Выводы по главе 2

В данной главе мы разобрали два основных метода расчета на устойчивость, это метод Эйлера как классический метод и метод, построенный на динамическом критерии.

Динамический метод расчета на устойчивость считается наиболее общим и универсальным методом. Он позволяет решать даже те задачи, с которыми не могут справиться статический и энергетический методы.

Динамический метод реализован в большинстве расчетных комплексов, основанных на методе конечных элементов.

В зарубежной литературе и многих расчетных комплексах этот метод расчета имеет наименование «buckling mode».

Стоит отметить, что принципы различных методов расчета на устойчивость были заложены ранее и не являются в полной мере современными, однако уровень развития современных расчетных комплексов и вычислительная мощность современных машин создали предпосылки к использованию сложных объемных моделей, позволяющих в полной мере реализовать различные подходы.

Также стоит отметить, что аналитические методики, описанные в действующих нормах хоть и основаны на методе Эйлера и его модификациях, дают решение с учетом конструктивных, технологических и металлургических (в случае с металлическими конструкциями) особенностей, т.е. учитывают упомянутую ранее «неидеальность» реального объекта.

Глава 3. Численный эксперимент

В обзорной части мы определили, что в настоящее время в методе конечных элементов наибольшее распространение получил расчет потери устойчивости по динамическому критерию, или же buckling mode. Данный метод допустим к применению в еврокоде и, например, внесен в рекомендации по применению комплекса проектирования Tekla.

Кроме того, современные расчетные комплексы дают возможность проводить нелинейный анализ потери устойчивости и анализ закритического поведения конструкции.

В данной главе будут рассмотрены 2 примера, для которых расчет проводится разными методами:

- Верификационный расчет.

- Расчет стенки пролётного строения на местную устойчивость.

3.1 Верификационный расчёт.

Верификационный расчет проводится для простой расчетной схемы, чтобы определить параметры различных методов и сходимость результатов. На данном этапе одна задача будет решена следующими методами:

- Метод Эйлера.

- Методика, описанная в СП35.13330.2011.

- Расчет по динамическому критерию.

- Нелинейный анализ.

В качестве задачи рассматривается следующий вариант:

Стержень длиной 3 метра с жесткой заделкой с одной стороны и свободным концом с другой. На стержень действует сжимающая сила Р. Расчетная схема показана на рисунке 3.1. Сечение стержня представляет из себя квадратную трубу 100х100х4 (рисунок 3.2)

Рисунок 3.1 Расчетная схема верификационной задачи.

Рисунок 3.2 Поперечная схема рассматриваемого стержня.

Геометрические характеристики:

Момент инерции – I_x= I_y = 0,000002297 м⁴

Площадь А=0,00151м²

Расчет по методу Эйлера.

Метод Эйлера предполагает определение критической силы в зависимости от длины стержня и способа его закрепления. Ниже приведена формула, для определения критической силы.

где ω·l=lпр – приведенная длина стержня; l – фактическая длина стержня; ω – коэффициент приведенной длины.

Е=2,1*10⁵ МПа = 2,1*10⁷ т/м²

Коэффициент приведенной длины зависит от способа закрепления. Схема закреплений приведена на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 Коэффициенты приведенной длины.

Таким образом получим критическую силу

F_кр=(3,14²*2,1*10⁷*0,000002297)/(2*3)² =13,21 тс.

Критическое напряжение при этом можно получить по формуле:

σ_кр= 8748 т/м² =85,8 МПа.

Расчет по методике представленной в СП 35.13330.2011.

В данном случае расчет производится в соответствии с п. 8.36. Критерий обеспечения устойчивости сформулирован следующим образом:

где φ — коэффициент продольного изгиба, зависит от гибкости элемента λ и приведенного относительного эксцентриситета e_ef;

m — коэффициент условий работы;

Гибкость элемента определяется по следующей формуле:

где l_ef — расчетная длина;

i — радиус инерции сечения относительно оси, перпендикулярной плоскости наибольшей гибкости (плоскости изгиба)

l_ef =6м

i=0,03899м

λ=153,9

e_ef = 0; считаем что сжимающая сила приложена по центру сечения, никаких отклонений от оси стержня нет.

Примем сталь 15ХСНД, R_y =295 МПа.

φ=0,21 для стали класса С325-С345.

Коэффициент условий работы принят m=1, т.к. данный параметр относится к дополнительному обеспечению запаса, а в данном примере разбирается принцип подхода и основные расчетные предпосылки.

Найдем предельное напряжение, которая будет равна правой части приведенной выше формулы:

σ_кр = 295*0,21=62,0 МПа.

Видим, что полученное значение ниже, чем значение, полученной при постановке Эйлера. Данное расхождение объясняется тем, что методика, представленная в СП 35.13330.2011 учитывает особенности конкретных марок стали.

Расчет по динамическому критерию

Как было сказано ранее Динамический метод, также известный как метод малых колебаний, заключается в введении в систему определенного возмущения и наблюдении за его колебаниями. В этом методе внешние нагрузки следует рассматривать как динамические, даже если присутствуют только статические нагрузки. Метод расчета динамической устойчивости считается наиболее универсальным и комплексным подходом. Он позволяет решать задачи, выходящие за рамки статических и энергетических методов.

