книги / Прикладная теория систем массового обслуживания.-1

- скорострельность каждой пусковой установки ц = ^ 1/мин;

-вероятность поражения цели одной ракетой р = 0,570;

-станция наведения имеет две пусковые установки (g = 2);

-длина полосы обстрела а = 35 км;

-скорость налетающих ракет при условии, что они не обстрелива­

ются, о„.0= 840 км/ч;

-скорость налетающих ракет при условии, что они обстреливаются,

о= 1300 км/ч;

-средний линейный интервал между ракетами 1=1 км;

-число каналов п = 4;

-число станций подслеживания т = 2;

-число взаимодействующих каналов 1 = 2.

Определить пропускную способность ПРО. Решение. Рассчитаем параметры работы системы:

Вероятность Р0 того, что будут свободны все каналы, можно найти по формуле. Из-за того, что в нашем случае величина ф не целое число, нужно расчет всех функций R(mf а) и Р(т, а) произвести для значения [ф] = 4 и [ф]+1 = 5, а затем итоговые формулы проинтерполировать на Ф = 4,45. Можно проводить и интерполяцию функций R(m,a) и Р(т,а) на Ф= 4,45. Остановимся на последнем способе. Найдем значение следую­ щих функций:

R (n -h + (p,\|/) =R(4 - 2 + 4,45;3,23)=

= Д 4 - 2 + 4;3,23) + [л(4 - 2 + 5;3,23) - Л(4 - 2 + 4;3,23)] • 0,45 = 0,966;

Л(ф,ф)= Л(4,45;3,23)= Л(4;3,23)+ [(5;3,23)- Л(4;3,23)]- 0,45 = 0,727;

Р(л + ф - А;\|/)= Р{4 - 2 +4,45;3,23) = Р(б;3,23) + + [р(7;3,23) - Р(6;3,23)] • 0,45 = 0,0574;

Р(ф,ф)= Я(4,45;3,23)= Р(4;3,23) + [Р(5;3,23) - Р(4;3,23)] ■0,45 = 0,151;

ДО,а?) = Р(0;1,45) = 0,24;/>(/!, а ; )= Д2;1,45) = 0,252;

Р(8,у)= Д5,5) = 0,176; Д И,а,) = Д 2;1,45) = 0,810;

Д т + 8 + у) = Д 7,5) = 0,867; Д 5,у) = Д5,5) = 0,616.

Теперь найдем PQ:

Р0 = 0,166.

Для определения среднего числа занятых каналов к рассчитаем зна­ чение функции л (а - 1,а*i):

/?(а - 1,а) )= Д1;1,45) = 0,167.

Определим к :

к = 3,73.

Вероятность поражения цели

р _

1 обе

Исходные данные для курсового проектирования приведены в табл. 3.3.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛОГО-ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПОТОКОВОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ

АРХИТЕКТУРЫ КАК СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

С позиций СМО функционирование аналого-цифрового преобразо­ вателя (АЦП) потоковой динамической архитектуры (ПДА) может быть описано следующим образом.

На вход АЦП ПДА поступают входные сигналы xit которые характе­ ризуются (М p+i),- (модуль-максимум р + 1 производной г-го входного сиг­

нала), являющимися случайными величинами. Поэтому поток заявок на измерение можно рассматривать как суперпозицию требований от различ­ ных источников с суммарной интенсивностью

Приходящая заявка (х,) обслуживается (измеряется) АЦП ПДА при­ чем время обслуживания (/„,) (для принятого алгоритма преобразования - поразрядное уравновешивание) определяется как

где t\ - апертурное время (среднее) [18] преобразования одного разряда АЦП (временной интервал, в течение которого входной сигнал непосред­ ственно взаимодействует с аппаратурой АЦП; вне интервала t\ входная ве­ личина не оказывает влияния на результат преобразования в данном разря­ де); qi - требуемое число разрядов (обслуживающих приборов) индивиду­ ального измерительного устройства.

