книги / Mathematica 5. ╨б╨░╨╝╨╛╤Г╤З╨╕╤В╨╡╨╗╤М

сказывается не только увеличение л, но и увеличение временных затрат на нахожде­ ние наибольшего общего делителя больших чисел.

Пример 6.4. Наибольший общий делитель чисел, запись которых в десятичной систе­ ме состоит из т единиц и л единиц. Как известно, наибольший общий делитель чисел, запись которых в десятичной системе состоит из т единиц и л единиц, является чис­ лом того же вида, причем количество единиц в нем равно d = НОД(л, т). Выясним, сколько времени системе Mathematica понадобится для проверки этого утверждения для л, /л, не превосходящих 1000.

Вот нужные нам определения.

a l l l [ n j := (10Лп-1) /9 d:= GCD[n, т]

Теперь можно написать и программу.

Проверка в пределах первой сотни занимает всего лишь 0,234 секунды, хотя при этом наибольшее число указанного в условии вида имеет 100 цифр! Проверка же в пределах первой тысячи у меня потребовала в 200 раз больше — 46,594 секунды. Что­ бы выполнить проверку в пределах первых пяти тысяч, потребуется 6879,67 секунды.

Пример 6.5. Наибольший общий делитель чисел ап-1 и ат- 1. Как известно, наи­

больший общий делитель чисел ап-1 и ат- 1, запись которых в системе счисления с

основанием а состоит из л цифр а - 1 и из т цифр а - 1 , является числом того же ви­

да, причем количество цифр а - 1 в нем равно d = НОД(л, т). Выясним, сколько вре­ мени системе Mathematica понадобится для проверки этого утверждения для л, /л, не превосходящих 1000.

Вот нужные нам определения.

ааа[а__,п_] :=алп-1 ; d:= GCD[n, m]

Теперь можно написать и программу.

Do [

Do[

Do[

If[GCD[aaa[n,a], aaa[m,a]] !=aaa[d], P r i n t [ n , " :",m ]] , {m,n-1} ] ,

{n,100} ] ,

{a, 100} ] //Timing

Для выполнения этой программы потребуется 19,797 секунды. Весьма впечатляю­ щий результат!

Пример 6.6. Наибольший общий делитель чисел Фибоначчи. Проверим, что наи­ больший общий делитель л-го и /л-ro чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с номером */=НОД(л, т). Инымй словами, проверим, что НОД (Fibonacci [п], Fibonacci [m]) = Fibonacci [НОД (n,m) ]. Выясним, сколько времени системе

Mathematica понадобится для проверки этого утверждения для л, /л, не превосходящих

1000.

Вот нужное нам определение.

d:= GCD[n, m]

Теперь м ож но написать и программу.

Do[

Do[

If[GCD[Fibonacci[n], Fibonacci[m]]!= Fibonacci[d],

Print[n,":",m]]

, (m,n-1}],

{n,1000}]//Timing

Для выполнения этой программы потребуется всего лишь 15,75 секунды.

Наибольший общий делитель в поле рациональных чисел

Наибольший общий делитель в кольце гауссовых чисел

Ф ункция GCD может найти наибольший общ ий делитель не только в кольце целых

чисел, но и в кольце целых гауссовых чисел.

G C D [21+28I, - 3 3 - 4 4 1 ] 3+4 I

Линейное представление наибольшего общего делителя — функция ExtendedGCD

В ряде задач необходим о найти не только наибольш ий общ ий делителЪ несколько

чисел, но и его представление в виде линейной комбинации этих чисел. Именно эту задачу решает функция ExtendedGCD. Функция ExtendedGCD [ /г,, п 2 , ...] возвращает

список {д , { гх , г2 , ...}}, такой, что g = GCD[ л ,, г ^ , ...] и g = щ + г2н2 + ... .Вот при­ меры.

