книги / Прикладная теория систем массового обслуживания.-1
.pdf
Величина г\ характеризует интенсивность уходов заявок из системы (не дожидаясь обслуживания). Интенсивность потока заявок равна X.
В любой момент времени t рассматриваемая система может нахо диться в одном из следующих состояний:
х0 - в системе нет ни одной заявки (свободны все каналы); Х\ - одна заявка находится в системе, она обслуживается одним (лю
бым) из п каналов; ха- ровно к заявок (1 < к< п ) находятся в системе, все они обслужи
ваются (каждая заявка одним каналом); хп- ровно п заявок обслуживается п каналами.
Граф возможных состояний такой системы изображен на рис. 3.3.
X |
п . л, |
К |
|
Л |
Л, Л, |
К |
|
|
|
------------^ |
^ |
||
|
|
|
|
|||
-------------> |
|
------------7 |
|
s ' |
||
|
ХА |
|
Х к + 1 |
1 |
||
*0 |
|
< |
|
^------------ |
< ------------- |
|
< ------------- |
< г |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ц (Ж )р |
k \i |
|
(Ж )р * |
(к + 2)р (л-1)ц |
иц* |
Рис. 3.3. Граф состояний системы ПРО с отказами и упорядоченным обслуживанием
Система уравнений стационарного режима и пуассоновских входно го и обслуживающего потоков имеет следующий вид:
- ХРо + р * Р\ —О, |
|
- (X + к\х. *)Рк + ХРк_1+ (к + l)p * +Рк+\ =0, |
0 < к< п, |
-п\1*р„+ ХР„.х= 0. |
|
Вероятности состояний могут быть найдены по следующим форму-
лам:
|
|
|
Р(к,а*) |
|
|
|
к = 0,1,2,..., и, |
|
|
|
к ~Я(п,а*У |
где |
X |
X |
и Л (л,а*) - табличные функции пуассо- |
а* = ------ = — ; Р(& ,а*) |
|||
|
р + Л |
р* |
|
новского распределения.
Основные характеристики определяются следующим образом: 1. Вероятность обслуживания заявки
2.Среднее число занятых каналов
. Л (я-1,а*)
к
Л(п,а*) ’
откуда
Ц |
. /г(и -1,а*) |
ц |
Л (и -1,а*) |
обс X |
R(n,a*) |
ц + т) |
Л (и ,а *) |
3.Плотность потока обслуженных заявок
=PofkX = \ia.* R (n - 1,а*)
Л(и,а*) '
4.Вероятность того, что канал (любой) будет занят,
кa * R (n -l,a * )
зк п п R(rt,a*)
5. Время занятости канала по условию распределено по показате ному закону с параметром р*. Следовательно, среднее время занятости канала
t
J
Ц * ’
6. Среднее время простоя канала
- 1 - 71т V
= *ТIf/ -------2JS. •
7.Среднее время, в течение которого заняты все каналы,
1
л р *
Пример 3.1. Система ПРО с отказами и упорядоченным обслужива нием характеризуется следующими данными:
- скорострельность каждой пусковой установки ц = ^ 1/мин;
- вероятность поражения цели одной ракетой р = 0,570;
- станция наведения обеспечена двумя пусковыми установками fe = 2);
-длина полосы обстрела а = 35 км;
-скорость налетающих ракет и = 1300 км/ч;
-средний линейный интервал между ракетами / = 7 км;
-общее число каналов наведения п = 2.
Определить вероятность поражения цели и другие характеристики
ПРО.
