423 |
—0,71778243 |
—0,71642228 |
|
0,5 |
—0,35127873 |
—0,35871457 |
—0,35310427 |
—0,35172841 |
|
0,75 |
0,11700002 |
0,11148608 |
0,11565202 |
0,11667361 |
|
П р и м е ч а н и е . |
При h = 0,25 значение / — 1 мин 45 с; |
при h■ » 0,125 значение t |
3 мин 20 cj |
||
при h=* 0,0625 значение t = 5 мин 40 о. |
|
|
|
|
|
и0 (XI) |
|
|
|
|
|
|
h = 0,25 |
|
h =0,125 |
h = 0,0625 |
0 |
— 1 |
— 1,01675170 |
— 1,00415710 |
— 1,00103560 |
|
0,25 |
—0,71597458 |
—0,73115442 |
— 0,71973503 |
—0,71691008 |
|
0,5 |
—0,35127873 |
—0,36564878 |
—0,35479609 |
—0,35214912 |
|
0,75 |
0,11700002 |
0,10649864 |
0,11445482 |
0,11637685 |
|
Примечание . При h — 0,25 значение / = 45 с, |
A M ) « = 6,12; при h = |
0,125 значение t = |
|||
■** 1 мин 30 с, |
«=» 24,5; при h « 0,0625 значение t = 2 |
мин 55 с, //Об) *= 103,8. |
в квадратурных формулах Гаусса и разрядность ЭВМ МИР-2) оста ются неизменными: четыре квадратурных узла на каждом элементе 1х(- 1, xt]y i = 1, 2, N\ N = 4, 8 , 16; разрядность R = 8 . Соответ ствующие значения полученных приближенных решений представле ны в табл. 5. Обозначения такие же, как в табл. 1, и, кроме того, лг — число квадратурных узлов на каждом элементе, пг = 4, t — время получения приближенного решения на ЭВМ МИР-2. Приведенные ре зультаты свидетельствуют о повышении точности приближенного ре шения с измельчением сетки, причем асимптотический порядок схо димости согласуется с предсказанным теоретическим — О (ft2) (см.
замечание в п. |
1 параграфа |
Н.З). В частности, для трех сеток (N = |
= 4, 8 , 16) в |
каждом узле |
выполняется соотношение |
что обеспечивает поточечную сходимость Л2.
В табл. 6 приведены значения приближенных решений, получен ные на тех же сетках, что и в табл. 5, но при использовании квадра турных формул Гаусса с одним узлом на каждом элементе R = 8 . В этой же таблице даны значения числа обусловленности H(N) матрицы
системы уравнений МКЭ. (Время t указано без вычисления Нт). Нетрудно убедиться, что и в данном случае (/ir = 1) асимптотический порядок сходимости приближенных решений остался прежним — О (/г2) : в частности, в узловых точках сетки выполняется соотношение
Сравнение временных затрат на получение приближенных решений при использовании различных квадратурных формул (см. данные табл. 5 и 6) показывает, что можно обеспечить требуемую точность искомого решения за меньшее время ЭВМ, если применять квадратур ные формулы с минимально необходимым числом узлов, но на более мелких сетках. Однако это возможно лишь при условии достаточного объема оперативной памяти ЭВМ.
7 8—1728 |
97 |
н |
«•(**) |
|
Н |
|
|
|
|
||
|
|
h = 0,25 |
h а 0,125 |
h = 0,0625 |
0 |
— 1 |
—0,99990220 |
— 1,00002260 |
—0,99978870 \ |
0,25 |
—0,71597458 |
-0,71587449 |
—0,71602041 |
—0,71566348 |
0,5 |
—0,35127873 |
—0,35118390 |
—0,35137074 |
—0,36075443 |
0,75 |
0,11700002 |
0,11707040 |
0,11689623 |
0,11769728 |
Примечание . |
При h = 0,25 значение / = 2 мин 5 с, Н = 25,2; при h = |
0,125 значение t * |
||
■» 4 мин 5 с, // =* 74,7; |
при h = 0,0625 значение Н = 475, 7. |
|
|
Обратим внимание еще и на вычисленные значения числа обуслов ленности Я <№ системы уравнений МКЭ (см. табл. 6). Теоретические
оценки гарантируют Я (Л/) — О полученные значения H (N) хорошо
согласуются с этой оценкой. Действительно, Я <8)/Я <4) « 4, Я (1б)/Я (8) «
«4,2.
