книги / Российский журнал биомеханики. 2012, т. 16, 1

А.Н. Бобылев, Ю.В. Болотин, А.В. Воронов, П.А. Кручинин

Ошибка масштаба (1 )содержит также компоненты, связанные с тем, что ось датчика не лежит в плоскости движения вследствие неточности крепежа. Величины, вообще говоря, не постоянны, они меняются, например, в зависимости от температуры. Эти изменения происходят достаточно медленно, и на промежутках времени эксперимента в дальнейшем мы будем ими пренебрегать.

Учтем также эффект рассинхронизации по времени снятия показаний акселерометра и системы видеоанализа. Введем параметр запаздывания регистрации показаний акселерометра s :

f(t s) (1 ) aa(t) gcos( (t)) a .

Витоге выражение, связывающее показания акселерометра и системы видеоанализа, имеет вид

которых неизвестны, и их определение с использованием стандартных способов антропометрических измерений затруднено. В связи с этим, как и ранее в работе [6], необходимо использовать методы идентификации неизвестных параметров.

Будем считать s малым по сравнению с характерным временем совершаемого

X4 x1(t)sin (y1(t) g)cos X5 X6 f (t).

Вуравнении (3) введены обозначения для комбинаций неизвестных параметров

a, , l, , , s :

X1 (1 )lsin( ),

X2 (1 )lcos( ),

X3 (1 )sin ,

X4 (1 )cos ,

X5 a,

X6 s .

Соотношение (3) можно представить уравнением относительно неизвестных компонент вектора X (X1,X2,X3,X4,X5,X6)T . Производные от измеренных величин в этом случае вычисляются по конечноразностным соотношениям. Соотношения вида (3), записанные для всех моментов времени tj ( j 1, ,N0), при которых измеряемые величины не содержат сбоев, образуют переопределенную систему уравнений

О двух модификациях метода наименьших квадратов в задаче восстановления информации видеоанализа

наименьших квадратов [8, 14] и подробно рассмотрена для аналогичной задачи в [6].

Рассмотрим два варианта процедуры восстановления утерянной информации системы видеоанализа. Первый из них использует традиционный подход нерекуррентного метода наименьших квадратов, аналогично работам [6, 7]; второй – процедуру калмановского сглаживания [14].

Использование неитерационного метода наименьших квадратов

А.Н. Бобылев, Ю.В. Болотин, А.В. Воронов, П.А. Кручинин

являются известными функциями измеряемых величин x1(t), y1(t),

идентифицированных параметров Xi и задаваемой пользователем априорной оценки

a(t). Уравнение (5) записывается для моментов времени ti (i 1, ,N), в которые

производится извлечение информации. Для вычисления производных от значений ошибок будем использовать разностные приближения

Подставляя разностные соотношения в уравнение (5), составим систему уравнений

где

q1i c3(ti)/ 2,

q2i c1(ti ) c2(ti)/ 2c3(ti )/ 2, q3i c2(ti)/ c3(ti)/ 2.

Здесь величины (t0), (tN 1) можно получить, используя полученные из

показаний системы видеоанализа значения угла в моменты времени до и после интервала восстановления.

Проведем все описанные выше рассуждения для второй оси чувствительности акселерометра. Получим уравнения, аналогичные (6):

Таким образом, создана система из 2n линейных уравнений вида (6), (7) с N неизвестными (t1),..., (tN ). В матричном виде она имеет вид

О двух модификациях метода наименьших квадратов в задаче восстановления информации видеоанализа

b(t2)

b(tN 1)

(ti ) a(ti) (ti).

Для повышения точности применяется итерационная процедура. На первом шаге в качестве априорной оценки на интервале восстановления [ti,tN ]используются значения линейной функции времени:

a(t) ( (tN 1) (t0))(t t0)/(tN 1 t0) (t0).

На каждом следующем интервале в качестве «априорных» значений принимаются значения, полученные на предыдущем шаге.

Отметим, что изложенный алгоритм может быть применен в случае, когда рассматривается только одна из осей чувствительности акселерометра. Для этого в матрицах A и B нужно оставить только первые либо последние N строки.

Использование калмановского сглаживания

Другой алгоритм восстановления угла по показаниям акселерометра основывается на процедуре сглаживания с помощью фильтрации Р. Калмана [14]. Для использования этой процедуры необходимо свести задачу восстановления к задаче оценивания вида

xn 1 nxn B n,

zn Hnxn rn.