Итак, на вход СМО, содержащей п обслуживающих приборов, по­ ступает неоднородный входной поток с интенсивностью А*. Неоднород­ ность потока состоит в том, что каждая заявка может затребовать для сво­ его обслуживания случайное целое число (т) приборов. Закон распределе­ ния вероятностей числа требуемых заявками приборов произвольный в не­ котором диапазоне [qmin - qmах], т.е. для т е [^min - ?max] определена неко­ торая вероятность Р(т), причем

Яшах

!/> (« ) = ! .

m ~9min

Требование заявки на т приборов означает, что интенсивность ее обслуживания где И* - интенсивность к-го обслуживания прибора (ц* = 1 //из*)• Уменьшение интенсивности обслуживания объясня­ ется тем, что т преобразователей для обслуживания заявки соединяются последовательно, что равносильно увеличению в т раз времени обслужи­ вания (измерения). При этом на обслуживании в АЦП ПДА может нахо­ диться произвольное число заявок, пока не будет исчерпан ресурс. По окончании процесса преобразования все т приборов, обслуживающих за­ явку, освобождаются одновременно и вместе с другими свободными ожи­ дают прихода следующей заявки.

Особенностью рассматриваемых в данном пособии моделей является однородность и одноразрядность элементарных преобразователей, при этом все каналы имеют одинаковую интенсивность

Ц*=Цр=Ц. к ,р е \,п ,

где п - число преобразователей АЦП ПДА.

В этом случае нет необходимости различать каналы (первый, второй, к-й и т.д.). Помимо этого архитектура АЦП ПДА обеспечивает любой за­ явке обслуживание любыми к приборами из л, т.е. любой из п приборов доступен заявке.

4.1. Открытая векторная модель аналого-цифрового преобразователя потоковой динамической архитектуры

В рамках принятых допущений и в соответствии с работой [7] со­ стояние векторной модели СМО АЦП ПДА представим в виде вектора */ = (kqmin, kqmin+i, кт kqmax), где кт- количество заявок в системе, каж­ дая из которых обслуживается т приборами.

Тогда КОЛИЧеСТВО ЗаНЯТЫХ ИСВОбоДНЫХ Приборов (л3ан(*/), ЛСв(*/)) в состоянии хI определяется следующим образом:

Яmax

^зан(xi) = X т^т »

m=<7min

М Я,- ) —/I —^зан(•*/)»

где п - количество обслуживающих приборов измерительной сети АЦП. Из состояния х{ система может перейти в любое другое состояние

х ■. Так как в системе действует L входных потоков, то из каждого состоя­

ния потенциально возможны L прямых переходов. Однако из-за ограни­ ченности ресурсов системы не все эти переходы осуществимы. Пусть СМО находится в состоянии х{ и приходит заявка, требующая т приборов. Если

т < псв(ЗсД то заявка принимается на обслуживание и система переходит в состояние xj = (kqmini kqmin+i, ..., (£m+l), ..., kq ^) с интенсивностью Xm. Ес­

ли же заявка требует приборов больше, чем имеется свободных, то она по­ лучит отказ в обслуживании, а СМО останется в состоянии х{. Если в со­ стоянии Зс, находятся заявки, требующие т приборов, то каждая из них об­ служивается с интенсивностью р/т, а общая интенсивность обслуживания таких заявок (рт) определяется как [im= кт\х/т. При завершении обслужи­ вания одной из заявок система перейдет в состояние, в котором значение соответствующей координаты на единицу меньше, чем в состоянии х •,

(kqm\n, kqm\n+i> (кт- \ ), ..., /г^тах), т.е. произойдет обратный переход. На рис. 4.1 представлен пример векторной модели (ВМ) СМО для п = 3, <7min=U <?max=3, P{rri) =1/3, Х^=ХУинтенсивность обслуживания прибора - р .

