книги / Основы метода конечных элементов
..pdfиными словами, и0(х) удовлетворяет требованиям (11.20), (11.21) или (11.16).
Завершая обсуждение постановок задач, связанных с решением обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, пока жем, как можно определить обобщенное решение независимо от задачи о минимизации функционала энергии. Для этого ограничимся рассмотрением задачи (11.13) — (11.15).
Пусть данная задача имеет решение и(х) £ D (А), т. е. и (х) — не прерывная и дважды кусочно-дифференцируемая функция, удовлетво
ряющая условиям (11.14), (11.15). Умножим скалярно обе части урав-
о
нения (11.13) на произвольную функцию v (х) £ W> (0, I):
- s - ( * - а г ) |
+ |
qu - |
f ) vdx = - 5 i i r ( kJ£ - ) vdx- |
|
i |
|
i |
|
|
- ^ - h - { k - w ) vdx + ^ |
cfu - ^ vdx==- |
k ^ r v AT^-O |
||
+ k - W v Ц |
, |
+ j k-W ЧГ d x + j |
№ - f) vdx = |
Из полученного соотношения видно, что решение и (х) задачи (11.13) — (11.15) удовлетворяет тождеству
i |
|
|
|
I |
|
J ( kч г “i r + |
quv) dx = j* fvdXt v 0£ w*(°> 1)• |
Ш-28) |
|||
О |
|
|
и |
|
|
Вместе с тем если функция и (х) |
удовлетворяет тождеству (11.28) при |
||||
о. |
условию (11.14) и |
достаточное число раз кусочно-диф |
|||
V v £ W2 (0, /), |
|||||
ференцируема, |
то можно |
показать |
(см. (11.24) — (11.24')), |
что и (х) |
|
удовлетворяет |
уравнению |
(11.13) |
и |
условиям (11.15). |
|
Таким образом, оказывается, что нахождение решения краевой задачи (11.13) — (11.15) эквивалентно нахождению функции, удовлет воряющей интегральному тождеству (11.28) и краевому условию
(11.14) |
. Очевидно, что тождество (11.28) имеет смысл для любой функ- |
|
|
о |
и f(x)£ |
ции и (.х) £ W? (0, I) при ограниченных функциях k (*), q (х) |
||
£ L2 (0, |
I): все интегралы, входящие в (11.28), конечны. |
|
Приведенные рассуждения позволяют ввести следующее определе |
||
ние обобщенного решения задачи (11.13) — (11.15). Функция |
и(х) £ |
01
€№2 (0 , /), удовлетворяющая интегральному тождеству (11.28) при про-
0 .
извольной функции v{x) £ W2(0, /), называется обобщенным решением задачи (11.13) — (11.15).
Аналогичное определение обобщенного решения с помощью интег рального тождества можно вводить и для других краевых задач, вы бирая в каждом конкретном случае соответствующее пространство V функций v (х) £ V, на которых рассматривается интегральное тожде ство. Определение обобщенного решения таким способом особенно важно для задач, оператор которых не является положительно опре деленным, а также в случае особенностей в исходных данных задачи.
Нетрудно убедиться, что для краевых задач с положительно опре деленными операторами оба определения обобщенных решений совпа дают (см., например, [83]).
3. Обыкновенные дифференциальные уравнения четвертого поряд ка. К решению дифференциальных уравнений четвертого порядка приводит, например, рассмотрение изгиба непризматических балок, лежащих на упругом основании. Исследование поведения балочных элементов позволяет изучить сколь угодно сложную балочную систему, например простые и сложные рамы, судовые перекрытия, изгиб судо вого корпуса; выполнить расчет общей прочности при спуске судна или постановки его в док и т. д.
Уравнение изгиба балки длины /, лежащей на упругом основании, имеет вид
^ ( £ ^ ( * ) - § г ) — т ТЕГ + q(x)w(x) = f{x), О < Х < 1 .
Здесь w (х) — прогиб балки в сечении с абсциссой х, Е J (х) — пере менная жесткость на изгиб, q (х) — переменная жесткость упругого основания, Т — осевые силы, f (х) — интенсивность нормальной нагрузки.
