книги / Российский журнал биомеханики. 2012, т. 16, 1

Эквивалентные электрические модели биологических объектов

для измерения импеданса; анализируются возможные методические и инструментальные погрешности измерения импеданса биообъектов и влияния на результат измерения применяемых методик и приборов, физических и химических процессов, протекающих в области контакта электродов и тканей.

Биоэлектрический импеданс представляет собой соотношение между напряжением и током, и поэтому для его моделирования используются электротехнические элементы и эквивалентные схемы замещения, под которыми понимаются модельные электрические схемы, составленные из резисторов, конденсаторов и более сложных структурных элементов. Построение эквивалентной схемы исследуемого объекта является важным этапом изучения данного физического явления. Модель должна не только отражать основные свойства биообъекта в исследуемой частотной и температурной областях, но и предсказывать поведение объекта в более широком диапазоне частот и температур. Правильность интерпретации результатов электрических измерений усложняется тем, что эквивалентные схемы замещения, как правило, неизвестны, и поэтому исследуемый объект с электродами и измерительной аппаратурой представляет собой «черный ящик». Достоверность реографических формул, устанавливающих количественную связь между характеристиками реограммы и гемодинамическими параметрами, существенно зависит от соответствия электрофизической модели реальному объекту [3, 4, 12, 13]. Примеры анализа спектров импеданса для некоторых биологических сред, электролитических материалов и композитов приводятся в [1, 6, 7, 9].

В настоящей работе обсуждаются известные эквивалентные схемы замещения и предлагаются их модификации для описания импеданса биологических сред. Устанавливаются условия тождественности некоторых эквивалентных схем замещения.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ И ИХ ДИАГРАММЫ

Полное электрическое сопротивление объекта можно записать в виде комплексной величины: Z Z iZ , где Z – действительная (активная), Z – мнимая (реактивная) составляющие импеданса. Наглядным средством отображения частотных

частоты ω (рис. 1). Эта пара графиков называется диаграммой Боде.

Другим наглядным представлением импеданса является векторная диаграмма комплексного сопротивления (годограф, график Найквиста), показанная на рис. 2. Ромбиками обозначены данные экспериментальных измерений, проведенных на сегменте человека (отведение «запястье правой руки – щиколотка правой ноги»). Результаты, представленныенарис. 2, а, взяты из работы [14], анарис. 2, б –из работы[5].

А.Л. Зуев, В.Ю. Мишланов, А.И. Судаков, Н.В. Шакиров, А.В. Фролов

Рис. 2. Диаграммы Найквиста для сегмента тела человека (отведение «правая рука – правая нога»)

Использование биоэлектрического импеданса для оценки состава тела значительно возросло в последние годы. Для качественного и количественного моделирования электрических свойств отдельных частей человеческого тела широко используется трехэлементная модель (рис. 3, а), представляющая собой две параллельно включенные цепочки, одна из которых состоит из последовательно

переменного тока реактивное сопротивление емкости (C1) уменьшается и все большая часть тока проходит внутри клеток. Используя правила расчета импедансов параллельного и последовательного соединения активного и реактивного элементов,

Эквивалентные электрические модели биологических объектов

Выделяя в формуле (1) активную (Z ) и реактивную (Z ) составляющие импеданса, а затем исключая частоту , получаем в комплексной плоскости (Z , Z ) уравнение окружности:

описываемая уравнением (4). Экстремум тангенса фазового угла для данной модели достигается при частоте

Таким образом, зная экстремальную частоту *, начальное Z(0) и конечное Z( ) значения импеданса, можно легко найти параметры (R0, R∞, R1, R2, C1, C2) трехэлементных эквивалентных схем замещения. Диаграммы Боде и Найквиста этих трехпараметрических моделей совпадут, если емкости выбрать удовлетворяющими соотношению (6).

Диаграммы Найквиста для многих биообъектов представляют собой «сдавленную полуокружность» (окружность с центром, лежащим ниже оси Z ) [6, 14] или результат перекрытия нескольких полуокружностей [1, 10]. Смещение центра окружности с горизонтальной оси легко достигается, если в эквивалентных схемах, изображенных на рис. 3, конденсаторы заменить на элемент постоянной фазы «Constant Phase Element – CPE» (рис. 4), импеданс которого задается формулой [11]

где A – фактор пропорциональности; – постоянная времени, определяющая характеристическую частоту модели; – безразмерный параметр.

