книги / Элементы математической физики

После ряда математических преобразований полученного равенства дифференциальное уравнение колебаний мембраны можно получить в следующей форме:

Здесь = (x, y) – поверхностная плотность мембраны; T0 – натяжение, а F(t, x, y) – плотность внешних сил.

Полный вывод уравнения (4.12) можно найти, например, в учебнике А.Н. Тихонова, А.А. Самарского [1].

Если плотность мембраны постоянна ( = const), то мембрана называется однородной. Уравнение малых поперечных колебаний однородной мембраны можно записать в следующем виде:

единице массы мембраны. Уравнение (4.13) – это двумерное уравнение в частных производных гиперболического типа. При f(t, x, y) ≠ 0 оно описывает вынужденные колебания мембраны, а при f(t, x, y) ≡ 0 – свободные.

4.2. Постановка краевых задач для волнового уравнения. Теорема единственности

Одной из простейших краевых задач для уравнений гиперболического типа является так называемая первая краевая задача.

Первая краевая задача для одномерного волнового уравнения

Требуется найти функцию u(t, x), определенную в области 0 ≤ t < ∞, 0 ≤ x ≤ l, удовлетворяющую уравнению (4.2)

utt = a2 uxx + f(t,x)

внутри этой области, то есть при t > 0, 0 < x < l, а также начальным условиям (4.4)

41

elib.pstu.ru

Таким образом, первая краевая задача – это задача отыскания решения уравнения (4.2), удовлетворяющего начально-краевым ус-

ловиям (4.4), (4.14).

Первая краевая задача называется однородной, если уравнение (4.2) и краевые условия (4.14) однородны, то есть если f(t, x) ≡ 0,

μ1(x) ≡ 0 и μ2(x) ≡ 0.

Вторая краевая задача для одномерного волнового уравнения

Если на обоих концах струны рассматриваются краевые условия второго рода

то соответствующая краевая задача (4.2), (4.4), (4.15) называется второй краевой задачей. Если уравнение (4.2) и краевые условия (4.15) однородны, то есть при f(t,x) ≡ 0, ν1(x) ≡ 0 и ν2(x) ≡ 0, вторая краевая задача также называется однородной.

Третья краевая задача для одномерного волнового уравнения

Граничные условия 3-го рода, заданные на обоих концах струны, то есть условия

ux (t, 0) = h1 [u (t, 0)] − θ1(t)], ux (t, 0) = h2 [u (t, 0)] − θ2 (t)], (4.16)

вместе с уравнением (4.2) и начальными условиями (4.4) дают постановку третьей краевой задачи. При f(t, x) ≡ 0, θ1(x) ≡ 0 и θ2(x) ≡ 0 третья краевая задача является однородной.

Если краевые условия на концах струны относятся к разным типам, то соответствующая краевая задача называется смешанной и дальнейшая классификация не уточняется.

Отдельный интерес представляют так называемые задачи Коши – задачи, в которых задаются начальные условия, но отсутствуют краевые условия. Задача Коши (начальная задача) описывает явления, которые происходят в течение столь малого промежутка

42

elib.pstu.ru

времени, что влияние границ еще несущественно, и потому область изучения явления можно считать бесконечной. Задача Коши – это предельный случай граничной задачи, когда границы можно рассматривать как бесконечно удаленные.

Задача Коши для одномерного волнового уравнения

Задача Коши состоит в поиске функции u(t,x), определенной в неограниченной области − < x <+ , удовлетворяющей при t > 0 уравнению (4.2)

utt = a2 uxx + f(t, x),

а также при любых − < x <+ начальным условиям (4.4): u (0, x) = φ(x), ut (0, x) = ψ(x).

Кроме задачи Коши (4.2), (4.4) на бесконечной прямой, то есть при − < x <+ , практический интерес представляют так называемые задачи на полуограниченной прямой: 0 ≤ x < + . Такие задачи описывают процессы, в которых только одна из границ удалена на расстояние достаточно большое, чтобы не оказывать заметного влияния на процесс.

