книги / Mathematica 5. ╨б╨░╨╝╨╛╤Г╤З╨╕╤В╨╡╨╗╤М

23564163

241077871

252063689

263957809

277603553

2814630843

2928192750

3054400028

31105097565

32203280221

33393615806

34762939111

351480206279

362874398515

375586502348

3810866266172

3921151907950

4041203088796

4180316571436

42156661034233

43305761713237

44597116381732

451166746786182

462280998753949

474461632979717

50PrimePi[1125899906842624]

51PrimePi[2251799813685248]

Тем не менее не следует воспринимать ситуацию уж очень пессимистически.

£

Давайте, например, построим графики функций и(дг) и — на промежутке (0, 100).

1пх

{{}, ( D a s h in g [ { 0 .0 2 , 0 . 0 2 } ] } } ] ;

видно, что она довольно неплохо приближает TT(JC) . Впрочем, вот график с интеграль­

ным логарифмом.

Plot[{PrimePi[х],Loglntegral[х]},{х,1,100},PlotRange->{0,26},

PlotStyle->{{},{Dashing[{0.02,0.02}]}}];

Теперь даже в нуле неприятностей нет. Но вот вопрос: будет ли заметна ступенча­ тость на больших интервалах? На самом деле ступенчатость незаметна уже на интер­ вале (0, 10000).

{{}, { D a s h in g [ { 0 .0 2 , 0 . 0 2 } ) } } ] ;

1 2 0 0

1000

800

600

400

200

х

Но какая же функция приближает TC(JC) лучше: — или Li(x)? Конечно, Li(x).

InJC

Plot [{PrimePi[x],Loglntegral[x]},{x, 1,10000},

PlotRange->{0, 1200}, PlotStyle->{{},{Dashing[{0.02,0.02}]}}];

Если же построить график на интервале (0, 10000), то графики тг(;с) и Li(jc) прак­ тически сольются.

Plot[{PrimePi[х] ,Loglntegral[х]},{х,1,50000},

PlotRange->{0, 6000}, Plotstyle->{{},{Dashing[{0.02,0.02}]}}];

6 0 0 0

Раз уж речь зашла о приближении TT(JC) , давайте построим графики разности

функции тг(дг) и известных ее аппроксимаций. В качестве первой (самой простой) ап-

проксимирующей функции выберем — (приближение Чебышева и Лежандра), в ка- lnJC

честве второй — Li(jc) (приближение Гаусса), а в качестве третьей — R(x) (приближение Римана). Сначала определим функцию R(x).

R iem a n n [ х _ ] :=

L a s t [ B l o c k [ { R = L o g I n t e g r a l[ x ] , y = L o g I n t e g r a l [ S q r t [ x ] ] / 2 , n = 2 },

{ W h ile [ y > 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 1 , {R=R-y; n = n + l ; y = L o g I n t e g r a l [ x A ( 1 / n ) ] /n }

],R }

]]

Теперь можем построить нужные нам графики.

P l o t [ { P rim e P i [х] -R iem ann [ х ] , P r i m e P i[ х ] - х / (L o g [ х ] - 1 ) ,

L o g l n t e g r a l [ х ] - P r i m e P i [ х ] },

{ х , 1 , 1 0 л7 } , P lo t R a n g e - > { - 1 0 0 , 3 0 0 } ,

P l o t S t y l e - > { { } , { D a s h in g [ { 0 . 0 2 , 0 . 0 2 } ] } } ] ;

угодно длинные интервалы, на которых он горизонтален. Однако длина таких интер­ валов незначительна по сравнению с их расстоянием до начала координат. Это интер­ валы, на которых функция TT(JC) не изменяется. Иными словами, это интервалы, на

которых нет простых чисел. Кстати, а как сосчитать количество простых чисел на ин­ тервале (а , Ь]1

К о л и ч ест в о п д о с т ы х ч и с е л н а о т к р ы т о м с л е в а о т р е з к е (а , Ь]

С помощью функции PrimePi несложно подсчитать и количество простых чисел на открытом слева отрезке (а , Ь\. Помните только, что если вы пользуетесь выражени­ ем к(Ь)-п(а), т.е. выражением PrimePisJb] -PrimePi [а], то в случае простоты простое