Рис. 4. Эквивалентные модели Коула–Коула

А.Л. Зуев, В.Ю. Мишланов, А.И. Судаков, Н.В. Шакиров, А.В. Фролов

CPE представляет собой довольно простой структурный элемент, но вместе с тем обладает высокой обобщенностью. Импедансные диаграммы элемента постоянной фазы в зависимости от фактора n анализируются в [1]. В частности, для1 элемент CPE вырождается в конденсатор.

На примере модели Коула–Коула, представленной на рис. 4, б, продемонстрируем схему построения диаграмм Боде и Найквиста и результаты сравнения экспериментальных и расчетных данных.

Используя правило расчета импедансов последовательного и параллельного соединений структурных элементов электрической схемы, показанных на рис. 4, б, получаем для импеданса, угла сдвига фаз и экстремальной частоты следующие выражения:

На рис. 1 представлены результаты сравнения экспериментальных [14] (отмечены ромбиками) и расчетных данных (показаны квадратиками), выполненных по

формулам (8)–(10) при следующих параметрах: R0 = 305,3 Ом; R∞ = 211,4 Ом; 0,89;

4,8·10–6 с.

На этом же рисунке треугольниками показана аппроксимация, выполненная с использованием модели, изображенной на рис. 6, а. При этом значения параметров модели принимались равными: R1 = 973 Ом; R2 = 227 Ом; R3 = 307 Ом; C1 = 2,217·10–9 Ф; C2 = 4·10–9 Ф. Так как последняя модель содержит два конденсатора, то можно ввести в рассмотрение два времени релаксации (см. приложение) и найти их отношение:

Эквивалентные электрические модели биологических объектов

и найдем их отношение

Подставляя угловую частоту, выраженную из уравнения (14), в соотношение (13), после несложных преобразований получим уравнение окружности с центром, лежащим ниже действительной оси:

характеристики (модуль импеданса, угол сдвига фаз и экстремальная частота) совпадут с результатами вычислений, выполненных по формулам (8)–(10). Заметим, что уравнение окружности (4) и условие экстремальности фазового угла (5) непосредственно следуют из соотношений (15) и (10) при 1.

Импеданс многих биообъектов не описывается трехили четырехэлементными схемами, рассмотренными выше; их годограф Найквиста отличается от окружности, а диаграмма фазового угла характеризуется несколькими экстремумами. Это хорошо иллюстрируют экспериментальные данные реограммы легкого [10], приведенные на рис. 5. Следует отметить два четко выраженных экстремума на диаграмме фазового угла (см. рис. 5, а) и пересечения окружностей, имеющих различные диаметры и места расположения их центров (см. рис. 5, б).

В работе [10] для расчета импеданса использовалась пятиэлементная модель,

приведенная на рис. 6, б. Значения параметров, входящих в эту модель, принимались равными: R1 = 49,7 Ом; R2 = 97,9 Ом; R∞ = 49,8 Ом; C1 = 1,44·10–7 Ф; C2 = 1,47·10–9 Ф.

Вычислим для этой модели времена релаксации и их отношение:

Хорошая аппроксимация этих экспериментальных данных также достигается, если использовать модель, приведенную на рис. 6, а (R1 = 74,6 Ом; R2 = 609 Ом; R3 = 194 Ом; C1 = 6,6·10–9 Ф; C2 = 8,8·10–8 Ф). Для этой модели соответствующие времена релаксации, обозначенные как L1 и L2, оказались равными

Рис. 5. Спектральные характеристики легочной ткани человека

А.Л. Зуев, В.Ю. Мишланов, А.И. Судаков, Н.В. Шакиров, А.В. Фролов

Рис. 6. Эквивалентные пятиэлементные модели

Рис. 7. Частотные зависимости реограммы человеческой крови

а б

Рис. 8. Эквивалентные шестиэлементные и семиэлементные модели

Частотные зависимости биологических растворов и крови [3] отличаются от вышерассмотренных тем, что дисперсия импеданса наблюдается при значительно меньших частотах (рис. 7).

Такое поведение биологических тканей можно достаточно хорошо описать эквивалентными моделями, приведенными на рис. 8. Эти эквивалентные схемы обобщают соответствующие модели, приведенные на рис. 6. Как частный случай из модели, приведенной на рис. 8, б, при стремлении R4 к бесконечности вытекает шестиэлементная эквивалентная схема, предлагаемая в работе[2] для описания импедансакрови.

Результаты вычислений, выполненных с использованием шестиэлементной модели

квадратиками.