Другие типы начальных, краевых и начально-краевых задач можно найти в учебнике А.Н. Тихонова, А.А. Самарского [1].

Теорема единственности решения первой краевой задачи для волнового уравнения

Как указывалось выше, при решении задач математической физики важнейшее значение имеют теоремы единственности.

Приведем формулировку теоремы единственности решения первой краевой задачи для следующего уравнения гиперболического типа:

имеющего даже более общий вид, чем рассмотренное выше уравнение (4.2) колебаний струны.

43

elib.pstu.ru

Пусть выполнены следующие условия:

1)функция u(t,x) и производные, входящие в уравнение (4.17),

атакже смешанная производная utx непрерывны на замкнутом промежутке 0 ≤ x ≤ l при t ≥ 0;

2)коэффициенты ρ(x) и k(x) непрерывны при 0 ≤ x ≤ l.

Тогда возможно существование только одной функции u(t,x), определенной в области t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l, удовлетворяющей уравнению (4.17), начальным условиям (4.4),

u (0, x) = φ (x), ut (0, x) = ψ (x), (0≤x≤ l),

и граничным условиям (4.14),

u (t, 0) = μ1(x), u (t, l) = μ2 (x), (t≥0).

Доказательство приведенной теоремы можно найти в учебнике А.Н. Тихонова, А.А. Самарского [1].

Волновое уравнение (4.2) – это частный случай уравнения (4.17), и для него выполнены все условия приведенной теоремы единственности. Поэтому первая краевая задача (4.2), (4.4), (4.14) для волнового уравнения также не может иметь более одного решения.

Однако следует отметить, что теорема единственности не гарантирует существования решения, она утверждает только, что если решение существует, то оно единственно.

Как указывалось выше, во многих случаях существование решения доказывает сам метод его построения. В качестве одного из таких примеров рассмотрим метод Даламбера (метод распространяющихся волн) на примере решения задачи Коши для одномерного волнового уравнения.

4.3. Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера

Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа начнем с задачи с начальными условиями для неограниченной струны:

44

elib.pstu.ru

Преобразуем уравнение (4.14) к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Новые переменные введем по следующим формулам:

ξ = x + at, η = x – at.

Тогда уравнение колебаний струны преобразуется к виду

Найдем общий интеграл уравнения (4.16). С этой целью сначала интегрируем равенство (4.20) по переменной ξ и получаем

uη(ξ, η)= C *(η),

где C*(η) – некоторая непрерывная функция только переменной η. Интегрируя последнее равенство по переменной η при фиксированном значении переменной ξ, получаем

где произвольные функции C1 и C2 зависят только от переменных ξ и η соответственно.

Обратно, каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции C1 и C2, функция u(ξ, η), определяемая формулой (4.21), представляет собой решение уравнения (4.18). Так как всякое решение уравнения (4.18) может быть представлено в виде (4.21) при соответствующем выборе C1 и C2, то формула (4.21) является общим интегралом этого уравнения.

Возвращаясь к исходным переменным t и x, получаем, что функция

является общим интегралом уравнения (4.18).

45

elib.pstu.ru

Допустим, что решение рассматриваемой задачи существует, тогда оно дается формулой (4.22).

Теперь определим функции C1 и C2 таким образом, чтобы

где x0 и c – постоянные. Решая систему равенств (4.23) и (4.25) относительно C1 и C2, получаем

Отметим, что в формуле (4.22) функции C1 и C2 определены неоднозначно. Но если от C1 отнять, а к C2 прибавить некоторую постоянную, то и функция u не изменится. В формулах (4.26) и (4.27) постоянная c не определяется через функции φ и ψ, однако мы можем ее отбросить, не меняя значения функции u, так как при

сложении функций C1 и C2 постоянные слагаемые 2c и 2c взаимно

уничтожаются.

