книги / Mathematica 5. ╨б╨░╨╝╨╛╤Г╤З╨╕╤В╨╡╨╗╤М

составные — антиподы простых! Впрочем, все эти свойства в нашей программе не учитываются. (В программе не учитывается даже, что сверхсоставных чисел бесконеч­ но много.) Зато эту программу легко модифицировать так, чтобы поиск сверхсостав­ ного числа можно было продолжить начиная с любого ранее найденного. Вот как, на­ пример, можно продолжить поиск сверхсоставных чисел после 64-го.

Module[{t=l,tmax = 1200,n=64, n0=551350800, m=10000],

While[n<m,{nO++,t = DivisorSigma[0,nO],

If[tmaxct,{tmax=t,n++,Print[n,":", nO]}])]]

Тем не менее, нужно заметить, что гораздо более эффективно поиск сверхсостав­ ных чисел можно было бы организовать по их каноническому представлению или же с применением решета, основанного на нахождении чисел, имеющих заданное число делителей. Методы решета позволили бы сразу вычеркнуть из таблицы большинство чисел, поскольку, как мы видели на графике, большинство чисел имеют совсем не­ много делителей. Ведь при больших п на долю каждого из первых п натуральных чи­ сел в среднем-приходится лишь Inп делителей.

Сумма делителей а(л)

Давайте найдем сумму делителей числа 360. Для этого можно просто просуммировать все элементы списка делителей.

Plus@@Divisors[360]

1170

Есть и еще один способ. Можно найти сумму первых степеней делителей.

DivisorSigma [1,360]

1170

Пример 8.9. График суммы делителей.

Давайте теперь построим график суммы делителей. Сначала мы используем функ­ ции Table и DivisorSigma для построения таблицы tl (точнее, списка) сумм дели­ телей первых п чисел.

tl= Table[DivisorSigma[1,k],{k,1,п=10Л3}];

Теперь можем использовать функцию ListPlot для построения графика.

ListPlot [tl, PlotRange->All]

А вот график для п = 100000.

400000

Обратите внимание на то, что все точки графика расположены не ниже прямой у = л\ поскольку в сумму делителей включается и само число. Если же само число не включать в сумму делителей, то программа и графики будут несколько иными.

tl= Table[DivisorSigma[ 1 , k ] - k , { k , 1,п=10Л3}]; ListPlot[tl,PlotRange->All]

2000

1 5 0 0

1000 [

5 0 0

А вот график для n = 100000.

3 0 0 0 0 0 г

Ниже приведен также график функции у = а(п)/п.

tl= Table[(DivisorSigma[1,к])/к,{к, 1,п=10л4}]; ListPlot[tl,PlotRange->All];

tl= Table[(DivisorSigma[1,k])/(k Log[k]),{k,2,п=10Л5}]; ListPlot[tl, PlotRange->All];

2

1 . 5

100000

0 . 5

Недостаточные, избыточные, совершенные и дружественные числа

Нумерология (или гематрия, как ее еще иногда называют) была распространенным увлечением у древних греков...

Делители или аликвотные части играли важную роль в нумерологии.

О . О ре. П ри гл аш ен и е в т еори ю чисел

Поскольку в Древней Греции числа изображались буквами греческого алфавита, каждому написанному слову, каждому имени соответствовало некоторое число. А раз так, можно было сравнивать свойства чисел, соответствующих именам людей, со свойствами (характером) человека. Было сходство или нет, достоверных исторических сведений нет, а вот б свойствах чисел, как мы уже не раз убеждались, есть сведения вполне достоверные, хотя и далеко не полные. Идеальными греки считали совершенные числа, т.с. натуральные числа, равные сумме своих натуральных делителей, меньших са­ мого числа. (Здесь следует отметить, что древние греки не считали само число его де­ лителем.) В некоторой степени это можно понять. Ведь если натуральное число равно сумме своих натуральных делителей, меньших самого числа, то можно сказать, что

оно равно сумме своих аликвотных частей. Перенесите это свойство на человека. Получится', что человек с этим свойством как бы самодостаточный, он сможет, по­ добно Робинзону, преодолеть длительную разлуку с родными, друзьями, сможет пре­ одолеть все стихии. (Ведь такой человек “равен сумме своих частей”.) Конечно же, поиску совершенных чисел уделялось огромное внимание. Но мы не станем останав­ ливаться на этом, поскольку, как доказал Эйлер, всякое четное совершенное число