Если концы балки жестко закреплены, то выполняются краевые условия
о>(0) = w(/) = О, |
dw |
dw |
dx х=< |
Чх *=/ = 0. |
В зависимости от других видов закрепления концов возникают и дру гие краевые условия. Например, если конец х = / свободный, а другой жестко закреплен, то краевые условия имеют вид
|
|
И |
0 ) = 0 , |
dw |
- о , |
d*w |
х=/ |
= 0, |
|
|
|
|
|
Чх |
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
_d_ |
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть в общем случае требуется найти решение уравнения четвер |
|||||||||
того |
порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
чdx~г {р Мv-v/-%dxг ) + ? < * ) « = /(*)» |
0 < д с < / , |
(11.29) |
||||
dx2 |
' v v~ y |
dx* / |
|||||||
удовлетворяющее краевым условиям |
|
|
|
|
|||||
|
|
“ (0 ) = « ( / ) = 0 , |
|
= — |
I |
- О |
(11.30) |
||
|
|
|
|
|
|
dx |
I |
— и* |
|
где k (х)> |
k0> 0 , |
р (х )> 0, <?(*)> 0, |
Д * ) € М 0, /). |
|
Как и в случае уравнения второго порядка, данная краевая задача равносильна задаче о нахождении функции, доставляющей минимум функционалу
F (о) = J [k(х) ( - g - ) I2 + р (х) ( - ^ - ) + qV> - 2 fv dx (11.31)
на множестве функций, имеющих непрерывные производные до четвер того порядка и удовлетворяющих условиям (II.30).
Обобщенное решение задачи (11.29), (11.30) есть функция, миними
зирующая функционал (11.31) в пространстве функций Щ (0, /), т. е. в пространстве функций, имеющих суммируемые с квадратом обобщен ные производные второго порядка и удовлетворяющих условиям (11.30).
11.2. Дискретизация обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
На примере задачи (II. 1), (II.2) рассмотрим применение метода конеч ных элементов для построения системы сеточных уравнений, решение которой обеспечивает соответствующее приближение к искомому ре шению исходной задачи. Так как обобщенное решение задачи (II.1), (II.2) можно найти, минимизируя функционал (см. (11.12))
F(v) = J [fc |
/ |
+ qv*- 2vf] dx + Ро2 (0) + 2glv (0) (11.32) |
0 L |
J |
на множестве функций, имеющих суммируемые с квадратом обобщен ные производные и удовлетворяющих условию
t»(*) = & . |
(П.33) |
то в данном случае целесообразно использовать вариант МКЭ, основан ный на модифицированном процессе Ритца. Для построения конечно элементной сетки разобьем отрезок [0, Л на N элементарных отрезков
U /_i, хХ i = l , 2 , |
N: |
< X N - \ < x N = l. |
|
0 = х0< |
j q < *2< |
(11.34) |
Точки xt будем называть узловыми.
В соответствии с выполненным разбиением необходимо определить конечный набор базисных функций {qpf (*)}, обеспечивающих следую щие свойства допустимых функций:
I
среди которых ищется приближенное решение uN (х):
—функции vN(х) принадлежат множеству, на котором функционал (11.32) достигает минимума;
—полученное приближенное решение uN(х) позволяет удобно вы числять величины, представляющие физический интерес, например пере
мещения, напряжения, моменты и т. п.
В данном конкретном случае достаточно, чтобы функции Vм(х) были непрерывными на [О, Л, обладали интегрируемыми с квадратом производными и удовлетворяли условиям (11.33). Такие допустимые функции будут принадлежать некоторому конечномерному множеству
Р d w\ (0, /)• Иногда целесообразно потребовать большей гладкости vN(х), например непрерывности функции и ее первой производной на [О, Л. При этом соответственно изменяется и вид (свойства) базисных функций.
Так как при использовании метода Ритца важно обеспечить только требуемые свойства допустимых функций, а не конкретный вид бази са, то можно и целесообразно строить непосредственно именно допус тимые функции. Итак, определим на каждом элементарном отрезке {*/_!, x j некоторый полином с неизвестными коэффициентами, подчи нив его надлежащим условиям гладкости в граничных точках отрезков. Такая кусочно-полиномиальная на [О, Л функция будет обладать все ми необходимыми свойствами допустимых функций.
Условимся обозначать множество допустимых кусочно-полиноми
альных функций через РЙ, где п — степень используемых полиномов
h = шах ht, hi = xL— х /_ 1. i
Опишем теперь применение различных кусочно-полиномиальных функций для дискретизации задачи (II. 1), (И .2).