Эквивалентные электрические модели биологических объектов

Параметры, входящие в эквивалентные схемы, находились из условия минимизации средней квадратичной погрешности. Отклонения расчетных реограмм от экспериментальных составляли не более 10%.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Если диаграмма Найквиста исследуемой биоткани представляет собой окружность (или кривую, близкую к ней) с центром, находящимся на действительной оси, то такую среду можно удовлетворительно моделировать эквивалентной схемой замещения, состоящей из двух сопротивлений и одного конденсатора (рис. 3). При этом

значения сопротивлений находятся из условий R0 Z 0 и R Z ,

а величина емкости – из условия максимального отставания напряжения от тока, т.е. параметры трехэлементной электрической схемы могут быть найдены без аппроксимации спектральных функций во всем частотном диапазоне.

Если центр окружности на диаграмме Найквиста находится ниже действительной оси, то спектральные характеристики объекта достаточно хорошо описываются моделью Коула–Коула или пятиэлементной электрической схемой. Из рис. 1 видно, что кривые Z Z( ) и ( ) удовлетворительно описываются как моделью Коула–Коула, так и пятипараметрической электрической схемой, представленной на рис. 6, а. Следует отметить, что в модель Коула–Коула не входит

вявном виде элемент, моделирующий емкостные свойства среды. Однако если задать

1, то элемент CPЕ вырождается в конденсатор с емкостью C, а параметр

становится равным произведению RC . Следовательно, в данном случае постоянная времени совпадает с временем релаксации.

Поскольку модели, представленные на рис. 6, содержат по два конденсатора, то можно ввести в рассмотрение несколько времен релаксации. В том случае, когда отношение времен релаксации меньше 10, на частотной зависимости фазового угла имеется только один минимум (см. формулу (11) и рис. 1, б).

Если времена релаксации электрической схемы отличаются в десятки раз, то кривая зависимости угла сдвига фаз от частоты имеет два минимума, а диаграмма Найквиста состоит из двух пересекающихся окружностей (см. формулу (17) и рис. 5).

Из рис. 5 видно, что обе модели предсказывают два экстремума на зависимости угла сдвига фаз от частоты. Из полученных выше значений времен релаксации можно предположить, что необходимым условием нескольких экстремумов на частотной зависимости угла сдвига фаз является отличие времен релаксации в десятки раз

(см. формулы (16) и (17)).

Из вышеприведенных рисунков (см. рис. 1, б и рис. 5, а) видно, что спектральные характеристики сегментов тела человека слабо изменяются вплоть до частот порядка 1000 Гц.

ВЫВОДЫ

Спектральные характеристики отдельных сегментов тела человека очень слабо изменяются вплоть до частот порядка 1000 Гц. Дисперсия же импеданса крови человека наблюдается при значительно меньших частотах.

Показано, что параметры электрической модели биологического объекта, эквивалентная схема которого содержит два сопротивления и конденсатор, могут быть найдены аналитически, если известны максимальное и минимальное сопротивления и значение экстремальной частоты на диаграмме угла сдвига фаз.

Сформулировано условие тождественности трехпараметрических электрических схем: одна из них представляет собой параллельную цепь R2C2 с добавочным резистором R∞, авторая – последовательнуюцепь R1C1, зашунтированнуюрезистором R0.

А.Л. Зуев, В.Ю. Мишланов, А.И. Судаков, Н.В. Шакиров, А.В. Фролов

Установлено, что необходимым условием появления двух экстремумов на частотной зависимости фазового угла (или представление диаграммы Найквиста двумя пересекающимися окружностями) является отличие времен релаксации эквивалентной схемы более чем в десять раз.

ПРИЛОЖЕНИЕ

На примере параллельной схемы замещения вычислим импеданс.

При параллельном соединении электрических элементов полный ток представляет собой сумму парциальных токов. Следовательно, для цепи, представленной на рис. П1, складываются обратные величины активного и емкостного сопротивлений:

Найдем решения уравнения (I) для двух конкретных изменений силы тока. В первом случае задается постоянный электрический заряд емкости Q = Q0 (т.е. J = 0) и находится изменение напряжения во времени

где λ – параметр, характеризующий скорость приближения напряжения к равновесному состоянию, λ = R·C. Уравнение (II) описывает релаксационный процесс, и поэтому параметр λ часто называют временем релаксации.

Во втором случае в правую часть уравнения (I) подставляется периодическая функция J J0 exp i t и находится периодическое решение

U R 1 i RC J0 exp i t .