Решение. Рассчитаем параметры работы системы:
p = gjlp = 0,380 1/мин,
т\ = — =0,620 |
1/мин, |
а |
|
Ц*= |1 + Г) = 1 |
1/мин, |
Х = у = 2 1/мин,
Тогда на основании вышеприведенных формул получим:
_ |
ц |
Л (я -1 ,а » )_ 022 - |
ГОбе - |
* |
D/ |
|
|i* |
Л(л,а*) |
^ = ^ 0 б Л |
= 1>18) |
|
и |
|
|
лзк = - = 0,59, |
||
|
п |
|
|
1 |
1 |
= — = 1 мин, |
||
гпк = r3K |
= о,695 мин. |
|
Исходные данные для курсового проектирования приведены в табл. 3.1.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.1 |
|
Номер |
И, |
Р |
Я |
а, |
и, |
/ |
л |
Расчетные |
|
вар. |
1/мин |
|
|
км |
км/ч |
|
|
характери |
|
1 |
1/3 |
0,51 |
2 |
30 |
1200 |
7 |
2-4 |
стики |
|
|
|||||||||
2 |
1/2 |
0,55 |
3 |
35 |
1300 |
8 |
3-5 |
^з.к>^з.к>^п.к |
|
3 |
1/4 |
0,57 |
4 |
40 |
1400 |
9 |
2-4 |
к »Лз.к, Робе |
|
4 |
1/3 |
0,62 |
4 |
45 |
1500 |
6 |
3-5 |
Робе,^0 *^з.к |
|
5 |
1/2 |
0,65 |
2 |
45 |
1600 |
5 |
2-4 |
^0) Я,.к, tfl к |
|
6 |
1/4 |
0,51 |
3 |
40 |
1700 |
5 |
3-5 |
Робе» ТСз.т ^п.к |
|
7 |
1/3 |
0,55 |
3 |
35 |
1800 |
6 |
2-4 |
Jr f t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#V>, 3.K>*II.K |
|
8 |
1/2 |
0,57 |
2 |
30 |
1900 |
7 |
3-5 |
^ »Робе» Я3.к |
|
9 |
1/4 |
0,62 |
4 |
30 |
2000 |
8 |
2-А |
Лз.к. /з.к>*п.к |
|
10 |
1/3 |
0,65 |
4 |
35 |
1200 |
9 |
3-5 |
Роба ^о>^з.к |
|
11 |
1/2 |
0,51 |
3 |
40 |
1300 |
5 |
2-4 |
^обс»^0 |
|
12 |
1/4 |
0,55 |
2 |
45 |
1400 |
6 |
3-5 |
||
Робе, ^0>^з.к |
|||||||||
13 |
1/3 |
0,57 |
2 |
30 |
1500 |
7 |
2-Л |
^0»^з.к>^п.к |
|
14 |
1/2 |
0,62 |
3 |
35 |
1600 |
8 |
3-5 |
Робе,^з.к» ^п.к |
|
15 |
1/4 |
0,65 |
4 |
40 |
1700 |
9 |
2-4 |
^ >Робс> 7Ч.К |
3.2.Система противоракетной обороны
счастичной взаимопомощью между каналами
При рассмотрении ПРО взаимопомощь между каналами состоит в том, что одну цель могут одновременно обстреливать / каналов, при этом эффективная скорострельность увеличивается в / раз.
Рассмотрим л-канальную СМО, на вход которой поступает простей ший поток заявок с плотностью X. Плотность простейшего потока обслу живания каждого канала равна р. Если поступившая на обслуживание за явка застает все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одновременно / каналами (/ < л). При этом поток обслу живания одной заявки будет иметь интенсивность /р.
Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе одну заявку, то при л > 2/ вновь прибывшая заявка принимается к обслужива нию и обслуживается одновременно / каналами.
Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе i заявок (/ = 0,1,...), при этом (/ + 1)/ < л, то эта заявка будет обслуживаться / кана
лами с общей производительностью /р. Если вновь поступившая заявка за стает в системе j заявок и при этом выполняются совместно два неравенст ва: (/' + 1)/ > п иу < п, то заявка принимается на обслуживание. В этом слу чае часть заявок может обслуживаться / каналами, другая часть меньшим, чем /, числом каналов, но в обслуживании будут заняты все п каналов, ко торые распределены между заявками произвольным образом. Если вновь поступившая заявка застанет в системе п заявок, то она получает отказ и не обслуживается. Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до кон ца («терпеливые» заявки).