число Ь будет посчитано, а простое число а — нет. Иными словами, подсчет осущест­ вляется на открытом слева отрезке (а , Ь]. А что, если нужно посчитать простые числа на замкнутом с обоих концов отрезке [а, Ь]1 Ничего сложного: в качестве аргумента можно взять не а , а несколько меньшее число, ведь аргументом функции PrimePi

может быть любое вещественное положительное число. Давайте посчитаем, например, количество простых чисел в 1-й, 2-й, , 20-й сотне миллионов натуральных чисел. Вот как это можно сделать.

delta=l00000000; PrimePiAB[delta_Integer?Positive,xk_Integer?Positive]:= Block[{k=0, x=delta, kt=0 },

While[x<=xk,

{kt=PrimePi[x]; Print[x,":"rktf":",kt-k]; k=kt ;

x=x+delta}]]

PrimePiAB[delta,10 delta]

Полученные результаты удобно представить в виде таблицы (табл. Б.23).

В приведенной выше программе мы воспользовались тем, что интервалы примы­ кают друг к другу. Однако так бывает не всегда. Иногда нужно подсчитать количество простых чисел в интервалах заданной длины, причем начала интервалов расположены на числовой оси так, что конец очередного интервала не совпадает с началом сле­ дующего. Подсчитаем, например, количество простых чисел в интервалах длиной

Для этого случая пригодится следующая функция.

beltaPi [х_, delta_J :=

Block [{xk=x+delta, k=PrimePi [xk] },

Pr i n t [ x , ,xk,":",к-PrimePi[x]]]

Спомощью этой функции нетрудно написать и нужную нам программу.

delta=150000;

Do[DeltaPi [10Лп, delta] ,{n, 6,14 }]

Результаты отформатированы в виде таблицы (табл. Б.24).

Резюме

Хотя каждый математик знает, ох, как это непросто, нужно признать, что система Mathematica дружит с простыми числами. В ней есть функции, проверяющие, являет­ ся ли число простым; функция, генерирующая л-е простое число; функция, генери­ рующая следующее простое число; функция, генерирующая предыдущее простое число;

а также знаменитая функция л(х), подсчитывающая количество простых чисел, не превосходящих заданного числа х . Конечно, реализовать все эти функции весьма не­ просто, и применяя их, нужно учитывать ограничения на их аргументы. Но как бы то ни было, в системе Mathematica они реализованы на современном уровне, с учетом совсем недавно доказанных теорем и новых методов.

Задачи /

Задача 5.1. Среди квадратов простых чисел нет. А вот часто ли среди чисел вида п2 +1 встречаются простые? Найдите все такие натуральные л, не превышающие 7V, что

п2 +1 — простое. Иными словами, нужно составить список всех натуральных n£N , для которых число п2 4-1 является простым. Рассмотрите случай N = 1 000.

Задача 5.2. Как вы видели, для многих п из первой тысячи числа вида п2 + 1 явля­ ются простыми. А как подсчитать, сколько таких п в первом миллионе?

Задача 5.3 (числа Каллена). Числа вида п2л + \ называются числами Каллена. Долгое время было известно только два значения л, для которых соответствующие числа Каллена были простыми: п = 1 и п = 141. Найдите все л<10 000, для которых соответствующее число Каллена является простым.

Задача 5.4. Для каждого ли к найдется такое л, что число /:2я+1 будет простым? Хотя есть много примеров, подтверждающих это высказывание, оно ложно! Оказыва­ ется, существуют такие к , что число /:2я +1 является составным при всех натуральных п. Составьте программу, которая для каждого £<1000 находит все такие л<3000, что число /:2я+ 1 является простым.

Задача 5.5 (простые числа, в двоичной записи которых ровно три единицы). Для каж­ дого ли т найдется такое простое двоичное т -значное число, в двоичной записи кото­ рого ровно три единицы? Иными словами, для каждого ли т найдется такое и, \<п<т,

что число 2т+ 2я +1 будет простым? (Составных чисел такого вида, как легко сообра­ зить, бесконечно много: например, составными являются все числа вида 22я+ 2я+| + 1 = (2я+1)2.) Составьте программу, которая для каждого /и<1000 находит

все такие я, \<п<т , что число 2т+ 2Я+1 является простым.