имеет вид Р = 2Р~'-М , где Мр =2Л-1 — простое число Мерсенна. О том, что числа

такого вида являются совершенными, писал еще Евклид в IX книге “Начал”. Так что каждое простое число Мерсенна порождает четное совершенное число. И, конечно же, наибольший простой делитель каждого четного совершенного числа является про­ стым числом Мерсенна. Так что в некотором роде мы о четных совершенных числах знаем столько же, сколько о простых числах Мерсенна. Что же касается нечетных со­ вершенных чисел, то тут вполне уместен вопрос: а разве совершенные числа бывают нечетными, разве идеал может быть нечетным? Ответ на этот вопрос до сих пор неиз­ вестен. Не попытаться ли найти его с помощью системы Mathematica? Вполне воз­ можно, что система Mathematica может помочь найти ответ и на этот вопрос. Но пока лобовой атакой, даже при поддержке системы Mathematica, крепости Нечетных Совершенных Чисел не удастся не только взять, но и даже дойти до нее. Ведь как по­ казал автор одного из лучших учебников классической теории чисел Александр Адольфович Бухштаб, наименьшее нечетное совершенное число, если оно существует, имеет не менее двух с половиной тысяч цифр (в десятичной системе счисления). Для прямого перебора всех нечетных чисел это слишком много. Впрочем, всегда были смельчаки, которые пытались перебирать нечетные числа, используя те или иные до­ полнительные ухищрения. Еще в 1968 году Брайен Такерман из IBM подобрался, на­ пример, к 36-значным числам. К 1977 году всевозможные ухищрения позволили от­

браковать все числа до 1Q50 Если нечетные простые числа существуют, то они имеют

не менее 2800 различных простых множителей и имеют вид p4k+l -N2, где р — простое

число вида 4т+1, а УУвзаимно просто с р. Давайте же уточним нижнюю оценку коли­ чества цифр в наименьшем нечетном совершенном числе. Как только что было сказа­ но, такое число содержит не менее 2800 различных простых множителей, причем все они, кроме, возможно, одного, входят в степени не ниже 1. Поскольку рассматривае­ мое число нечетное, то 2 среди этих простых чисел отсутствует. Значит, чтобы полу­ чить нижнюю границу, мы можем возвести в квадрат произведение 2800 простых

произведении, т.е. на р ^ , = 25409. С системой Mathematica нет проблем.

nn=Product[Prime[i],{i,2,2801})Л2/Рг1те[2801]

4973254787509406869240826921472152426381032291422098433684681193114353

3312406979709690610128471100985155522976401438792613283990248447332753

6775194897820900627665170218255692344790576736809996650225791191494100

98708869518177495847846555011757 6364091606291501133261744...

Конец я опустил, потому что в полученном результате 21 892 цифры.

IntegerPart[Log[10,nn]]

21891

Это результат, которого еще никому не удалось достигнуть! Хотя вычисленное на­ ми число имеет вид р 4к* 1 N 2 , оно не совершенное, так как сумма всех его делителей, не считая самого числа, является числом, имеющим 21 893 цифры.

IntegerPart[Log[10,DivisorSigma[1,nn]-nn]]

21892

Значит, сумма всех делителей этого числа, не считая самого числа, больше самого числа. Число, сумма всех делителей которого, не считая самого числа, больше самого числа, называется избыточным. Иными словами, число п называется избыточным, если о(п)>2п. Честно говоря, несколько удивительно то, что это число оказалось из­ быточным. Сейчас объясню, почему. Давайтб найдем все избыточные нечетные числа, меньшие 100 000. Вот нужная нам программа.

Select[Range[1/10Л5,2],DivisorSigma[1,#]>(2*#) &]