Здесь xn – дискретный вектор состояния; n и rn – возмущение и погрешность измерений, моделируемые дискретным белым шумом; zn – измерения; n и Hn –

известные матрицы. В этом случае решение задачи возможно с помощью сглаживающего алгоритма, основанного на методе фильтра Калмана [1, 14].

А.Н. Бобылев, Ю.В. Болотин, А.В. Воронов, П.А. Кручинин

Сделаем предположение о гладкости решения, аналогичное тем, которые принимаются при сглаживании сигналов для поиска случайного поля [9, 12],

2

n 1 n n, где n – дискретный белый шум. Интенсивность шума является

параметром задачи. Используя конечноразностные соотношения, получим уравнения, связывающие значения углов, угловых скоростей и ускорений в n-й и (n + 1)-й моменты времени:

(tn 1) (tn) (tn) (tn) 2 / 2,(tn 1) (tn) (tn) ,

(tn 1) (tn) n,

случайную ошибку измерений акселерометра, задаются величиной r . Априорная точка xna является результатом этапа прогноза в методе фильтра Калмана [1, 14].

О двух модификациях метода наименьших квадратов в задаче восстановления информации видеоанализа

Суммируя все вышесказанное, получаем следующую формальную задачу:

Для построения оценки с минимальной дисперсией ошибки применяется алгоритм фильтра Калмана в прямом и обратном времени. Начальные и конечные значения вектора состояния x и ковариационной матрицы P задаются исходя из значений до и после интервалавосстановления, полученныхпо показаниям измерительныхсистем

оптимального сглаживания на фиксированном интервале в соответствии с [1, 14].

ПРОВЕРКА ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

Разработанные алгоритмы опробованы на результатах обследования, проведенного в Государственном научном центре «Институте медико-биологических проблем Российской академии наук». На латеральные проекции центров вращения в суставах правой нижней конечности обследуемого были наклеены светоотражающие элементы (катафоты). Испытуемый совершал движения (типа приседания), записываемые видеокамерой системы видеоанализа «Видеоанализ–2D» с одновременной регистрацией показаний двухкомпонентного акселерометра из комплекта измерительной биомеханической аппаратуры MuscleLab 4000e фирмы Ergotest (Норвегия), размещенного на голени, как показано на рис. 1.

Частота кадров видеозаписи – 50 Гц. Частота снятия показаний акселерометра – 100 Гц. Для удобства дальнейших вычислений частота записи акселерометра снижается путем выбора только четных измерений.

Проведено три записи по шесть-семь приседаний для одного обследуемого. По результатам измерений вычислялись значения координат маркеров. Показания системы видеоанализа и акселерометра для одной из записей представлены на рис. 4.

Анализ структуры сигнала акселерометра позволил выявить значительную колебательную составляющую частоты ~10 Гц, вероятнее всего являющуюся следствием мышечного тремора. Для того чтобы минимизировать погрешность, вызванную влиянием тремора и ошибкой дискретизации данных, было произведено предварительное сглаживание сигнала акселерометра окном Ханна шириной 1 с [11]. Ширина окна обусловлена характерными частотами движения обследуемого 0,2–0,5 Гц.

А.Н. Бобылев, Ю.В. Болотин, А.В. Воронов, П.А. Кручинин

Рис. 4. Пример показаний системы видеоанализа и акселерометра

Для каждой из осей чувствительности акселерометра производилась идентификация неизвестных параметров в соответствии с изложенным ранее алгоритмом.

Анализ зависимости результатов идентификации от длительности участка идентификации показал, что участок длительностью 5 с, сравнимый с временем полного приседания, позволяет достаточно хорошо идентифицировать неизвестные компоненты вектора X в том смысле, что увеличение длины этого участка до большей продолжительности приводит к изменению оценок компонент X на 5%. При увеличении длины интервала свыше 15 с число обусловленности для решаемой задачи не изменяется.

Полученные идентифицированные параметры далее использовались в задаче восстановления. На рис. 5 представлены графики результатов постановления и ошибок для характерного интервала. Параметры фильтра Калмана в результате подбора

принимались равными 100 радс2, r 10 мс2.

В процедуре восстановления с использованием метода наименьших квадратов производилось две итерации. Начиная со второй итерации, порядок величины среднеквадратичного отклонения остается неизменным и равен 10–6 рад, поэтому достаточно выполнить всего две итерации.