Задача 5.6. Для каких т<2 200 не существует простого двоичного m-значного чис­ ла, в двоичной записи которого ровно три единицы? Иными словами, для каких т

при всех п (1<п<т) числа 2т + 2яН-1 являются составными?

Задача 5.7. Постройте таблицу простых чисел, близких к степеням двойки.

Задача 5.8. Постройте таблицу простых чисел, близких к степеням тройки, однако в таблице укажите не сами простые числа, а разности между соответствующей степе­ нью тройки и самим простым числом.

Глава 6

Арифметика:

наибольший общий делитель и наименьшее

общее кратное

Вэтой главе...

♦Наибольший общий делитель

♦Наименьшее общее кратное — функция LCM

♦Резюме

♦Задачи

Во множестве всех общих делителей данных чисел имеется такой, который делится на всякий другой общий делитель этих чисел: это — общий наибольший делитель данных чисел.

Л. К. Сушкевич. Теория чисел. Глава 1. О делимости чисел. Теорема 9

Имея каноническое разложение чисел на простые множители, легко найти их наи­ больший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК). Однако еще со времен Евклида хорошо известно, что для вычисления наибольшего общего делителя существуют гораздо более эффективные алгоритмы, чем разложение на простые мно­ жители. И система Mathematica их применяет.

Наибольший общий делитель

Для нахождения наибольшего общего делителя чисел (целых, рациональных или гауссовых) в системе Mathematica предусмотрено две функции: GCD и ExtendedGCD.

Наибольший общий делитель — функция GCD

Функция GCD находит наибольший общий делитель в области целых, рациональ­ ных и гауссовых чисел.

Наибольший общий делитель в кольце целых чисел

Чтобы найти наибольший общий делитель чисел л,, th, ...» можно использовать

функцию GCD [ л,, п2, ...]. Вот примеры ее применения для нахождения наибольшего

общего делителя двух чисел.

GCD[36,45]

9

GCD[2200 + 3, З300 + 80]

349 а=177Л5+30621*173Л3-173А5

177309584821 Ь=173л5+30621*177л3-177л5 151037867129 с=173А4+30621А2+177л4 2814896923

GCD[a,b]

30637

GCD [а,с]

30637

GCD [Ь,с]

30637

Пример 6.1. Графики функции GCD.

Давайте теперь построим несколько графиков функции GCD. Поскольку это функ­ ция двух аргументов, построим изображения поверхности z = GCD[lntegerPart [х], IntegerPart [у] ]. Для этого используем функцию Plot3D.

Plot3D[GCD[IntegerPart[x] ,IntegerPart[у]],{x,1,50}, {у, 1,50}, PlotPoints->100, PlotRange->All, Mesh->False] ;

А вот вид вблизи.

Plot3D[GCD[IntegerPart[x ],IntegerPart[y]],{x,1,10},{у,1,10},

PlotPoints->100,PlotRange->AllfMesh->False] ;

10

Вот пример нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел.

GCD [ F ib o n a c c i[9 4 5 ],F ib o n a c c i[ 9 0 ] ,F ib o n a c c i[450]]

1134903170

Раз уж мы заговорили о числах Фибоначчи, значит, мы не можем обойти случаи, которые традиционно считаются “наихудшими” для алгоритмов нахождения наиболь­ шего общего делителя.

“Наихудшие” случаи для алгоритмов нахождения наибольшего общего делителя

“Наихудшим” случаем для классического алгоритма Евклида нахождения наи­ большего общего делителя считается случай соседних чисел Фибоначчи. Чтобы оце­ нить быстродействие, попытаемся, например, определить, при каком п будет заметна задержка при вычислении GCD[Fibonacci [n+2], Fibonacci [п+1] ]. Возьмем, на­ пример, следующую программу.