Таким образом, все приведенные численные результаты убедитель но иллюстрируют изложенные выше теоретические исследования.
Рассмотрим еще решение того же модельного примера с использо
ванием кусочно-квадратичных |
полиномов, т. е. элемента вида «/2 — 3», |
|
на разных сетках. Численные |
результаты при разрядности 8 ЭВМ |
|
МИР-2 и при П\ — 2 представлены в табл. 7. |
|
|
Нетрудно видеть, что приближенное решение, |
полученное на сет |
|
ке h = 0,25 посредством элемента вида «12— 3», |
пг = 2, несколько |
точнее, чем для линейных полиномов даже при h = 0,0625 и пг = 4. При этом в случае использования квадратичных полиномов потребо валось 2 мин 5 с машинного времени, а в случае линейных — 5 мин 40 с. Однако, как свидетельствуют результаты табл. 7, дальнейшее измельчение сетки при сохранении разрядности R = 8 не ведет к повы шению точности получаемого решения: здесь суммарные ошибки ок ругления при построении системы МКЭ и ее решении превышают (пе рекрывают) погрешность метода конечных элементов. Для повышения точности получаемого решения надо все вычисления выполнять с боль шей разрядностью. К аналогичным выводам приходим, рассматривая и результаты решения задачи посредством элемента вида «/3—2 » на различных сетках.
11.4. Базисные функции метода конечных элементов
Как показано в предшествующих параграфах, реализация варианта МКЭ, основанного на процессе Ритца, не требует непосредственного построения базисных функций {q>f (*)). Однако при других вариан тах МКЭ, в частности используемых для решения несамосопряженных задач, знание базисных функций оказывается необходимым. В связи
с этим рассмотрим сейчас построение некоторых видов базисных функ ций и установим их связь с допустимыми функциями, используемыми в предыдущих параграфах при описании варианта метода Ритца.
1.Кусочно-линейные базисные функции. Предположим, что иско
мое решение некоторой краевой задачи принадлежит пространству
(0 , /)» т. е. является непрерывной функцией на интервале (О, /) и имеет суммируемые с квадратом первые производные. Пусть при
ближенное решение |
(х) этой задачи представлено в |
виде |
|
|
Vs (X) = |
£( с ,ф " ( х ), |
(11.93) |
где {ф^} — система |
выбранных |
базисных функций, |
cL— искомые |
числовые коэффициенты. Чтобы |
функция г/1 (х) £ W\ (0, /), доста |
точно построить систему базисных функций (ф^ (х)} следующим об разом.
Разобьем отрезок [0, /] определения искомого решения на N эле ментарных отрезков [xi-u х(], i — 1 ч- N, х0 = 0 , XN = I. Определим базисную функцию ф^ (х) на всем отрезке [О, Л как кусочно-линейный полином, удовлетворяющий следующим условиям:
(Х() = 1 , |
Ф/^ (Xi. i) = ф^ ( ^ + 0 = О, |
ф* (х) = 0, |
х£ \х0, xi-.И (J [х<+1, /]. |
Очевидно, что ф^ (х) на элементарных отрезках [х<_ь х,1 и [х(, Xj+il представляет собой отрезки линейных интерполяционных поли номов Лагранжа, построенных по заданным значениям, т. е.