Динамический критерий устойчивости: критической является сила, при которой частота собственных колебаний системы равна нулю.

Расчет проведен в комплексе Ansys. Для решения задачи задействованы следующие модули:

- Static Structural – задание статических нагрузок. Расчет проводится в физически и геометрически линейной постановке;

- Eigenvalue Buckling – расчет различных форм потери устойчивости, нахождение критической силы. Данный модуль в инструкции имеет следующие пояснения «Eigenvalue Buckling – Решатель, реализующий расчет устойчивости по собственному значению. Ппредсказывает теоретическую прочность идеальной упругой конструкции на изгиб. Этот метод соответствует теоретическому подходу к анализу упругого изгиба; например, анализ изгиба колонны по собственным значениям соответствует классическому решению Эйлера.

Однако несовершенства и нелинейности не позволяют большинству реальных конструкций достичь их теоретической прочности при упругом изгибе. Анализ потери устойчивости по собственным значениям часто дает быстрые, но неконсервативные результаты»;

- Modal – дополнительный контроль собственных частот и форм колебаний;

На рисунке 3.4 показан общий вид модели. В качестве граничных условий задана сжимающая сила («B» Force) и жесткая заделка («А» Fixed Support). Модель выполнена из пластинчатых элементов общего вида с разбиением сетки по 10мм.

Рисунок 3.4 Общий вид расчетной модели

В качестве материала использована стандартная сталь с линейными характеристиками из библиотеки «General materials», заданные характеристики показаны на рисунке 3.5.

Рисунок 3.5 Характеристики используемого материала.

А качестве нагрузки задаётся сила, близкая по значению к полученной при расчете по методу Эйлера.

При расчете по методу Эйлера было получено критическое напряжение σ_кр,э=85,8 МПа. В данном расчете получено значение нормального напряжения σ_кр,д = 82,8 МПа. Полученное напряжение показано на рисунке 3.6.

Рисунок 3.6 Критическое напряжение, полученное при расчете по динамическому критерию, МПа.

На рисунке 3.7 показана форма потери устойчивости, а также выведен параметр Load Multiplier – данный параметр показывает коэффициент запаса для рассчитываемого стержня. В данном случае запас составляет 0,6%, т.е. можно говорить о том, что получен момент бифуркации – т.е. перехода из одного состояние в другое. Также можно отметить, что полученная форма соответствует форме, приведенной Эйлером для данного типа закреплений (рисунок 3.3, ω=2).

Рисунок 3.7 Форма потери устойчивости

Дополнительно проверим высказанное ранее утверждение о том, что при расчете динамическим методом критической является сила, при которой частота собственных колебаний системы равна нулю.

На рисунке 3.8 приведен результат расчета на собственные частоты. Для соответствующей формы колебаний значение частоты определено как 0 Гц. Что подтверждает принцип работы данного метода.

Рисунок 3.8 Результат проверки на частоту и форму собственных колебаний.

При расчете данным методом получено значение близкое к значению при решению по методу Эйлера.

Нелинейный анализ потери устойчивости.

Данный анализ проводится для физически и геометрически нелинейной задачи и предполагает итерационный ход решения с достаточно мелким делением по времени. На рисунке 3.9 показаны свойства нелинейного материала.

Рисунок 3.9 Характеристики используемого материала.

На рисунке 3.10 показан общий вид расчетной модели. Отличие данной модели заключается не только в добавлении нелинейного материала, но и поперечной силы, которая моделирует неидеальность реальной конструкции. Причем её значение пренебрежительно мало, по сравнению с основной силой. В данном случае это 100Н или 0,01тс.

На рисунке 3.11 показаны общие деформации рассчитываемого стержня. Максимальная величина 33,5 мм (далее расчет не проводился), однако гораздо интереснее для анализа разобрать график «Сила-перемещения», он показан на рисунке 3.12.

Рисунок 3.10 Общий вид расчетной модели для нелинейного анализа.

Рисунок 3.11 Общие перемещения стержня при потери устойчивости, мм.

Рисунок 3.12 График «Сила-Перемещение»

На данном графике видно, что рост деформаций относительно прикладываемой силы начался на моменте t ≈0,8 что соответствует 80% от приложенной нагрузке. Этот момент примем за начало бифуркации. На рисунке 3.13 показаны напряжения в точке t ≈0,8.

Рисунок 3.13 Напряжения в момент бифуркации при нелинейном расчете на устойчивость.

Получено значение критического напряжения σ_кр,н = 66,2 МПа.

Мы видим, что значение критического напряжения, полученное в случае нелинейного анализа близко по значению к полученному критическому напряжения по методу, приведенному в СП35.13330.2011 и примерно на 20% ниже динамического метода и метода Эйлера.

Полученные результаты сведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Анализ полученных результатов.

Метод	Критическое напряжение, МПа	Примечания
Метод Эйлера	85,8	Классическое решение
СП 35.13330.2011	62,0	Эталонное значение, реализующее подход действующих нормативных документов
Динамический метод	82,8	Неконсервативное значение, близкое к классическому значению. Расхождение 3,5% меньше допустимой погрешности машинного расчета.
Нелинейный расчет	66,2	Значение близкое к эталонному.