{945,1575/2205,2835,3465,4095,4725,5355,5775,5985,6435,6615,6825,7245,

7425.7875.8085.8415.8505.8925.9135.9555.9765.10395.11025.11655.12285.1

2705,12915,13545,14175,14805,15015,15435,16065,16695,17325,17955,18585 ,19215, 19305, 19635, 19845,20475,21105,21735,21945,22275,22365,22995,232 05.23625.24255.24885.25245.25515.25935.26145.26565.26775.27405.28035.2 8215,28665,28875,29295,29835,29925,30555,31185,31395,31815,32175,32445 ,33075,33345,33495,33915,34125,34155,34965,35805,36225,36855,37125,374 85.38115.38745.39375.39585.40425.40635.41055.41895.42075.42315.42525.4 2735,43065,44415,44625,45045,45675,45885,46035,46305,47025,47355,47775 ,48195,48825,49665,49725,49875,50085,50505,50715,51765,51975,53235,538 65.54285.55125.55575.55755.55965.56595.56925.57645.57915.58275.58695.5 8905,59535,61215,61425,62475,63315,63525,63945,64155,64575,65205,65835 ,66825, 66885, 67095, 67275, 67725, 68145, 68355, 68985, 69615, 69825, 70455, 707 85,70875,71775,72345,72765,74025,74655,75075,75735,76545,76725,77175,7 7385,77305,78435,78975,79695,80325,80535,81081,81585,81675,82005,82215 ,83265,83475,83655,84105,84315,84525,84645,85995,86625,87885,88725,889 35,89505,89775,90405,91035,91245,91575,91665,92565,92925,93555,94185,9 4815,95445,95865,96075,96525,97335,98175,99225}

Как видите, первым нечетным избыточным числом является 945. А избыточных нечетных чисел, меньших 100 000, всего 210. Это очень мало! Так что нам очень по­ везло: первое встреченное нами число оказалось избыточным нечетным. Остальные нечетные числа, меньшие 100 000, являются недостаточными. (Число, сумма всех де­ лителей которого, не считая самого числа, меньше самого числа, называется недостач точным. Иными словами, число п называется недостаточным, если о(п)<2п.) Как много бедных, как мало богатых... Ох, простите, я хотел сказать как много чисел недостаточ­ ных, как мало избыточных среди нечетных чисел, меньших 100 000. Если через А(х) обозначить число избыточных чисел, меньших или равных х, то 0,1241х<у4(х)<0,314х, так что большинство чисел является недостаточным. Хотя существование предела от-

период? Ведь если бы такое случилось, то, с точки зрения древних греков, этот период был бы “самодостаточным”! Известны случаи, когда эта последовательность вообще постоянна. Конечно, это происходит в том случае, если п — совершенное число. Но совершенных чисел так мало, а опасных, дальних дорог (хотя бы за золотым ру­ ном) так много! На все дороги не напастись совершенных чисел. Может быть, в такие дальние путешествия можно отправлять не только совершенные числа, но и периоды из таких последовательностей? С точки зрения древних греков, думаю, неплохая идея. Но длинные периоды — многочисленные экипажи. А для многочисленных экипажей нужны очень большие суда. Другое дело постоянные последовательности. У постоян­ ных последовательностей длина периода равна 1. Но эти последовательности встре­ чаются, как мы знаем, весьма редко. (Только отчаянные смельчаки могут рискнуть

отправиться в дальнее одиночное плавание.) К тому же неизвестно, бесконечно ли их число. Затем идут последовательности, у которых длина периода равна 2. Есть ли та­ кие? Период таких последовательностей состоит всего из двух чисел, таких, что сумма делителей одного числа равна другому (напомним, что сами числа при подсчете суммы не учитываются). Фактически такой период является идеальной “супружеской” парой, в которой недостаток “чувств” (слагаемых) одного “супруга” (числа) компенсируется избытком “чувств” (слагаемых) другого. Такие пары чисел называются дружественными. Иными словами, пара (а, Ь) различных натуральных чисел офЬ называется дру­ жественной, если а(а)—а = b, а о(Ь)—Ь = а. Увы, грекам не повезло: они знали лишь одну дружественную пару: 220 и 284. Лишь в 1636 году (письмо Мерсенну датировано 24 июня) Пьеру Ферма удалось найти еще одну: (17296, 18418). А сколько сможем найти мы? С помощью системы Mathematica, разумеется. Попробуем. Сначала опре­ делим функцию, определяющую, есть ли у избыточного числа а недостаточный “супруг”. Заметьте, что избыточное число всегда меньше своего недостаточного “супруга”. Вот нужная нам функция.

Friend[n_] :=Module [{t), If [(t=DivisorSigma [1,n] -

n) >n, If [DivisorSigma [1, t] -t==n, t, 0], 0] ]

Эта функция находит большего (значит, недостаточного) “супруга”, если он есть, и “рекомендует” число 0, если большего “супруга” нет. Осталось определить, что мы будем печатать, и запустить перебор. Давайте печатать номер найденной пары, ее из­ быточное (меньшее) число, его каноническое разложение, а затем недостаточное (большее) число и его каноническое разложение.

prn:=Print[n,":",а,":",FactorInteger[а],":", b, ":", FactorInteger[b]]

Запускаем перебор.

