книги / Основы метода конечных элементов
..pdf
|
|
|
|
|
h = 0,25 |
|
h = 0,125 |
|
h = 0,0625 |
|
|||
|
|
|
UT |
|
и" |
e <%) |
|
UN |
e <%) |
и" |
|
6 (%> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0,125 |
—0,0583 (3) |
—0,1092 |
1,88 |
—0,05856 |
0,39 |
—0,05839 |
0,09 |
|||||
|
0,25 |
—0,107142857 |
—0,1076 |
0,45 |
—0,10726 |
0,11 |
|||||||
|
0,375 |
—0,14423077 |
—0,1711 |
2,64 |
—0,1450 |
0,54 |
—0,144420 0,13 |
||||||
|
0,5 |
—0,166 (6) |
—0,1677 |
0,63 |
—0,16692 |
0,16 |
|||||||
|
0,625 |
— 0,1704 (45) |
—0,1557 |
3,81 |
—0,1717 |
0,74 |
—0,17077 |
0,18 |
|||||
|
0,75 |
—0,15 |
|
—0,1513 |
0,89 |
—0,15033 |
0,22 |
||||||
|
0,875 |
—0,0972 (2) |
|
|
—0,09827 |
1,79 |
—0,09748 |
0,26 |
|||||
|
П р и м е ч а н и е . |
При Л= |
0,25 значение ы° = |
[—0,075, —0,15, —0,225]^, |
количество |
выпол |
|||||||
ненных итераций s = 4, |
время (процессорное) решения алгебраической системы / = |
1,09 |
с; |
при |
|||||||||
h = |
0 .1 2 5 з н а ч е н и е |
а 0 = |
[ — 0 ,0 3 7 5 , — 0 ,0 7 5 , |
— 0 ,1 1 2 5 , |
— 0 ,1 5 , |
— 0 ,1 8 7 5 , — 0 ,2 2 5 , — О .г б г б ] 7', |
s = |
5 , |
/ = |
||||
= |
1,81 с ; п р и |
Л = |
0 ,0 6 2 5 |
з н а ч е н и е |
ы ° = [ — 0 ,0 1 8 7 5 , — 0 ,0 3 7 5 , |
— 0 ,0 5 6 2 5 , |
— 0 ,0 7 5 , |
— 0 ,0 9 3 7 5 , |
— 0 ,1 1 2 5 , |
— 0 ,1 3 1 2 5 , — 0 ,1 5 , — 0 ,1 6 8 7 , |
— 0 ,1 8 7 5 , — 0 ,2 0 6 2 , |
— 0 ,2 2 5 , — 0 ,2 4 3 7 , — 0 ,2 6 2 5 , — 0 .2 8 0 7 ]7’ , |
s = 5 , |
/ = 4 ,7 3 |
с . |
|||||
где и = [иъ и2, |
UN-\]T — вектор решения системы (V.25), k — но |
|||||||||
мер итерации квазиньютоновского |
процесса, |
|\\е — евклидова |
норма. |
|||||||
Полученные |
результаты |
для |
разных |
значений |
приведены |
в |
||||
табл. 14. В качестве начального приближения |
к решению здесь везде |
|||||||||
выбирался нулевой вектор и0 = [0, 0, |
..., 0]г, |
итерационный |
процесс |
|||||||
оканчивался при |
е = 5 |
10~5 |
и е2 = |
Ю""5. В |
табл. 14 (и последую |
|||||
щих) используются такие |
обозначения: ит{xt) — значения |
точного |
решения краевой задачи в узловых точках; uN= [иъ и2, ..., иы-\\т—
значения вычисленного МКЭ |
приближенного решения |
задачи, |
т. е. |
|||||
щ = uN (Xi)\ 6 (%) = |
I Ur (Xi) — |
(Xi) I |
100 % — относительная |
no- |
||||
-------j— |
— j------- |
|||||||
|
|
I UT \Xi) I |
|
|
|
|
||
грешность приближенного решения |
и0 = |
[«?, и°, . . . , |
u$_i]r — зна |
|||||
чения неизвестных для вычисления М0. |
|
|
|
|||||
Пример 2. Найти приближенное решение краевой задачи |
|
|||||||
— | - ( “ |
- г г + / < ч - з г ) |
+ 2 ( - ё - ) ! + 3‘ - а г + |
‘:г = 0’ |
|
||||
/ (л:) = |
+ 1, |
с = е — 1, |
0 < х < 1 , |
(V.26) |
||||
|
|
и(0) г= и (1) = 0, |
|
(V.27) |
||||
единственное точное |
решение |
которой |
есть |