{д , { г , s } }= E xten d ed G C D [n = 45,т= 36] { 9 , { 1 / - 1 } }

{д, {г, s } } = E x te n d e d G C D [2100 + 3 , З50 + 8]

{ 1 , { 6 2 0 1 3 7 8 2 8 9 2 3 5 1 7 7 8 7 5 0 3 7 4 , - 1 0 9 5 0 2 7 5 7 2 9 0 9 9 2 4 7 3 8 2 1 7 6 1 1 3 0 7 8 5 } }

Пример 6.7. Единица как линейная комбинация чисел Ферма. Так как числа Ферма являются взаимно простыми, их наибольший общ ий делитель равен единице. Выяс­ ним, как единица представляется в виде линейной комбинации соседних чисел Ферма.

Вот нужная нам функция.

Fer matNumber [ п _ ] : = 2 А ( 2 лп ) +1

Теперь м ож но написать и программу.

D o [ P r i n t [ n , " : " , E x te n d e d G C D [Ferm atNum ber [ n + 1 ] , Ferm atNum ber [n] ] ] , {n , 10} ]

Результаты запишем в виде таблицы (табл. Б.ЗО).

Заметьте, что в таблице при п>1 числа гп заканчиваются цифрой 8, а числа sn —

2т -1 при взаимно простых п и т . Выясним, до какого номера п (предполагая, что т<п) система Mathematica сможет в приемлемое время проверить взаимную простоту этих чисел.

Вот нужная нам функция.

fn[nj :=2Лп-1

Теперь можно написать и программу.

Результаты запишем в виде таблицы (табл. Б.31).

Заметьте, что довольно часто в данной таблице встречается пара г = 1, s = —2. Это не случайно, поскольку при п = т+ 1 выполняется равенство - ( 2п- l) + 2 ( 2 m-1) = -1.

Пример 6.9. Линейное представление наибольшего общего делителя чисел, десятичная запись которых состоит из т единиц и п единиц. Наибольший общий делитель чисел, десятичная запись которых состоит из т единиц и п единиц, является числом того же вида, причем количество единиц в нем равно d = НОД(л, т). Выясним, как он пред­ ставляется в виде линейной комбинации.

Вот нужные нам определения.

all1[n_]:= (10лп-1)/9 d:= GCD[n, m]

Теперь можно написать и программу:

Do [

Do [

Print[n," m,":", ExtendedGCD[alll[n], alll[m]]] / {m,n-1}]

{n,10}]

Результаты представлены в табл. Б.32.

Заметьте, что десятичная запись чисел г и s в данной таблице содержит только цифры 0 и 1. Я не удивлюсь, если вы предположите, что это связано с наличием не­ которых полиномиальных тождеств и потому значения г и s получаются в результате подстановки 10 (основания системы счисления) в них. Например, строку таблицы

представление в любой системе счисления, а не только в десятичной! Конечно, нали­ чие строки в таблице еще не означает автоматически тождественную справедливость соответствующего равенства, это лишь означает, что соответствующее равенство справедливо при х = 10. Поэтому вполне возможно, по крайней мере теоретически, что нам просто повезло. Если говорить честно, так оно и есть. Дело ведь в том, что по равенству d = ra+sb (<d = НОД(д, b)) числа г и s определяются неоднозначно: если d = ra+sb, то d = (r+b)a+(s—a)b и d = (r^b)a+(s+a)b. Иными словами, если d = ra+sb, то d= r'a+s'b (при r'= r+b и s,= s-a) и d — r"a+s"b (при r" = r~b и s” = s+a). Так что наличие строки еще не означает наличие тождества. Но, с другой стороны, числа г и j определяются однозначно, если на них наложить ограничения \г\<Ь и |.у|<д. Болес

того, все пары значений г и s можно получить, несколько раз выполняя переход от какой-либо пары фиксированных значений г0 и s0 к новой паре значений по

правилам г = г+b и s’= s—a или г = г -b и ^' = s+a.

Конечно, наличие полиномиальных тождеств сомнений не вызывает, ведь наи­

венство d(x) = г(х)я(х)+.у(х)6(х). Более того, полиномы г(х) и s(x) можно выбрать так, чтобы deg г{х)<т и deg s(x)<n. Проблема, собственно, состоит вот в чем. По числам а

и b мы без труда восстановили полиномы а(х) = хя1 +хя"2 + х я"3+ ... + Х +1 к

b(x) = xw4+xm~2+ xm~3 + ...+x + l , но можем ли мы так же просто восстановить и по­ линомы г(х) и J (X)?