For[п=0;а=1,а<10л7,а++,If[(b=Friend[a])>0,n++;prn]]

Результаты перебора оформляем в виде таблицы (табл. Б.36).

Как видно из таблицы, в пределах первой тысячи есть только одна дружественная пара (220, 284) — та, которую знал еще Пифагор! В пределах первых десяти тысяч есть всего лишь 5 дружественных пар, а в пределах первых ста тысяч их только 13. Не удивительно, что поиск дружественных чисел напоминал охоту за редкой дичью. Недостижимым чемпионом долгое время был Эйлер. Его рекорд побил бельгиец Поль Пуле* который в Брюсселе в 1929 году издал двухтомную монографию по теории чи­ сел под многозначительным названием “La chasse aux nombres” (“Охота за числами”). Кроме всего прочего, в ней приведены 62 новые пары дружественных чисел. Пуле (как ранее Лежандр и Чебышев) пошел по пути открытия новых критериев простоты чисел. Значительная часть его исследований посвящена развитию идей французского математика Люка, открывшего в высшей степени эффективные критерии простоты.

Новый “мировой рекорд” установил американец Э. Эскотт, а затем рекорд пере­ шел к его соотечественнику Элвину Дж. Ли. По существу, они также пользовались методами Эйлера, хотя и в усовершенствованной форме. Правда, Ли нарушил правила спортивного соревнования — он был первым, кто прибегнул в столь больших масшта­ бах к помощи ЭВМ. Зато он нашел 390 дружественных пар! Весьма любопытна таб­ лица “чемпионата” (табл. Б.37).

Наконец, использованный нами метод перебора был применен в Йельском уни­ верситете на IBM 7094, — там были проверены все числа до миллиона, и было обна­ ружено, что в пределах миллиона имеется всего 42 дружественные пары. При этом были найдены (в небольшом количестве, правда) ранее неизвестные пары.

Снаступлением эры ЭВМ появилась новая возможность, о которой Эйлер не мог

ипомышлять, — заставить машину перебирать все числа подряд, пока хватит машин­ ного времени. Конечно, нашлись люди, которые только и ждали, когда появится

возможность производить громадные вычисления. Они занимались ими в течение двух лет, не считаясь с затратами, и добрались до десятизначных чисел. (По некото­ рым сведениям еще до 1968 году путем перебора с некоторыми ухищрениями поиски пар дружественных чисел разной четности были проведены до трех миллиардов, но результатов не дали.) Некоторые квалифицировали это как грубый нажим конкурен­ тов на таких тонких и искусных ловцов чисел, какими были Эйлер, Пуле и Ли. Как к этому относиться? Блюстители “чистоты” спортивных соревнований даже сравнивают тонких и искусных ловцов со страстными рыболовами-любителями, неожиданно за­ мечающими у ручья людей, которые просто осушают русло и затем спокойно собира­ ют рыбу! Впрочем, при этом обнаружилось, что рыболовы удили весьма успешно и выловили почти всю рыбу, так что “браконьерам” досталась лишь довольно скромная добыча. Впрочем, те из блюстителей чистоты спортивных традиций, которые сами были успешными рыболовами, сознались, что они тоже... Нет, упаси Боже, они не подходили к пульту ЭВМ, они просто просили (я бы сказал истошно взывали) других людей найти простые числа в довольно длинной последовательности чисел опреде­ ленного вида...

Как же получилось так, что дружественные пары открывались не последовательно, а “вразброс”? Почему после пары Пифагора (220, 284) Пьер Ферма нашел пару (17296, 18418), пропустив, как видно из нашей таблицы, сразу 6 пар? Оказывается, Пьер Ферма (и Ренэ Декарт) открыли способ получения дружественных чисел (правило), который знал арабский математик, врач и астроном Сабит (тот самый абуХасан Сабит ибн Корра ибн Марван аль-Харани) еще в IX веке. Этот способ получе­ ния дружественных чисел звучит на современном языке так.