и (х) = е* — / (л:). |
|
|||
В а р и а н т |
1. Для получения приближенного решения исполь |
зовались кусочно-линейные базисные функции (V.23), интегралы вы числялись точно. В этом случае на равномерной сетке соответствую
щая система |
нелинейных |
алгебраических |
уравнений |
имела вид |
|
|||||
1 |
2 |
2 |
|
, 3 |
^ |
2 |
2 |
, 1 - |
2 |
|
2 h |
|
h |
Ui—xlli - f - |
Ui |
^ |
UiUi+1 - f - |
Ui+1 |
|
||
ch (i -1- 1) + 1 |
|
j |
2 (chi + |
1) |
|
ch (i — 1) + |
1 , u2 |
^ |
||
-----------------------------1 |
-------------------- |
1 H |
-------------------------------- |
|
jt--------------- |
|
Щ ------------------------------- |
JJ------------------------- |
1- C /l = |
( J, |
i = 1, 2, . . . , N - 1, u0 = uN= 0, h = |
(V.28) |
Решалась система (V.28) квазиньютоновским методом. Получен ные результаты представлены в табл. 15 для разных значений h. Обоз
начения в табл. |
15 такие же, как и в табл. 14; итерации прекращались |
|
при е = 5 10 |
5, |
гг = 10~5 |
В а р и а н т |
2. |
Приближенное решение задачи (V.26), (V.27) оп |
ределялось с использованием в качестве базисных функций МКЭ ку сочно-кубических полиномов Эрмита:
(* — */ |
i)2 |
/ Л Х;-- * |
\ |
|
||||
----- 7Г -------(2 |
h--------^ 1 ) ’ |
Х‘~' ^ Х^ |
||||||
<р? (х) = |
|
- |
( |
2 |
X_ X |
|
х(+и |
|
(Х^ |
h |
1 + |
1), |
|||||
|
|
*5+1 |
|
—i] (J |
\Xi-^-\, 1], |
|
||
|
|
X ^ Ю» |
(V.29) |
|||||
|
{ |
(х — х.) (х — x i—\)2 |
|
|||||
|
|
|
||||||
|
I |
|
|
а2 |
|
, |
X i- |
1 |
|
| |
|
"Ч |
|
|
|
|
|
^ ( * ) = |
{ |
( х |
- х |
с) ( х |
- х |
{+1) 2 |
|
+ |
|
I |
|
|
О |
|
» |
|
|
|
I |
0, |
|
4+1 |
|
|
1], |
|
|
* £ [0 , |
х{- 1] и [*ч-ь |
||||||
т. е. использовался |
элемент вида «/3— 2». |
|
|
Расчет выполнялся на сетке с равномерным шагом ht = h = 1/Nдля N = 2, 4, 8. При построении системы нелинейных алгебраических урав нений интегралы вычислялись точно. Вид системы не приводится вследствие громоздкости. Системы решались квазиньютоновским ме
тодом, итерации прекращались при е = 5 |
10 |
5, ех = |
10“ 5 |
Полу |
ченные результаты представлены в табл. 16, |
17. |
Заметим, что |
здесь |
|
значения ит(х{) не выписаны, так как они имеются в табл. |
15. Табл. 16 |
содержит значения производной точного решения ит(х{) задачи (V.26), (V.27) и значения приближенного решения uN(хс) и его производной (uNY \х=хг полученные при h равном 0,5 и 0,25. В обоих случаях ис пользовалось нулевое начальное приближение к решению системы ал
гебраических уравнений, а соответствующие значения вектора и0 ука заны в примечании к таблице. Результаты, полученные на сетке с ша гом h = 0,125 при двух разных начальных приближениях и°, даны в табл. 17; матрица Якоби здесь вычислялась при одном и том же зна
чении и0 (см. примечание к табл. 17).