Do[Print[n," GCD[Fibonacci[n+2],Fibonacci[n+1]]],{n, 10000}]

Увы! Алгоритм, реализованный в системе Mathematica, столь эффективен, что даже на весьма посредственном ПК эта программа выполняется без каких бы то ни было задержек. Если же программу модифицировать так:

Do[Print[п,":",GCD[Fibonacci[2An+2],Fibonacci[2Ап+1]]],{п,10000}]

алгоритм, реализованный в системе Mathematica, справляется с классическим “наихудшим” случаем не просто вполне удовлетворительно, а блестяще! Правда, известны алгоритмы, для которых наихудший случай представляют числа и = ал +ап_{

и v= а где (1 + л/2)"-(1->/2)" . Давайте исследуем и этот случай. Нам

2-Jl

понадобятся следующие определения.

a[nj :=FullSimplify [((1+Sqrt[2])An-U-Sqrt[2])An) / (2 Sqrt[2])] u : = a [ n ] + a [ n - l ]

v : = a [ n - l]

Попытаемся выполнить программу.

D o [P rint[n," : " , GCD[u,v]],{n,100}]

Окажется, что уже при п = 98 выражения “не хотят” упрощаться! Поэтому опреде­ ление а[п_] лучше изменить.

а [п_] : = (Expand[ (1+Sqrt [2] ) Лп] -Expand[ (1-Sqrt [2] ) лп] ) / (2 Sqrt [2] )

Однако при таком подходе понятно, что значительное время тратится также на раскрытие скобок. Однако даже при и = 70 000 вычисления не занимают слишком много времени. При этом значении п числа и и v являются 26 794-значными, и ос­ новное время уходит на их вычисление, а не на вычисление их наибольшего общего делителя, который вычисляется в мгновенье ока! Отсюда можем сделать вывод, что функция GCD реализована весьма эффективно, и если при ее использовании возника­ ют неприятности, то, скорее всего, они связаны с вычислением не самой функции, а ее аргументов!

Пример 6.2. Взаимная простота чисел Ферма. Числа Ферма возрастают довольно быстро и являются взаимно простыми. Поэтому их наибольший общий делитель дол­ жен быть равен 1. Выясним, до какого номера п система Mathematica сможет в при­ емлемое время проверить взаимную простоту этих чисел.

Вот нужная нам функция.

ferm at[п_] :=2Л(2Ап)+1

Теперь можно написать и программу.

D o[P rint[n," : " , GCD[fermat[n+1], ferm at[n]] ] , {n,100}]

Задержка начинает ощущаться при п = 28. Однако вычисления заканчиваются (и притом довольно быстро, если учитывать количество цифр в числах) и при п = 29. Напомню, что уже 22-е число Ферма имеет более миллиона (1 262 612) знаков, а 23-е число Ферма является 2 525 223-значным! Шутки ради 24-е число Ферма, являющееся 5 050 446-значным, я перетащил в Word. Текстовый редактор с записью этого числа работает медленнее, чем система Mathematica! Вот уж воистину супервычислитель: решает задачу быстрее, чем иные успевают произнести ее формулировку! 25-е число Ферма является 10 100 891-значным, и Word его не выносит: замедляется работа ме­ ню, даже курсор движется так медленно, что работать становится практически невоз­ можно.

Пример 6.3. Взаимная простота чисел Т -1 и 2м-1 при взаимно простых п и т. Как

известно, числа 2я-1 и 2т-1 взаимно просты, если взаимно просты п и т . Выяс­ ним, до какого номера п (предполагая, что т<п) система Mathematica сможет в при­ емлемое время проверить взаимную простоту этих чисел.

Вот нужная нам функция. f n [п_] : =2Лп-1

Теперь можно написать и программу.

Do [

Do [

If[GCD[n, m]==1,If[GCD[fn[n], fn[m]]!=l, P r i n t [ n , m ] ]]

/ {m,n-1}] {n,10000}]//Timing

Для первой тысячи чисел все проверки на моем весьма слабеньком ПК выполня­ ются всего лишь за 8,125 секунды! Правда, для проверки этого утверждения в преде­ лах первых десяти тысяч чисел понадобится уже 3398,78 секунды. Здесь, очевидна