Граф состояний такой системы показан на рис. 3.4.
/V |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
X. |
|
|
|
¥ |
2/|д |
//ц |
(1+1)/ц Л/цhl[L |
П\1 |
W |
п» |
Рис. 3.4. Граф состояний СМО с отказами и частичной взаимопомощью между каналами
Заметим, что граф состояний системы до состояния хи с точностью до обозначений параметров потоков совпадает с графом состояний класси ческой системы массового обслуживания с отказами.
Следовательно,
р, |
'х_ |
0 = 0,1,...,/>)• |
Начиная от состояния */, и кончая состоянием х„, граф состояний сис темы совпадает с точностью до обозначений с графом состояний СМО с полной взаимопомощью. Таким образом,
|
|
X V-* |
|
|
PJ = |
|
А . |
Введем обозначения X/ /р = р/; XI ир = х> тогда |
|||
|
|
|
(* = 0,1,2,...,/»), |
А = |
|
|
(ft = h,...,n). |
k-hPl_ |
PQ |
||
1 |
ft! |
|
|
С учетом нормировочного условия получаем
|
P(k,Pl) |
(A = 0,...,A), |
|
n-h |
|
|
|
|
R(h,pi) + P(h,p,)x 1 - x |
|
|
|
1 - Х |
|
Pk=\ |
|
|
|
X * ~ ^ . P / ) |
Vе = h.... «)• |
|
— ^ h |
|
Л(Л,р,) + /5(Л,р,)х 1 - х 1 |
|
|
|
1 - Х |
|
Для сокращения дальнейшей записи введем обозначение |
||
|
1 |
при X * 1. |
|
n-h |
|
|
R(h,p,) + P(h,p,)x 1 - Х |
|
а = < |
1 - Х |
|
|
при х = 1- |
|
|
R{h,pi)+p (h,pi)(n-h) |
|
Найдем характеристики системы: |
|
|
1. Вероятность обслуживания заявки |
|
|
|
P ^ c = \ - P n = l - a x n-hP(h,p,). |
|
2. Среднее число заявок, находящихся в системе, |
||
1 = ap,R(h - 1,Р/) + aP(h,p,) - ^ Ц г [l + А(1 - |
х) - х"_А {«(1 - X) +1 |
|
|
( 1 - х ) |
|
3.Среднее число занятых каналов
к= / a p,R(h - 1,р,) + naP(h,p, )х-Ц ^— .
1- Х
4.Вероятность того, что отдельный канал будет занят,
к
5. Вероятность занятости всех каналов системы
aP(h,Pl)X— Ъ— ъ
1-Х (и - h)(n + Л +1)
2
п - h + 1,
1 _ X"-A+1
*P(h,Pl)x — ;ь-------, i - x
/ |
П |
h < T |
|
/ |
л |
А<У |
|
i' с ll s:- |
|
« Я Л- 7
x * i.
X = 1»
Х= 1.
’X56!
Аналогичным образом могут быть определены и другие характери стики системы.