В а р и а н т 3. Приближенное решение задачи (V.26), (V.27) вы числялось с использованием кусочно-кубических базисных функций (V.29), но интегралы при построении системы нелинейных алгебраи ческих уравнений вычислялись по квадратурным формулам Гаусса с тремя квадратурными узлами. Вид полученной системы не приводит ся вследствие громоздкости. Сетка всюду равномерная. Система, как и прежде, решалась квазиньютоновским методом, всюду итерацион
ный |
процесс оканчивался при е = |
5 10“ 5, г1 = 10~~5 |
Получен |
ные |
результаты представлены в табл. |
18, где используются |
прежние |
|
|
h= 0,25 |
|
h = |
0,125 |
/1 = |
0,0623 |
*1 |
ит(Х$ |
и" |
в (%> |
аN |
б (%> |
и" |
б(%) |
|
|||||||
|
|
||||||
0,125 |
—0,081636775 |
—0,1495 |
2,7 |
—0,0821 |
0,6 |
—0,0817 |
,0,15 |
0,25 |
—0,1455450404 |
—0,1465 |
0,7 |
—0,1457 |
0,17 |
||
0,375 |
—0,1893642710 |
—0,2173 |
3,3 |
—0,1907 |
0,7 |
—0,1896 |
0,18 |
0,5 |
—0,210419643 |
—0,2120 |
0,9 |
—0,2108 |
«0,19 |
||
0,625 |
—0,205680185 |
—0,1784 |
4,0 |
— 0,2074 |
0,8 |
—0,2061 |
0,2 |
0,750 |
—0,171711354 |
—0,1732 |
0,9 |
—0,1721 |
0,23 |
||
0,875 |
—0,10462130 |
— |
—- |
—0,1056 |
0,9 |
-0 ,1 0 48 |
0,25 |
Примечание . При Л = 0,25 значение и0= [—0,1, —0,2, —0,1]^, количество выполненных |
итераций s = 7; |
при = |
0,125 значение |
ы° = |
[—0,1, |
|||||
—0,1, —0,2, —0,2, —0,2, —0,1, —0,1]Г, s = |
8; при h = 0,0625 значение ц° = |
[—0,1, —0,1, —0,1, |
—0,1, —0,2, —0,2, —0,2, —0,2, —0,2, —0,2, —0,2, —0,2, |
—0,1, |
||||||
—0,1, -0.1]7’- s = |
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
16 |
|
|
|
|
h=_ 0,5 |
|
|
Ь.= 0,25 |
|
|
||
|
ит |
и" |
ь (%) |
(U n Y |
б <%) |
и" |
в (%) |
Ш»У |
б (%) |
|
|
|
|||||||||
0 |
—0,718281828 |
|
|
—0,7156 |
0,37 |
—0,1455 |
0,0046 |
—0,7180 |
0,033 |
|
0,25 |
— 0,434256442 |
— |
— |
— |
— |
—0,4341 |
0,029 |
|||
0,5 |
— 0,069560558 |
—0,2103 |
0,051 |
—0,0684 |
1,55 |
—0,2104 |
0,0043 |
—0,0694 |
0,160 |
|
0,75 |
0,398718188 |
— |
— |
— |
— |
—0,1717 |
0,0053 |
0,3987 |
0,011 |
|
1 |
1 |
— |
— |
0,9977 |
0,23 |
— |
— |
0,9996 |
0,037 |
о* |
Примечание . |
При h = 0,5 значение ц° = [—0,8, —0,2, —0,06, 1,0]^, количество выпЪлненных |
итераций s = 5, время (процессорное) решения |
LO |
системы t = 1,92 с; при |
h = 0,25 значение = [—0,8, —0,15, —0,43, —0,2, —0,06, —0,15, 0,31, 1,0]7’, 5 = |
5, / * 3,28 с. |
|
|
с |
II о р |
о |
|
|
ип= |
и0 |
|
|
и* |
в (%> |
|
,uNy |
е<%) |
и " |
м % ) |
{uNr |
б(% ) |
0 |
_ |
_ |
|
— 0,7182509 |
0,0043 |
_ |
_ |
— 0,7182535 |
0,0039 |
0,25 |
— 0,1455439 |
0 ,7 - 10—3 |
— 0,4342473 |
0,0021 |
— 0,145544578 |
0,3- ю ~ 3 |
— 0,4342492 |
0,0016 |
|
0,5 |
— 0,21041806 |
0,7 ■10—3 |
— 0,06955238 |
0,0118 |
— 0,2104191272 |
0 ,3 - 10~3 |
— 0,06955277 |
0,0112 |
|
0,75 |
— 0,1717098 |
0 ,8 - J0- 3 |
0,3987241 |
0,0015 |
— 0,1717107748 |
0,3-1 о- 3 |
0,3987264 |
0,0026 |
|
1 |
— |
— |
|
0,9999412 |
0,0059 |
— |
— |
0,99994626 |
0,0054 |
Приме ч а ние . В обоих случаях и0= |
[—0,8, —0,1, —0,615, —0,15, —0,43, |