Предположим теперь, что для равенства d = ra+sb (d = НОД(я, b)) с \r\ <b и |j| <a

мы написали равенство полиномов того же типа, что и приведенное выше. Запишем

полином степени не выше т+п. Тогда, как известно, чтобы проверить написанное равенство, достаточно проверить его при т+п+1 значении х. (Конечно, такую проверку совсем несложно запрограммировать в системе Mathematica.) Но можно поступить и иначе. Достаточно убедиться, что представление г и s будет одинаковым для т+п+1 значений основания системы счисления. (Ведь фактически это будет означать, что равенство полиномов степени не выше т+п выполняется при т+п+1 значении х.) Именно таким способом мы и поступим в следующем примере. (Вопрос о том, есть ли среди найденных представлений такие, которые основаны не на полиномиальных тождествах, намеренно оставляю открытым. Впрочем, вот подсказка: ответ знают некоторые студенты мехмата уже на первом семестре. Я, конечно, совсем не имел в виду, что это написано в учебниках или обязательно излагается на лекциях но догадаться можно.)

/

Пример 6.10. Линейное представление наибольшего общего делителя чисел a* -vl и

ам- 1. Наибольший общий делитель чисел ап -1 и ат- 1 , запись которых в системе

счисления с основанием а состоит из п цифр а - 1 и из т цифр а - 1 , является чис­

лом того же вида, причем количество цифр а - 1 в нем равно d = НОД(л, т). Выяс­

ним, как наибольший общий делитель чисел а" - \ и ат-1 представляется в виде их линейной комбинации.

Вот нужные нам определения.

ааа[а_, п_] :=аАп-1; d:= GCD[п, гп]

Теперь можно написать и программу. Нужно только не забыть о том, что пред­ ставление г и s лучше всего получить в системе счисления с основанием а. Для этого вполне подойдет функция integerDigits. Она, правда, теряет знак числа, так что егопридется печатать отдельно.

Do [ Do [

Do [

{{g,{r,s}}= ExtendedGCD[aaa[a,n], aaa[a,m]], Print ["###", n, m , d , a, If[g<0,Print!"-"]], Print[IntegerDigits[g,a], ":"], If[r<0,Print["-M]], Print[IntegerDigits[r,a], ":"], If[s<0,Print["-"]], Print[IntegerDigits[s,a]] }

, {a,2,n+m+2}], {m,n-l}],

{n,10} ]

Заметьте, что в программе вставлена печать ### для удобства форматирования ре­ зультатов.

Скажу сразу, что более скучной таблицы я, наверное, никогда не видел! И все из-за удивительного постоянства г и 5! Представление г и s выглядит одинаково в системах счисления с разными основаниями, и потому их представления просто повторяются во многих строках! Это значит, что представление наибольшего общего делителя дей­ ствительно основано на полиномиальных тождествах вида d(x) = г(дс)д(х)+5(х)й(х), причем полиномы г{х) и s(x) легко восстанавливаются по числам г и 5! Конечно, я из­ бавлю вас от демонстрации всего этого и просто приведу некоторые наиболее характер­ ные строки таблицы. Разумеется, большинство строк я опустил, и таблица содержит пропуски. Они обозначены строками с многоточиями. Чтобы развеять сомнения, дос­ таточно взглянуть вот на это.

Линейное представление наибольшего общего делителя чисел а" —1 и ат— 1

НОД= r ( a n- l ) +s ( a m- l)

Честно говоря, возникает желание избавиться от этого назойливого повторения. Как это сделать? Для этого придется переделать программу. Но чтобы программа не

была слишком длинной, лучше переписать ее. Прежде всего, к уже имеющимся опре­ делениям

ааа[а_ ,п _ ]:= аЛп-1; d:= GCD[п, гп]

добавим еще два для печати.