X -*l- 1 |
x£lxt-h х,], |
|
|
|
hi |
|
|
||
|
|
|
|
|
ф" (*) = |
х |
^ х /^.1 ], |
— хс Х{—1, i — 1» 2 , ...,(V |
1 . |
|
||||
|
|
|
|
(11.94) |
Вне отрезка [x<_i, xl+J |
|
базисная функция ф" (х) тождественно равна |
||
нулю. Этот отрезок для |
функции ф * |
(х ) иногда называют носителем, |
он состоит из двух элементов с общим узлом в точке х(. Заметим, что
Очевидно, что построенные базисные функции ф* (х) (рис. 19) не прерывны на [О, I] и имеют разрывные первые производные, интегри-
руемые с квадратом. Иными словами, использование их обеспечит для
п
приближенного решения vN(х) = £ с,фЛ (х) принадлежность простран
ству W\ (0 , [).
Построенная система базисных функций обладает свойством, ко
торое можно считать аналогом свойства |
полноты. |
Эта система полна |
в том смысле, что любую непрерывную |
на 10, /] |
кусочно-линейную |
7* |
99 |
|
функцию f (х) можно представить в |
||||||
|
виде линейной комбинации |
данных |
|||||
|
базисных функций: |
|
|
||||
|
/ (х) = |
2 |
/ |
(х)> 0 |
х ^ |
I, |
|
|
|
f, = |
(= 0 |
|
|
|
|
|
где |
/ |
(Xi). |
|
|
|
|
|
|
Данную систему базисных функ |
|||||
|
ций можно назвать квазиортого- |
||||||
|
нальной, так как |
в L2(0 , 0 функ |
|||||
|
ция Ф? (х) |
будет |
ортогональна |
ко |
|||
Рис19. |
всем ф* |
(х), для которых |k — i \> |
|||||
|
> |
1 . |
|
|
|
|
|
В силу построения базисных функций (11.94) числовые коэффи
циенты ct в разложении приближенного |
решения (11.93) совпадают |
||||
со значением этого решения в узловой точке х = |
хь поэтому можно |
||||
записать |
|
|
|
|
|
v (х) = vN(л:) = 2 |
(х), |
х 6 [0 , |
/], |
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
где Vi = vN fa). |
|
|
|
|
|
Е сли теперь вернуться к варианту МКЭ, |
основанному на процес |
||||
се Ритца, то кусочно-линейную |
допустимую |
функцию на |
элементе |
||
[x(-i, Х/1 можно представить в виде |
|
Ч—1 |
|
|
|
vN(х) = V t-\ \ |
х + vr |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
vN (х) = Ц/_1ф^_1 (х) + |
цгф" (х), |
X € [ Х { -1, xt]. |
(11.95) |
Действительно, на основании соглашения об определении допусти
мой кусочно-линейной функции vN = |
рх + |
$2х на элементарном отрез |
|||||||||
ке h i-и х(] через ее значения в узлах vt = |
vN(х£) имеем |
|
|||||||||
откуда следует |
Vi—i — |
Pi + $2X i— U |
v t = Pi + $2X l* |
|
|||||||
|
P = |
|
[Pi> P2] |
= |
|
co„ |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C0 t. = |
r |
iT |
0—I |
= |
i f |
Xl |
Xl~l] |
|||
|
[ V t - u |
v{] |
, |
S i |
— |
I |
J |
! |
I. |
||
Поэтому |
можно |
записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ол'(х ) |
= |
р1 + р 2л: = |
[р1) р2] | |
|
|
||||
|
Т |
*,_1 — х ~ |
|
|
|
|
|
|
|||
Г о —Г |
т ht |
|
= |
[0 ,-1 , u j |
ф^ -1 (x ) |
> |
х ^ [Х(—1, хЦt |
||||
= an Si |
= СО; |
|
|
|
|||||||
|
X |
* — *t-1 |
|
|
|
|
. ф "(х) . |
|
hl
что подтверждает представление (11.95).