При л = 2 получается пара чисел, найденная Пифагором. Однако теорема Сабита дает дружественные числа и при других п, например при « = 4 и w = 7. С помощью “вульгарного” применения ЭВМ блюстители чистоты спортивных традиций обнару­ жили, что этими тремя случаями исчерпываются все значения п<20 000, при которых

все три числа р = 3*2я-1 —1, q = 3*2" —1 и /* = 9-22”-1 —1 — простые. Иными словами, для п<20 000 указанный способ дает дружественные числа только при п = 2, п = 4 и п= 7. Использовал ли сам Сабит свою теорему для отыскания дружественных чисел при /2>2, неизвестно. Открытие второй (/2= 4) и третьей (п = 7) пар дружественных чисел приписывалось ранее Ферма и Декарту соответственно. Однако в одном из трактатов марокканского ученого ибн аль-Банны (1256—1321), сына архитектора, бы­ ли обнаружены следующие строки: “Числа 17296 и 18416 являются дружественными; одно из них избыточно, другое недостаточно. Аллах всеведущ”

С течением времени формулы, предложенные Сабитом, были забыты, а его книгу открыли заново лишь в XIX веке. Впрочем, многие античные и арабские ученые, а также ученые средневековья посвящали в своих трактатах одну из глав совершенным и дружественным числам. Однако большей частью в этих трактатах было мало новых сведений и много ошибок. Правда, очень удивляет то поразительное единодушие, с которым авторы этих сочинений настаивают на возможности практического исполь­ зования дружественных чисел. Например, ибн Хальдун прилагает к своему трактату руководство по изготовлению талисмана дружбы, а мадридский ученый аль-Маджрити (ум. в 1007 г.) приводит рецепт, позволяющий добиться взаимности в любви: надо за­ писать на чем-либо числа 220 и 284, меньшее дать съесть предмету страсти, а большее съесть самому; ученый добавляет, что действенность этого способа он проверил на себе.

Пьер Ферма в 1636 году и Ренэ Декарт в 1638 году независимо друг от друга вновь открыли формулы Сабита. О датах и обстоятельствах этих открытий имеются самые точные сведения, потому что Ферма и Декарт написали Мерсенну, который в преди­ словии к своей ближайшей книге (Les nouvelles pensees de Galilee (1639)) назвал их от­ крытие крупным достижением гениальных математиков. (Между прочим, в ходе своих исследований Ферма и Декарт вывели формулу, дающую сумму делителей числа по его представлению в виде произведения степеней простых чисел. Можно ли сомне­ ваться, что Мерсенн ее знал?)

Так вот, Вальтер Боро, один из тех весьма удачливых рыбаков, что сознались в том, что просили других вычислителей (Херман те Риле был наиболее удачливым из них) посчитать кое-что на ЭВМ, придумал вот что. Раз способ Сабита дает столь мало дружественных пар, значит, нужно придумать целую серию таких правил. С этой це­ лью он придумал свой рецепт.

Рецепт Вальтера Боро. Если для пары дружественных чисел вида А = а • и и В = a s числа s и р = и + 5+1 являются простыми, причем а не делится на /?, то при

Числа 5=71 и р = и + s+ 1 = 55 + 72 = 127 — простые. Поэтому можно использо­ вать указанное правило. При п = 1 числа qx = (u + l)pn+l- \ и q2 = (м + 1)(5+ 1)//-1 не являются простыми, но уже при л = 2 мы получаем пару дружественных чисел

В, = 220-1272 *903223, В2 = 4-1272 - 65032127.

Эти довольно большие числа, полученные из пары (220, 284) почти без всяких вы­ числений, не были известны до открытия “рецепта”!

Здесь также числа s = 2699 и р = и + 5+ 1 = 5281 являются простыми. Таким обра­ зом, по этой паре Эйлера тоже можно построить соответствующее “правило Сабита-

Рецепт работает! Но как его нашел Вальтер Боро? Он решил искать дружественные пары, в которых оба числа имеют вид В.=Ь( рп q{ с простыми ру q, и q2 (/= 1 , 2).

Иными словами, выбираются и фиксируются три числа Ь,, Ь2, ру и при каждом п = 1,

_ Д _ h n" л

1 =

Замечаем, что при л->°° числа qx и q2 также стремятся к бесконечности. Таким образом, переходя в последнем равенстве к пределу при п —> ©о, получаем основное уравнение

появилось число 220, само являющееся дружественным. Случайность? Но Вальтер Боро не очень верит в случайности. Он начал искать причину и нашел указанный выше общий “рецепт”, позволяющий по уже известным дружественным числам строить правила типа правила Сабита, дающие новые пары дружественных чисел.