1.Кусочно-линейные полиномы. Пусть приближенное решение
uN(х) задачи (II. 1), (II.2) ищется среди |
функций |
vN (х) £ Р\ с= W\{09 |
I), удовлетворяющих условию (11.33). |
Иными |
словами, пусть до |
пустимые функции vN(х) на каждом элементарном отрезке имеют вид линейного полинома с неизвестными коэффициентами и удовлетворя ют условию (11.33). Чтобы обеспечить однозначность и непрерывность допустимой функции vN(х) на всем отрезке [0, /], определим ее коэф фициенты на каждом элементарном отрезке [x*_i, x j через фиксиро ванные параметры, а именно через значения допустимой функции в узловых точках
Vi- 1 = vN(xC- ,), v, = VN (xt). |
(11.35) |
Элементарный отрезок [x/_i, x j, в узлах которого зафиксированы зна чения допустимой кусочно-линейной функции, будем называть одно мерным линейным элементом и обозначать так: «/ 1—2» (полином пер вой степени, параметры фиксируются в двух узлах). Схематически этот элемент можно изображать в виде v • v, или просто •—•.
Если описанную допустимую функцию vN(х) подставить в функци онал (11.32), то F (vN) окажется квадратичной функцией всех фиксиро
ванных, но неизвестных параметров vit i = |
0 -г- N. Найдя значения |
параметров и? , доставляющие минимум функции F (Vм), получим тем |
|
самым значения искомого приближенного |
решения uN(х) в узлах |
х,: |
|
и? = иы(хд, / = 0 , 1 , |
, t f - 1 ; |
значение uN (XN) уже известно из условия (11.33): uN(XN) = gt.
Изложим некоторый алгоритм вычисления и? , допускающий удоб ную машинную реализацию [158].
Представим функционал (11.32) согласно разбиению (11.34) в виде
|
N |
Х1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = » = £ |
J |
|
+ qv*-2vf]dx + №{Q) + 2glv{Q) |
(11.36) |
||||||
и рассмотрим одно из слагаемых этой суммы |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ft(v) = |
S |
[* (-£ )* + q*-2of\ dx. |
(11.37) |
|||||
|
|
|
|
Xt—1L |
|
|
|
|
|
|
При |
v = |
vNt данный функционал превращается |
в функцию неиз |
|||||||
вестных |
параметров |
Vt—u Vt : Ft (vN) = |
Ft (vi-i, vi). |
Представим эту |
||||||
зависимость |
в явном виде. |
|
|
|
|
|
|
|||
С целью стандартизации всего алгоритма отобразим посредством |
||||||||||
преобразования |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
* =* |
1 + |
hi=*xt — xt- 1, |
|
(11.38) |
||||
элементарный отрезок [xt—u **1на «канонический отрезок» [[0, |
1]. То |
|||||||||
гда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ft (VN) = | [ift ( - f - ) * + |
qr*- |
2/7] dl, |
(11.39) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = - j - |
k(xc- 1 |
+ htl), |
q = |
htq(x,_i + hfe), |
|
|||
|
f = |
htf (xt- 1 |
+ |
A<6), |
r (£) = |
о" (дс<_1 + |
ht\) = |
« 1 + a 2$. |
|
Неизвестные коэффициенты <x< определяются соотношениями (II.35)t
r (0 ) = a 1 = o/_ i, r (l) = 04 + a 2 = v(,
которые в матричном виде можно записать так:
Sa = alt |
(11.40) |
где
> - [ ! я - - и - |
- и |
Таким образом, |
|
а = S |
(11.41) |
где |
|
- - и : |
(11.42) |
а - |
Отметим, что матрица S 1 одинакова для всех элементов [*(, х{- J.
Учитывая вид функции т(6) и соотношение (II.41), представим функционал (11.39) в виде
i t i t 1
Ft = аЦ Ы \ + |
a? J |
qdl + 2ata2 j |~qd\+ |
а\ j |
?~qdl - |
2at j fd.% |
||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2a a [ \fdfc — oJR\o.-f- o,TR^o, — 2 а Tbt = |
cofK\®t |
— 2(tijbt, |
|||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.43) |
-o |
|
0 1 |
|
|
- |
1 |
1 |
” |
|
[Idt |
|
||
|
|
|
|
|
Sqdl |
j Iqdl |
|
|
|||||
R\ = |
|
1 |
, R° = |
0 |
0 |
, |
6,= |
0 |
|
|
|||
0 |
C |
7 |
1 |
1 |
1 |
|
|
||||||
|
j |
kd\ |
|
|
_0\lqdl |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
J |
|
|
0 |
_ |
|
_0 |
|
_ |
||
K{ = S^RlS-1, |
j = |
0 , |
1 ; |
S~T== (S~')T, bt = |
S~r6,, |
i = l ^ i V . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.44) |
Матрицу |
/С/ |
обычно |
называют матрицей |
жесткости |
i-ro |
элемента, |
|||||||
s== М{ — матрицей |
массы элемента, вектор Ь(— вектором |
нагрузки. |
|||||||||||
Матрицы К\ и K°t = |
Mi симметричны и |
в случае постоянных |
коэф |
||||||||||
фициентов |
уравнения |
(II. 1): |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
k(х) — k0 —const, |
q(x) = |
q0 = const, |
|
|
|
|||||
легко вычисляются для каждого элемента: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г ] - |
+ |
|
|
К— Xt — x,_i.