Исходные данные для курсового проектирования приведены в
табл. 3.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.2 |
|
Номер |
1/мин |
Р |
<7 |
/ |
а, |
V), |
I |
п |
Расчетные |
|
вар. |
|
|
|
км |
км/ч |
|
|
характеристики |
||
1 |
1/3 |
0,65 |
2 |
2 |
45 |
1200 |
9 |
2-4 |
к* Робс>^“0 |
|
2 |
1/2 |
0,62 |
3 |
3 |
40 |
1300 |
8 |
3-6 |
||
^з.к»^з.к >^и.к |
||||||||||
3 |
1/4 |
0,57 |
4 |
2 |
35 |
1400 |
7 |
2-4 |
£ »ТСз.К» Робе |
|
4 |
3/4 |
0,51 |
4 |
3 |
30 |
1500 |
6 |
3-6 |
Робе,^о>^з.к |
|
5 |
1/3 |
0,51 |
2 |
2 |
30 |
1600 |
5 |
2-4 |
^ 0»Яз.к, /п к |
|
6 |
1/2 |
0,57 |
3 |
3 |
35 |
1700 |
5 |
3-6 |
Робе» Яз.к» /п к |
|
7 |
1/4 |
0,62 |
3 |
2 |
40 |
1800 |
6 |
2-4 |
^ »^з.к »^п.к |
|
8 |
3/4 |
0,65 |
2 |
3 |
45 |
1900 |
7 |
3-6 |
^ >Робе, Яз.к |
|
9 |
1/3 |
0,65 |
4 |
2 |
45 |
2000 |
8 |
2-4 |
тез.к, *з.к»^п.к |
|
10 |
1/2 |
0,61 |
4 |
3 |
40 |
1200 |
9 |
3-6 |
Робе? ^0»^з.к |
|
И |
1/4 |
0,57 |
2 |
2 |
35 |
1300 |
9 |
2-4 |
^j-^обс |
|
12 |
3/4 |
0,51 |
3 |
3 |
30 |
1400 |
8 |
3-6 |
||
Робе» ^0»^з.к |
||||||||||
13 |
1/3 |
0,51 |
2 |
2 |
30 |
1500 |
7 |
2-4 |
^0>^з.к »^п.к |
|
14 |
1/2 |
0,57 |
3 |
3 |
35 |
1600 |
6 |
3-6 |
Робе» Я3.к, ^п.к |
|
15 |
1/4 |
0,61 |
4 |
2 |
40 |
1700 |
5 |
2-4 |
£ э Робе» Яз.к |
3.3 Система противоракетной обороны с ожиданием, частичной взаимопомощью между каналами и ограниченным
временем нахождения заявки в системе
Рассмотрим случай, когда ракета, влетевшая в зону обстрела и за ставшая все каналы занятыми, не получает отказа и в дальнейшем может быть еще обстреляна.
За ракетой, влетевшей в зону обстрела и заставшей все каналы заня тыми, осуществляется слежение с помощью специальных станций. Если освобождается канал, то эта станция передает ракету на обстрел при усло вии, что ракета еще находится в зоне обстрела. Кроме того, одну цель мо гут одновременно обстреливать / каналов с увеличением эффективной ско рострельности.
В общем случае время нахождения ракеты в зоне обстрела может за висеть от того, обстреливается ракета или нет. При обстреле ракеты может быть включен форсаж и т.п. Поэтому параметр, характеризующий время пребывания ракеты в зоне обстрела при условии, что она не обстреливает ся, обозначим v. Величина v обратно пропорциональна среднему времени пребывания в зоне обстрела. При этом
где ин.0 - скорость полета ракеты при условии, что ее не обстреливают; а - глубина зоны обстрела.
В частном случае, если все параметры полета не зависят от того, об стреливается ракета или нет, параметр v = г|.
Рассмотрим л-канальную систему ПРО; каждый канал имеет интен сивность потока обслуживания ц. Заявка доступна к обслуживанию любым каналом. Если в системе находится одна заявка, то она принимается к об служиванию и обслуживается одновременно / каналами. При этом предпо лагается, что суммарный поток обслуживания будет иметь интенсивность /р. Если вновь поступившая заявка застанет в системе i заявок (/ = 0, 1, 2,...), при этом (/ + 1) / < п , то эта вновь поступившая заявка принимается к обслуживанию и обслуживается одновременно / каналами. Если вновь поступившая заявка застает в нейj заявок и при этом (у +1)1>п иу < л, то эта заявка будет принята к обслуживанию. В этом случае часть заявок мо жет обслуживаться / каналами, а часть меньшим, чем /, числом каналов. В обслуживании всегда будут участвовать все л каналов. Заявки в системе находятся ограниченное время («нетерпеливые» заявки). Параметр «нетер пения» равен г|.