—0,2, —0,245, —0,2, —0,06, —0,2, 0,125, —0,15, 0,31, —0,1, 0,495, 1,0]^; при |
ы° = 0 количество выполненных итераций s = |
5, время (процессорное) решения |
системы t = 9,25 с.; при ц° = ц° s = 9, / = 11,89 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
18 |
|
|
h ==0,5 |
|
|
|
h = |
0,25 |
|
|
/1 = |
0,125 |
|
|
|
и » |
б<% |
Ш»У |
6 (%) |
и " |
|
б <%> |
(uNY |
б <%) |
и " |
в <%) |
(«"г |
б <%) |
0 |
|
|
— 0,717340 |
0,13 |
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
— 0,7203975 |
0,29 |
|
|
— 0,719692 |
0,19 |
|||
0,25 |
— |
— |
— |
— |
— 0,145610 |
0,04 |
— 0,434392 |
0,03 |
— 0,145571 |
0,018 |
— 0,434435 |
0,04 |
|
0,5 |
— 0,210477 |
0,028 |
— 0,066277 |
4,72 |
— 0,210490 |
0,03 |
— 0,069185 |
0,53 |
— 0,210450 |
0,01 |
— 0,0694731 |
0,12 |
|
0,75 |
— |
— |
— |
— |
— 0,171761 |
0,02 |
0,399322 |
0,15 |
— 0,171734 |
0,01 |
0,398913 |
0,048 |
|
1 |
— |
— |
— 1,002847 |
0,28 |
— |
|
— |
1,001594 |
0,15 |
— |
— |
1,000853 |
0,08 |
П р /fAfe ч а й к е. Для каждого Л соответствующее значение и0 такое же, как в табл. 16, 17, при Л = |
0,5 количество выполненных итераций s = |
||||||||||||
« ь ъ р ю д а , фюшжмя. ед&тош, i — \,Ъ\ г*, при К = |
Ъ,ЧЬ s = |
Ь, 1 = . |
с.; при Ь = |
0,125 s = О, t = 7 ,5 3 с. |
|
|
|
|
обозначения. Заметим, что в данном варианте в качестве М0всюду бралась матрица Якоби, вычисленная в точке начального приближения к ре-
V.2. Решение нелинейных вариационных задач
Как известно, исследование многих научно-технических проблем сво дится к решению вариационных задач о минимизации заданного функ ционала. В настоящее время широко известны численные методы, позволяющие находить приближенные решения таких задач, минуя пе реход к дифференциальным уравнениям. Таким, в частности, являет ся метод Ритца. Основываясь на этом методе и используя базисные функции МКЭ, можно в ряде случаев эффективно находить решения достаточно широкого класса нелинейных задач.
1. О существовании решения вариационной задачи. Попытаемся рассмотреть особенности применения МКЭ к решению нелинейных ва риационных задач на примере задачи об отыскании функции и (х), до ставляющей наименьшее значение простейшему функционалу
(V.30)
на множестве 9Л, состоящем из всех функций, на которых функци онал F (и) конечен и которые удовлетворяют условию
и(0) = и(1) = 0. |
(V.31) |
Эта задача, как известно, тесно связана с задачей решения уравнения Эйлера
(V.32)
при граничных условиях (V.31) и с задачей отыскания стационарных точек рассматриваемого функционала, т. е. отыскания таких функций и (х), на которых первая вариация бF (и, rj) функционала (V.30), (V.31) обращается в нуль при всех допустимых вариациях т] (х):
(V.33)
о
Отметим, что (V.33) является интегральным тождеством, опреде ляющим обобщенные решения уравнения (V.32) (см. п.1 параграфа V.1), т. е. стационарные точки функционала F (и) являются обобщен ными решениями краевой задачи (V.32), (V.31) из соответствующего функционального пространства.