Вслучае переменных k (х), q (х) матрица S- 1 остается постоянной
для всех элементов, R\ и R°t вычисляются посредством квадратурных формул для каждого элемента [х<_ь x j. Аналогично вычисляется век
тор |
bt. |
|
|
|
|
v = vN можно |
|
Согласно (11.37) — (11.43) |
функционал |
(11.36) |
при |
||
записать |
как функцию параметров o' (i = |
0 -г- N): |
|
|||
|
|
F (vN) = Fl (V n) = S |
((OtKtOt - 2cofbt) + |
N + |
2vogl, (11.45) |
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
где |
(of = |
\vt- 1, о,], Кi = K\ + |
K°t. |
|
|
|
Символ F? (vN) здесь (в дальнейшем F„) будет определять значение функционала, полученное на классе допустимых кусочно-полино миальных функций первой (л-й) степени при максимальной длине h элементарных отрезков [xi—\, Xi\:
h — шах h(, ht = xt — x(-i.
Введение общего |
вектора |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
© г = [о0, ох......... VN- 1, o/vl |
|
|
|
||||
позволяет представить выражение (11.45) в виде |
|
|
|||||||
|
|
|
Ft (vN) = |
<aTK«y — 2 сJb, |
|
|
|
||
где симметричная матрица К порядка N + |
1 |
построена из элементар |
|||||||
ных матриц Kt = |
Ki + К° (11.44) с учетом |
слагаемого |
ftoo очевидным |
||||||
образом. |
пусть N = 3 и |
|
|
|
|
|
|||
Действительно, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
'/И? |
а й ! |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
АЙ |
А # Г |
’ |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ l |
(o’ ) = [Оо. О,] |
э с ь - 'Ё |
а и - |
||||||
|
|
|
|||||||
+ |
й |
й |
|
|
|
|
|
|
|
[Ос OJ |
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.* 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
[ й |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 [ОсО, [ 1 |
+ Руо -J- 2o0g,1> |
|
|
|
|||
или |
|
|
^1? + р |
*1К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Pi (у3) = |
[»о, »х. О*. У3] |
^12 |
&22 + ^1? |
|
Ай |
|
Ь(3) |
|
|
|
|
&22 + |
&М |
|
|||||
|
|
|
|
|
«12 |
L-O.J |
|||
|
|
|
|
|
|
Ай |
|
Ь(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
«22 |
|
|
|
|
|
|
b ? - g i |
|
|
|
|
|
|
— 2 |
|
bf + |
b? |
|
|
|
|
|
|
[»„, vu v2, t>8] |
b? |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
b f + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bf |
|
|
|
|
|
Приведенный пример иллюстрирует и |
построение |
вектора Ь на |
элементарных векторов нагрузки bi = [b{, Ь[У
Схематически вид |
ленточной матрицы К показан на рис. |
18 |
||
(заштрихованные части |
изображают |
суммирование соответствующих |
||
элементов матриц К, |
i = |
1 Ч- N). |
|
|
Иногда функцию Ft записывают в виде |
|
|||
Ft (if) = (oTKl(o + |
— 2 (oTb + pOn 4 - 2vng1t |
|
||
где матрицы / Р и / С з М |
формируются, как описано выше, из эле |
|||
ментарных матриц жесткости К\ и матриц масс элементов К, = |
М{ |
|
|
и называются матрицей жесткости и мат |
||||||
I |
|
рицей масс соответственно; |
матрицу К = |
|||||
|
= |
К1 + К0 называют |
глобальной (общей) |
|||||
1 |
|
матрицей жесткости. |
значений параметров |
|||||
|
|
|
Для определения |
|||||
|
|
olt доставляющих минимум функции F? (v ), |
||||||
|
|
ее дифференцируют по всем неизвестным vL, |
||||||
|
|
i = |
0 -т- (N — 1 ), и' полученные |
производ |
||||
|
|
ные приравнивают нулю. (Напомним, что |
||||||
Рис. |
18. |
значение |
параметра |
VN известно |
из краево |
|||
получается |
система |
го условия (11.33): |
Щ/ = g2.) |
В результате |
||||
линейных алгебраических |
уравнений |
iV-ro по |
||||||
рядка |
|
|
Кг = |
Ь, |
|
|
|
(П.46) |
где |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' kn + Р |
ДО |
|
|
|
|
|
|
|
|
ДО + ДО |
|
|
|
|
|
|
|
К = |
|
лй |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k%~2) + |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Д О -“ |
|
Г |
‘Ч |
С |
|
|
ДО- f t |
|
|
1° |
|
|
|
|
ь |
ДО + |
ДО |
|
Г |
|
|
|
|
|
|
, z = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
Ь Г » + |
Ь Г 1) |
|
U |
- . |
|
|
|
ь Г 1) + ь Г - № |
§г_ |
|
|
|
|
Формально переход от общей матрицы К и вектора b к матрице К и вектору b окончательной сеточной системы (11.46) состоял в том, что
последний столбец матрицы К, являющийся столбцом коэффициентов при известном параметре VN = g2, был умножен на g2 и перенесен в правую часть системы (вычтен из вектора Ь)', кроме того, были отбро
шены последняя строка матрицы К и последний элемент Ъ, отвечающие в определенном смысле этому, уже известному, параметру VN.