Если вновь поступившая в систему заявка застает все каналы заня тыми, то она становится в очередь. Как только освободится один из кана
лов, заявка будет назначена на обслуживание, если за время ожидания в очереди она не покинула систему. Таким образом, заявка может уйти из очереди по двум причинам: либо ее возьмут на обслуживание, либо она уйдет из очереди, не дождавшись обслуживания. Всего имеется т мест в очереди. Если заявка находится в очереди, то ее параметр «нетерпения» будет v.
Если вновь поступившая заявка застает в системе п обслуживаемых заявок и т заявок в очереди, то она получает отказ.
Граф состояний такой системы показан на рис. 3.5,а. На этом графе величина р* = р + г\.
Проанализируем подробно случай, когда величина А= у является
целым числом, равным И. Введем обозначение
/ц + Т|= ц,\
Если учесть это обозначение и принять во внимание, что h - целое число, кратное и//, то граф состояний будет иметь вид, представленный на рис. 3.5,б.
Построив систему линейных алгебраических уравнений и решив ее, можно найти вероятности состояний (для стационарного режима и пуассо новских входного и обслуживающего потоков).
Введем обозначения:
* |
X |
X |
X |
„ n\i |
X |
Ар/ |
а , = - ------= — ; |
у = - ; |
5 = - с-; |
ф = - ; |
<р= — . |
||
|
/ц + г| |
ц, |
v |
v |
Л |
Л |
С учетом этих обозначений получим вероятности состояний:
р P ^ O j± p |
( 0< г < А). |
|
|
|
|
Р(0, а,) |
|
|
|
r |
P(h,a*)r Р((р + у-й,У|/) |
(А < j <, п) ; |
|
|
1 |
Р(0,а,*) ° |
/>(Ф,Ч0 |
|
|
|
|
|||
|
Р (К а ,)р |
Р(ср + и - й ,у ) Р(5 + г,у) |
(О < г< т ). |
|
|
т а , ’) 0 |
р ш ) |
т у ) |
|
|
|
|||
Рп = -
____________ т а й ___________
Д (й ,а,) + Р(А.а,) (R - h + <p,\v)- ДСф.ф) + Р(ф+ п - А,ф) R(m + 8,у)- Д(5,у)
Р(.<?>Ф) |
т ,у ) |
|
r “ |
h |
4 |
— I |
|
|
|
|
|
|
|
х° |
w----- Xl |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
/ц+л |
|
|
|
№ +n) |
(/+l)(/|i+Ti) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
------ 1 ^ J |
|
LA J ------ |
|
|
|
|
|
|
||
xhA |
\4—Ц *h |
b_ l| xh+{ |
|
|
|
|
|
|
||
А(/ц+л) |
|
лц+(й+1)л |
|
и|1+(Л+/')г| |
|
n\i+(h+j+\) |
||||
x„.\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(\l+T\) |
|
«|i*+v |
|
n\L*+r\ |
|
Л|1*+(г+1 )V |
||||
|
|
|
|
Хп+т-\ |
A. |
Хп+т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n\\*+m\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*M |
l^ j j Xj |
1 ^ |
X/+, |
|
|
|
И/ |
|
|
|
|
/|1/ |
|
(/+1)ц, |
|
|
|
ж |
|
Xh+l |
|
|
|
|
|
Xj+l |
h|i/ |
h\i] +v |
|
АЦ/+(/-А)Л |
Ац/+(/+1-А)Л |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
W |
|
хя-1 L |
1 Xn и~ |
I x”+] |
|
---- Р |
|
%п+г+1 |
||||
Хп+г-\ |
Х„+г |
ч---- |
||||||||
П\1* |
H|i*+V |
|
ЛЦ*+ЛУ |
ИЦ++(гН)У |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
” |
Я, ““ |
Хп+т |
|
|
|
|
|
|
|
|
Хп+т-1 -л |
|
|
|
|
|
|
ЛЦ*+/ЯУ
б
Рис. 3.5. Граф СМО с ограниченной очередью, частичной взаимопомощью между каналами и ограниченным временем нахождения заявки в системе