В простейшем случае, когда функция f (х, и, р) достаточно гладкая по переменным и, р и в области ее задания выполняется условие
(V.34)
при любых вещественных параметрах £, т), не равных одновременно нулю, то все три упомянутые задачи эквивалентны друг другу. Един ственное общее решение и (л;) этих задач реализует абсолютный мини мум функционала (V.30), (V.31) [56].
При невыполнении условия (V.34) нельзя гарантировать эквива лентность задачи об отыскании наименьшего значения функционала (V.30), (V.31) и краевой задачи (V.31), (V.32).
Действительно, пусть
Г<«> - |
i( -S - — b f (-З Г + |
т ) ' * . |
« СО) - « 0 ) = 0. |
|
|
о |
|
|
|
Соответствующее уравнение Эйлера |
|
|
||
имеет единственное решение м0 (л:) = |
0, удовлетворяющее краевым у с |
|||
ловиям и (0) = |
и (1) = |
0. |
|
|
Однако F (и0) = |
, а непрерывная функция |
|||
|
|
|
при х£ [0, -| -J, |
|
|
|
х) |
при |
[-§- . l ] » |
принадлежащая области определения 9Л рассматриваемого функцио нала F, доставляет ему наименьшее значение: F (их) = 0. Более того, для функции
4 х » |
4 j » |
и2 (х) = |
|
тоже имеем F (и2) = 0. |
|
Нетрудно убедиться, что неравенство (V.34) в данном случае не вы
полняется, так как -jp - (х, и, р)= |
2 [§рг+ |
З р ----g-j и при р = 0 име- |
||
д2/ |
/ |
д21 |
d2f |
здесь тождественно равны |
ем *djj2"< 0 |
(производные |
|
и |
нулю|.
Итак, рассмотрим вопрос о существовании решения вариационной задачи типа (V.30), (V.31) без перехода к дифференциальному уравне нию. При этом возможны различные подходы, но всюду будем предпо лагать, что функционал F (и) определен в рефлексивном банаховом пространстве 53, а области определения функционала и его градиента А, т. е. D (F) и D (Л), всегда линейны и плотны в S3. В ряде случаев
ответ на вопрос о существовании решения задачи может дать следую
щая теорема.
Теорема V.4. Пусть функционал F (и), определенный на некото ром рефлексивном банаховом пространстве, возрастающий, существен но выпуклый и слабо полунепрерывный снизу. Тогда этот функционал ограничен снизу и его нижняя грань достигается в единственной точке и01 к которой слабо сходится любая минимизирующая последователь ность.
Для многих задач, в частности задач теории пластичности, эффек тивным может оказаться подход к постановке и решению вариацион
ных задач, основанный на следующей теореме.
Теорема V.5. Пусть функционал F (и) непрерывен и его градиент А = grad F имеет при любом элементе и £ D (А) с= D (F) производную
Аи, равномерно пололсительно ограниченную снизу, т. е.
(Auz, z) > Y2 I2 II»> У —const > 0 , z£D(Au). |
(V.35) |
Тогда любая минимизирующая последовательность для функцио нала F (и) сходится в метрике пространства S3 к некоторому пределу, не зависящему от выбора минимизирующей последовательности.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Согласно |
теореме |
1.2 |
функционал |
||||
F (и) — существенно выпуклый на D (F). |
Положим |
|
|
|||||
р (и, V) = | > |
(и) + F(v)~ 2 |
F |
• |
(V.36) |
||||
Как показано в [64], при и, v £ D (А) справедливо соотношение |
|
|||||||
р(ы, v) = |
и |
|
4 - ■ - § - > “ * |
V, |
|
|
||
< 4 |