График зависимости среднеквадратичной ошибки восстановления от длины интервала восстановления при фиксированном левом конце представлен на рис. 6.

О двух модификациях метода наименьших квадратов в задаче восстановления информации видеоанализа

Рис. 5. Результаты восстановления на интервале (6,5–8,5) и соответствующая ошибка для алгоритмов с использованием метода наименьших квадратов (МНК) и фильтра Калмана

Рис. 6. Зависимости среднеквадратичной ошибки восстановления от длины интервала. Обозначения – см. рис. 5

Как видно, порядок погрешности восстановления сохраняется при увеличении интервала до нескольких секунд.

Всреднем среднеквадратичное значение ошибки восстановления для интервала

в1 с для метода наименьших квадратов составило 1,06·10–3 рад, а для процедуры сглаживания – 1,27·10–3 рад. Изменения среднеквадратичного значения ошибки от записи к записи не наблюдалось.

А.Н. Бобылев, Ю.В. Болотин, А.В. Воронов, П.А. Кручинин

Результат калмановского сглаживания не всегда оказывается точнее алгоритма с использованием метода наименьших квадратов. Тем не менее порядок ошибки для обоих методов совпадает, и точность восстановления оказалась приемлемой, так как для системы видеоанализа приборная погрешность определения угла ~1°.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена задача восстановления показаний системы видеоанализа, когда в качестве дополнительной информации используются измерения двухкомпонентного датчика линейных ускорений. Обсуждаются два алгоритма восстановления: первый основан на методе наименьших квадратов, второй – на калмановском сглаживании. Обязательной процедурой является идентификация параметров модели.

В случае применения метода наименьших квадратов использование нескольких итераций позволяет существенно повысить точность восстановления. При этом на экспериментальных данных ошибка восстановления в среднем оказалась в пределах точности измерений системы видеоанализа.

Дискретный фильтр Калмана учитывает условия гладкости, вычислительно упрощает процедуру восстановления и позволит в дальнейшем эффективно использовать метод стохастических мер оцениваемости [1] при решении более сложных практических задач. Однако при этом нетривиальным является подбор ковариаций шумов, участвующих в модели движения, и измерений, что затрудняет решение задачи. Следует отметить, что эти ковариации остаются неизменными для всех тестов, проводимых одновременно, их подбор можно осуществить на тестовом движении, проводимом в начале серии обследований.

БЛАГОДАРНОСТИ

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант 09–01–00809).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимальное управление движением. – М.: Физматлит, 2005. – 367 с.

2.Бобылев А.Н., Воронов А.В., Кручинин П.А. Восстановление утерянных показаний системы видеоанализа движений с использованием измерений акселерометра // Всерос. конф. по биомеханике «Биомеханика 2010»: тез. докл. – Саратов: Изд-во СГУ, 2010. – С. 46–47.

3.Воронов А.В. История биомеханической видеосъемки // http://www.biosoftvideo.ru/history/ – сайт фирмы разработчика-производителя системы видеоанализа.

4.Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики.– М.: Наука, 1986. – Т. 2. – 331 с.

5.Кручинин П.А., Мишанов А.Ю. Использование математических моделей движения человека при обработке измерительной информации в биомеханике // Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии. ФРЭМЭ 2008: докл. 8-й междунар. науч.-техн. конф. – Владимир, 2008. – Кн. 1. – C. 259–262.

6.Кручинин П.А., Мишанов А.Ю. Меры оцениваемости в задаче восстановления показаний системы видеоанализа движений человека по измерениям нормальной реакции опоры // Российский журнал биомеханики. – 2008. – Т. 12, № 3. – C. 58–73.

7.Кручинин П.А., Мишанов А.Ю., Саенко Д.Г. О возможностях совместной обработки показаний системы видеоанализа движений и стабилографической платформы // Математическое моделирование движений человека в норме и при некоторых видах патологии. – М.: Изд-во мех.-мат. фак. МГУ, 2005. – C. 28–53.

8.Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. – М.: Наука, 1986. – 232 с.

9.Степанов О.А., Блажнов Б.А., Кошаев Д.А. Исследование эффективности использования спутниковых измерений при определении ускорения силы тяжести на летательном аппарате // Гироскопия и навигация. – 2002. – № 3. – C. 33–45.

10.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высш. шк., 1986. – 416 с.

11.Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. – М.: Советское радио, 1987. – 221 с.