Итак, каждое состояние xt характеризуется числом обслуживаемых заявок определенного типа. Например, в состоянии х5 = (1,1,0) обслужива­ ется одна заявка одним прибором и одна заявка двумя приборами. В этом состоянии все приборы заняты, следовательно, возможны лишь обратные переходы (приход любой заявки в этом состоянии приводит к отказу в об­ служивании). Если раньше окончилось обслуживание заявки первого типа, то система перейдет в состояние хА = (0,1,0) с интенсивностью р; если же

На рис. 4.2 приведена зависимость Р0тк =.Дя) для ВМ. При этом на этапе расчета Р( ) применялись типовые программы ЭВМ, предназначен­

ные для решения СЛАУ. Однако размерность СЛАУ определяется числом состояний графа системы. Оценим общее число состояний системы (S). S равно числу всех возможных векторов вида Зс/? для которых выполняется

условие

Яшах

| > * т <и . (4-4)

т=Ятти

Рис. 4.2. Зависимость Р в функции п (числа ИЭ АЦП ПДА) для разных диапазонов разброса запросов требований на обслуживающие приборы

Следовательно, 5 = 1 + 5 + 1 = 7.

Для реализации реальных требований к измерительным устройствам и архитектурам АЦП ПДА УД необходимо достаточно большое число об­ служивающих приборов (п = 40 90), а запросы на разрядность измери­ тельного устройства на практике лежат в пределах 8-16. При таком соот­ ношении числа приборов в АЦП (п е 30 70, q е 8 ... 15) предложенный путь нахождения вероятностей становится чрезвычайно громоздким, т.к. ВМ СМО имеет большое число состояний (5(50) = 1790, 5(60) = 4676, 5(70) = 11075), а размер матрицы коэффициентов СЛАУ пропорционален квадрату 5, что требует большого объема памяти ЭВМ и значительных за­ трат машинного времени. Поэтому на основании 5 можно принять реше­ ние о возможности использования стандартных методов решения СЛАУ (пакета прикладных программ) или разрабатывать нестандартные способы решения систем уравнений. В то же время, стремление снизить объем вы­ числений стимулирует поиск рекуррентных возможностей расчета P(xt )

на основе мультипликативных форм представления вероятностей состоя­ ний. Ниже рассмотрим условия, обеспечивающие мультипликативность определения состояний СМО.

4.2.Критерий эквивалентности уравнений глобального

идетального балансов для цепей Маркова

Центральной проблемой исследования марковских процессов явля­ ется решение уравнений Колмогорова при стационарном режиме их функ­ ционирования. Эти уравнения для цепей Маркова как с дискретным, так и

снепрерывным временем называются уравнениями глобального баланса

[17].Они образуют СЛАУ. Размерность этой системы совпадает с числом

состояний цепи Маркова, т.е. может быть достаточно большой или даже бесконечной, что вызывает определенные трудности при ее решении.

Для марковской цепи можно записать систему уравнений детального баланса, однако эти уравнения не обязательно справедливы для любой це­ пи Маркова. Поэтому определение конструктивного критерия эквивалент­ ности уравнений глобального и детального балансов для цепей Маркова представляет несомненный интерес. Полученное нами доказательство эк­ вивалентности уравнений глобального и детального балансов впервые ма­ тематически достоверно обеспечивает определение конструктивного кри­ терия, который может быть использован в практике анализа и расчетов СМО указанного выше класса. Доказательство состоит в следующем.

Постановка задачи. Рассмотрим однородную цепь Маркова {Хп / п = 0, 1,2, ...}, которая принимает значения из множества неотрица­ тельных чисел; таким образом, / = 0, 1,2, - состояния рассматриваемой цепи.

Переходные вероятности этой цепи

P ^ P ( X n, {= jlX n^i).

Распределение вероятностей {П(/) /j = 1 ,2, ...} называется стацио­ нарным распределением цепи Маркова, если

распределение (П(/)}.

Для процессов гибели и размножения система (4.6) эквивалентна бо­ лее простой системе