|
|
|
|||||
|
.о |
о N |
|
|
' |
|
|
|
где г = и — v, | = ы + (^ + |
т) -5-» |
а |
вследствие (V.35) — и неравен |
|||||
ство |
|
|
|
|
|
|
|
|
р(и, |
|
— и||<в, |
и, v£DA. |
(V.37) |
||||
Нетрудно убедиться, что соотношение |
|
|
|
|
||||
р(ы, о)Ж ||ы — »||», |
К = const > |
0, |
(V.38) |
|||||
справедливо при любых и, |
v £ D (F). |
|
|
|
|
|
||
Действительно, пусть |
и Ф v — произвольные элементы из D (F) |
|||||||
и I и — оЦзз = а. Положим е = |
|
а 2. Так как |
F непрерывен, |
то |
||||
для любого е можно выбрать такое |
60 > |
0 , что |
при |и — и |< |
80, |
||||
|о — v I <С б0 будут справедливы |
неравенства |
|
|
|
||||
F(u)>F (и) — е, |
F (v) > |
F (v) — е, |
|
|
||||
f ( l + L ) < f ( j i + i L ) + e> |
|
|
|
а следовательно, и неравенство
р2 (и, v)==F(u) + F (v) — 2F ( “ ^ t>-) ^ Р2 («> v) — 4е. (V.39)
Поскольку области D (А) с= D (F) плотны в 33, любой элемент из D(F) можно сколь угодно близко аппроксимировать элементами из D (А). Поэтому можно предполагать, что в (V.39) элементы и, v £ D (Л). А так как при любом б ^ 60 все написанные выше соотношения оста
ются |
в силе, |
то можно |
взять б ^ |
1|и — v ||©= -у- и |и — и ||©< |
|||||
< |
I и — v ||©< |
-тр |
При этом получим |
|
|||||
а = |
||и — 1»||в<||и — «И© + |
||и — о||в - f Цо — о | »< | и — |
-| -а , |
||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
|
I, ^ |
« |
11“ — t'H© |
(V.40) |
|
|
|
|
||« — у |
||©>— = |
------ з-------. |
||||
Неравенства |
(V.37), |
(V.40) |
и |
условие |
е = -щ-1| и — v ||© позволяют |
||||
представить |
(V.39) |
в виде |
|
|
|
|
|
||
|
|
р2(ы, о )> ^ -| | ы — о||в, |
Vu,v£D(F), |
|
т. е. убедиться в справедливости соотношения (V.38) для любых эле ментов из D (F).
Пусть {«„} — минимизирующая последовательность для функцио
нала F (и), |
так |
что |
F (ип) -*■ d. = |
inf |
F (и). |
|
|
|
||||
Полагая в формуле (V.36) |
и = |
u€D(F) |
|
ит, имеем |
|
|
||||||
и„, v = |
|
|
||||||||||
|
Р (и„, ит) = |
(ип) + |
F (ит) — 2F ( Un + |
“'n.jj1/a. |
|
|||||||
Поскольку |
F {■Uni |
Um) |
inf |
F (и) = |
d, при достаточно больших |
|||||||
значениях |
V |
г |
I |
u(LD(F) |
|
|
|
d + |
е для |
произ |
||
т , п (когда F (ип) < |
d + е и F (ит) < |
|||||||||||
вольно заданной |
положительной |
величины |
е), получим |
р (ипу |
ит) < |
|||||||
< \/^2г и, |
следовательно, |
р (иП9 ит) = |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Ит |
0. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
т,п-+оо |
|
|
|
|
|
|
|
Согласно (V.38) можно утверждать, что и |ип— ит||©->0 при т , п оо, т. е. минимизирующая последовательность сходится в метрике
пространства 33 к некоторому элементу и0.
Этот элемент не зависит от выбора минимизирующей последова тельности. Если \ип), \vn} — две разные последовательности, то и19 vu и2, v2i ..., иПУvni ...— тоже минимизирующая последовательность и имеет согласно доказанному предел. Но тогда ее подпоследователь ности {ип\и {vn\имеют один и тот же предел. Теорема V.5 доказана.
Общий предел и0 минимизирующих последовательностей будем на зывать обобщенным решением задачи о минимуме функционала F {и).