Далее в литературе он нашел по меньшей мере 67 пар дружественных чисел тре­ буемого вида. Для 22 из них число р = ы+$+1 действительно оказалось простым. Тем самым он нашел сразу 22 “сабитовых правила”. В 1972 году он опубликовал их в жур­ нале Mathematics of compuputation вместе с пояснениями и численными примерами с наименьшими возможными числами. В том же журнале он обратился с призывом к специалистам по простым числам ...просчитать дальнейшие примеры на ЭВМ.

Правда, вначале одно из больших чисел <?, и q2 все время оказывалось составным. Но второго октября 1972 года Херман те Риле сообщил, что по формуле, приведенной

здесь подразумевается такое число q , для которого выполняется сравнение малой тео­ ремы Ферма, т.е. q Делит ач~] -1 при некотором а>1). Такие числа не обязательно яв­ ляются простыми, однако это весьма вероятно. А через четыре дня Херман те Риле сообщил, что критерий Люка-Лемера дал положительный результат — оба числа про­ стые. Таким образом и была обнаружена пара 152-значных дружественных чисел.

А = 902364 653062331306651552015926870786444130454856900389615403605363 7199325828701918575958034527470049927532312907033323382678406756073892 0615666452384945

и

В = 8625937 66501435963876909538187871666597148408883577742813835816831 0226466591332953316225686836496477472706738497312958088536838410991321 4991276380031055

Число А имеет 800 различных делителей, а число В — 3200.

DivisorSigma[0,А]

800

DivisorSigma [0,В]

3200

Простым перебором эту пару, конечно, не найти. Система Mathematica позволяет в мгновение ока найти канонические разложения чисел этой пары.

А = 34х5х11X 528119х 37577439509969513603390993882780292340313930788970942 2574877650553133261979399

И

В = 34Х5Х11Х29Х89Х52811ЭХ139 1 7 5 7 0 1 8 8 8 7 7 5 9 7 6 3 0 8 85553289918626792708863255

174 4 2 3 0 5 8 3 2 8 8 0 1 8 7 2 3 3 8 2 6 8 9 6 2 1

Ну, теперь хоть можете узнать те сомножители, которые эта пара “заимствовала” у пары Эйлера? Без системы Mathematica их бы без усилий не найти!

Резюме

В этой главе знакомство с важными числовыми функциями мы начали с функции Эйлера <р(т), дающей количество классов приведенной системы вычетов. Эта функция удовлетворяет сравнению a9im) = l(modm). Однако наименьшее натуральное число,

удовлетворяющее сравнению axsl(modm) для всех а, взаимно простых с т, доставля­

ет функция Кармайкла Х(т). Эти функции связаны с каноническим разложением ар­ гумента. По каноническому разложению аргумента легко также вычисляется и функ­ ция Мебиуса р(т), отличная от нуля только в том случае, если ее аргумент свободен от квадратов, т.е. представляет собой произведение (возможно, пустое) различных про­ стых чисел. Наконец, рассматривая функции, связанные с каноническим разложением аргумента, мы особо выделили функции, связанные с делителями. Функция Divisors позволяет найти все делители числа, а функция DivisorSigma — сумму к-х степеней всех делителей с к(п) . При к = 0 получается количество делителей т(л), а при к = 1-

сумма делителей о(л). Изучая случай к = 0, т.е. количество делителей т(л), мы обрати­ ли внимание на сверхсоставные числа. Рассматривая же случай к = 1, т.е. сумму дели­ телей т(л), мы нашли, что числа бывают недостаточные, избыточные, совершенные и дружественные. Но даже обсудив совершенные числа и дружбу между числами, мы решили далеко не все задачи элементарной теории чисел. (Сальвадор Дали сказал бы: мы не достигли совершенства.) Но эта книга предназначена для первого (хотя и серь­ езного) знакомства с системой Mathematica. И потому пришло время обратить свой взор не только на дружбу чисел, но и на те разделы математики, с которыми так дружна теория чисел. Иными словами, на все остальные разделы математики. И раз уж мы вспомнили об искусстве, предварим свое знакомство с возможностями системы Mathematica в других разделах математики коротеньким разговором об искусстве по­ строения графиков.

Задачи

Задача 8.1. Наименьшее число, имеющее 18 делителей. Найдите наименьшее число, имеющее 18 делителей.