Разделив напряжение на ток, находим изменение импеданса Z в зависимости от частоты:

Параметр имеет размерность времени. Размерность времени имеет и параметр, входящий в выражение для импеданса элемента постоянной фазы (см. формулу (7)).

Рис. П1. Двухэлементная параллельная схема замещения

Эквивалентные электрические модели биологических объектов

Покажем, что в случае 1 эти параметры совпадают. Если в модели, приведенной на рис. 4, б, сопротивление R∞ выбрать равным нулю, то из формулы (8) находим

Из сравнения формул (III) и (IV) видно, что сопротивление R0 = R, а постоянная времени равна произведению RC (времени релаксации). Из формул (III) и (IV)

То есть существенное изменение импеданса и фазового угла начинается лишь при частотах, превышающих .

БЛАГОДАРНОСТИ

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проекты РФФИ-Урал № 11-08-96005 и № 11-04-96017).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Буянова Е.С., Емельянова Ю.В. Импедансная спектроскопия электролитических материалов: учебное пособие. – Екатеринбург: Из-во УрГУ, 2008. – 70 с.

2.Ефремов А.В., Ибрагимов Р.Р., Манвелидзе Р.А. и др. Устройство для измерения активной и емкостной составляющих импеданса биологических тканей: патент РФ № 2196504, 2003.

3.Зуев А.Л., Мишланов В.Ю., Судаков А.И., Шакиров Н.В. Экспериментальное моделирование реографической диагностики биологических жидкостей // Российский журнал биомеханики. – 2010. – Т. 14, № 3. – C. 68–78.

4.Кубарев А.М., Борисов В.И. Пульсация крови в артериальной системе и ее влияние на электрическое сопротивление тела // Нижегородский медицинский журнал. – 2008. – № 4. – С. 35–41.

5.Можаев В.А. Векторные диаграммы комплексного сопротивления и проводимости для оценки активной клеточной массы биообъекта // Материалы X научно-практической конф. «Диагностика и лечение нарушений регуляции сердечно-сосудистой системы». – М., 2008. – С. 92–98.

6.Николаев Д.В., Смирнов А.В., Бобринская И.Г., Руднев С.Г. Биоимпедансный анализ состава тела. – М.: Наука, 2009. – 404 с.

7.Поклонский Н.А., Горбачук Н.И. Основы импедансной спектроскопии композитов. – Минск: Изд-во БГУ, 2005. – 130 с.

8.Цветков А.А. Биоимпедансные методы контроля системной гемодинамики. – М.: Слово, 2010. – 330 с.

9.Шван Х.П., Фостер К.Р. Воздействие высокочастотных полей на биологические системы: Электрические свойства и биофизические механизмы // ТИИЭР. – 1980. – Т. 68, № 1. – С. 121–132.

J. Chem. Phys. – 1941. – Vol. 9. – P. 341–351.

12.Dai T., Adler А. Blood impedance characterization from pulsatile measurements // Proceedings of the Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering, CCECE 2006, May 7–10, 2006, Ottawa Congress Centre. – Ottawa, 2006. – P. 983–986.

13. Macdonald J.R. Impedance spectroscopy // Annals of Biomedical Engineering. – 1992. – Vol. 20. –

P. 289–305.

14.Nordbotten B.J., Martinsen O.G., Grimnes S. Methods for calculating phase angle from measured whole body bioimpedance modulus // J. Phys.: Conf. Ser. – 2010. –Vol. 224. – P. 253–268.

А.Л. Зуев, В.Ю. Мишланов, А.И. Судаков, Н.В. Шакиров, А.В. Фролов

EQUIVALENT ELECTRICAL MODELS OF BIOLOGICAL OBJECTS

A.L. Zuev, V.Yu. Mishlanov, A.I. Sudakov, N.V. Shakirov (Perm, Russia),

A.V. Frolov (Minsk, Belarus)

Known electrical equivalent circuits are discussed, and modifications of these circuits are proposed. Examples of the analysis and description of the impedance spectrum of real biological objects are provided. The amplitude-frequency and phase-frequency characteristics of various circuits are analyzed. The frequency characteristic of the phase-shift angle is found to be rather informative. For three-element models consisting of two resistors and one capacitor, the necessary identity conditions are determined.

Key words: electrical impedance, rheography, electric model, biological tissues, equivalent substitution circuits.

Получено 02 февраля 2012