Систему уравнений (11.46) обычно называют системой уравнений метода конечных элементов. Проиллюстрируем описанную методику
решением следующего |
примера. |
Пример 1 . Найти численное решение задачи |
|
— 5 -((Н - *2)'1£г ) + |
12и = — е*(1 + *)а-Ь 12а*— 24, 0 < * ^ 1 , |
- ^ - ( 0 ) ----- |
^ « ( 0 ) - 4 - . и(1) = е - 2 . |
Данная задача равнозначна задаче отыскания минимума функцио нала
F ( o ) * j ( ( l + х 2) ( - ^ - ) S+ \2 v *-2 (\2 e x - e x(\ + x? - 2 i) v ) dx +
+ ±v*(0) + 3v(0)
на множестве непрерывных функций, имеющих интегрируемые с квад ратом первые производные и удовлетворяющих условию v ( 1 ) = е —
— 2. Для получения приближенного решения область [0, 1] разбива лась на четыре равных отрезка (h = 0,25) и использовался описанный выше элемент «И—2». Построение соответствующей системы МКЭ и решение ее методом квадратных корней осуществлялось на ЭВМ
МИР-2 при разрядности R = 8 . Для вычисления |
коэффициентов си |
||||||||
стемы |
использовались квадратурные формулы |
Гаусса. |
Полученные |
||||||
результаты приведены в табл. |
1 , где приняты следующие обозначения: |
||||||||
и0(.хс) — значение точного решения в точке х = |
xt\и{ — значение |
при |
|||||||
ближенного решения в узле*,. Точное решение задачи — и0(х) = |
<.* — |
||||||||
— 2. |
|
|
|
|
|
|
|
vN(х) £ Р\, |
|
2 . Кусочно-квадратичные |
полиномы. |
Пусть |
теперь |
||||||
где Р\ с= |
W\ (0 , I) множество непрерывных |
кусочно-квадратичных |
|||||||
функций, |
удовлетворяющих |
условию (II.33). Для однозначного |
опре |
||||||
деления |
полинома второй |
степени на |
элементарном отрезке [xi- ь |
||||||
Xi) и обеспечения непрерывности допустимой функции vN(.х) на |
всем |
||||||||
отрезке [0 , Л достаточно зафиксировать |
значение vN (х) |
на lxi-u xi\ |
|||||||
в трех |
узловых |
точках: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V l- 1 |
= VN ( X l - 1), V { - г/я = и* ( X i - v,), Vi = |
vN(x t), |
|
|
где
xi- 1 + xi
Xt-'/ш 2
Описанный элемент обозначим как «/ 2—3» и схематически предста вим в виде Алгоритм получения соответствующей системы уравнений МКЭ
Кг = by
решением которой являются значения искомого приближенного реше ния в узловых точках отрезка [0 , Л
Г N N , N |
„N ЛТ |
г — [UQ, tu/2yti\ , |
••• у UN—VjJ f |
вдесь совершенно такой же, как в предыдущем пункте. При этом
т (5) = + а2^ + ав£2; ос = S !<о*,
|
■ |
1 |
Со 1 |
II |
1 со |
|
1 |
to |
0
4
— 4
0 ‘ 1►—
to1
, с о ,= |
v i - y , |
_ .