Если uQ£ D (F) (например, |
при D (F) = S3), |
то min F (u) = |
F (u0) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u£D(F) |
|
и w0 является классическим решением вариационной задачи. |
|
|||||||||||
Отметим, что при выполнении условия (V.35) задача об отыскании |
||||||||||||
минимума функционала |
(см. п.1 параграфа |
|
|
I. |
2) |
|
||||||
|
|
|
F (и) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j* (A (tu), и) dt + |
|
const, |
(V.41) |
||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
определенного |
на D (F) = D (Л), и задача |
|
|
о |
решении операторного |
|||||||
уравнения Аи = 0 эквивалентны. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Упомянем еще один подход [56] к решению задачи о существовании |
||||||||||||
функции |
и (х), |
реализующей |
минимум |
функционала |
|
|||||||
|
|
|
F(u) = |
^f X, и, |
du \ |
dx, |
|
|
||||
|
|
|
чг) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и(0) = и( 1) = 0. |
|
|
|
|
|
|||
В качестве |
области |
определения данного |
функционала примем |
|||||||||
пространство |
33 = W\ (й), |
£2 = (0, 1). |
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема |
V.6. Пусть функция f (х, и, р) непрерывна вместе со сво |
|||||||||||
ими производными |
|
и удовлетворяет неравенству f (х, и, рг) — |
||||||||||
— / (*, |
и, Р2) — (Pi — Р2) |
|
и, р2) > |
0 |
при любых х £ [0, |
1], иу |
||||||
/?i, р2. Пусть, кроме того, |
|
|
|
|
|
|
|
(V.42) |
||||
|
|
|
|/ U, и, /?) К |
|г (| и I) [| Р Г + |
^ 1 (*)Ь |
где р (т) — неубывающая непрерывная положительная функция т ^ 0,
W € Ll, |
(*) € |
r' = |
, |
Ы |
|
F (u) = j f |
u, |
dx > |
ф (II иflej) — с, c = |
const, |
|
|
|
при V и (x)£ W\ (fi), |
|
||
где ф (т) — непрерывная функция, стремящаяся к оо |
при т -> оо. |
||||
|
|
|
|
о . |
Тогда существует хотя бы одна функция и (х) £ Wr (Q), доставля ющая функционалу F (и) значение, не превосходящее значение F (и) на
любой другой функции из W\ (£2).
Доказательство этой теоремы, подробно изложенное в [56], также основано на исследовании сходимости минимизирующей последова тельности для функционала F (и).
Утверждение теоремы V.6 остается в силе, если условие (V.42) за менить требованием
f [х, и, р) > О
и предположением, что существует по |
крайней мере |
одна функция |
||
о |
которой F (и) < оо. |
|
|
|
и (х ) £ W r, на |
обеспечивается |
теоремой V.6, |
||
Функции, |
существование которых |
|||
называют обобщенными решениями из класса |
о , |
|
||
Wr вариационной зада |
||||
чи о минимуме функционала (V.30), (V.31). |
гарантирующие единст- |
|||
В монографии [56] приводятся и условия, |
||||
|
о . |
|
|
|
венность обобщенного решения из Wr, реализующего абсолютный ми нимум функционала F (и). Они касаются поведения' функции / (х, и, р) и имеют вид
7 ( М ) 0 + 1р\У~2< ( * . и>р)<И'(|и|)(1 + М У -2,
df |
I |
д21 |
( 1 + | р | ) + |
j>L_ |
+ |
дЧ_ |
<р(|ы |)(1 + |р|)г; |
др |
пт |
дрди |
ди |
ди2 |
кроме того, предполагается, что функция / (.х, и, р) обладает, напри мер, следующим свойством: существует число k > 0 такое, что при х £ (0, 1), и > k справедливы неравенства
|
|
f(x, и, 0 ) > / ( * , 6, 0), |
|
|
f(x,u ,p)> f(x,k, 0), |
если | р [> 0 , |
|
а при |
х £ (0, 1), и < |
—k — неравенства |
|
|
|
f(x, и, 0 ) > / ( * , |
— kf 0), |
|
/ {х, иур) > / {х, — k, 0), |
если I р I > 0. |
|
(Последнее требование можно заменить |
и некоторыми аналогичными, |
||
см. [56].) |
приближенного решения МКЭ. Изложенные в пре |
||
2. |
Построение |
дыдущем пункте результаты показывают, что приближенное решение вариационной задачи в ряде случаев можно получить, построив мини мизирующую для данного функционала последовательность. Член этой сходящейся последовательности с достаточно большим номером — ис комое приближенное решение.
Построение минимизирующей последовательности можно выпол нять посредством процесса Ритца, о чем свидетельствует приведенная
ниже теорема |
V.7 [64]. |
|
Пусть, как и прежде, решается задача о минимуме функционала |
||
F(u) = ^ f ^ x , u , ^ d x , u(0) = ы(1) = 0, |
(V.43) |
|
|
О |
|
■область определения D (F) которого линейна и плотна в сепарабель |
||
ном банаховом пространстве 9$. |
|
|
Предположим, что функционал F (и) — непрерывно |
дифференци |
|
руем на любом конечномерном линеале из области D (F), т. е. выраже |
||
ния F ^ |
для любого N и любых uk £D (F) являются дифферен |