Таким образом, мы определили функции C1 и C2 через заданные функции φ и ψ, причем для этих функций равенства (4.26) и (4.27) должны иметь место для любого значения аргумента.

46

elib.pstu.ru

После подстановки найденных значений C1 и C2 в равенство (4.22) функция u(t, x) примет следующий вид:

Отсюда, используя свойства определенного интеграла, получаем

Формула (4.28) дает искомое решение задачи Коши для однородного волнового уравнения и называется формулой Даламбера.

Эту формулу мы получили, предполагая существование решения поставленной задачи. Но, во-первых, она доказывает единственность решения. В самом деле, если бы существовало второе решение задачи (4.18)–(4.19), то оно бы представлялось формулой (4.28) и совпадало с первым решением.

Во-вторых, нетрудно убедиться (в предположении двукратной дифференцируемости функции φ и однократной дифференцируемости функции ψ), что формула (4.28) удовлетворяет и уравнению (4.18) и начальным условиям (4.19). Таким образом, если функция ψ дифференцируема, а функция φ дифференцируема дважды, формула Даламбера представляет единственное решение задачи Коши о колебаниях неограниченной струны.

Физически формула Даламбера описывает процесс распространения колебаний, вызванных начальным возмущением неограниченной струны (см. учебник А.Н. Тихонова, А.А. Самарс-

кого [1]).

47

elib.pstu.ru

4.4. Метод разделения переменных для однородного волнового уравнения

Метод разделения переменных (метод Фурье) – один из наиболее распространенных методов аналитического решения задач математической физики.

Рассмотрим этот метод на примере решения первой краевой задачи для однородного волнового уравнения с однородными краевыми условиями. Напомним постановку этой задачи.

Требуется найти решение u(t,x) однородного уравнения

удовлетворяющее начальным

Отметим, что уравнение (4.29) линейно и однородно, поэтому сумма его частных решений также является решением этого уравнения.

Решение уравнения (4.29) будем искать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

Функция u(t, x) должна удовлетворять начальным условиям (4.30), из которых следует, что функция u(t, x) не должна тождественно обращаться в нуль: u(t, x)≠0. Поэтому функции X(x) и T(t) также не могут быть тождественно равны нулю: X(x) ≠ 0 и T(t) ≠ 0.

Подставляя выражение (4.32) в уравнение (4.29), получим

X′′ (x) T (t) = a12 T′′ (t) X(x).

48

elib.pstu.ru

Разделяя переменные, получаем равенство

в котором левая часть зависит только от x, а правая – только от t. Для того чтобы функция (4.32) была решением уравнения (4.29), равенство (4.33) должно удовлетворяться тождественно при всех значениях независимых переменных t > 0, 0 < x < l. Но это возможно только в том случае, когда левая и правая части равенства (4.33) равны некоторой постоянной, которая не зависит ни от x, ни от t:

Постоянная μ может принимать любые действительные значения, как положительные, так и неположительные. Знак (−) выбран единственно с целью удобства дальнейших обозначений и ссылок.

Из соотношения (4.34) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка, в которых постоянная μ играет роль свободного параметра:

Так как T(t)≠0, то из краевых условий (4.31) следует, что для функции X(x) должны выполняться следующие краевые условия:

На функцию T(t) пока никаких ограничений не накладывается. Уравнение (4.35) с краевыми условиями (4.37) составляют задачу Штурма–Лиувилля на собственные значения, рассмотренную

подробно в подразд. 1.3.

Из полученных в подразд. 1.3 результатов следует, что задача (4.35)–(4.37) имеет нетривиальные решения Xn(x), только если параметр

принимает следующие значения: μn = 2n , где λn = ln (= 1,2,3,…).

49

elib.pstu.ru

ниями задачи Штурма–Лиувилля, а соответствующие им функции

– собственными функциями этой задачи. Каждая из собственных функций определяется с точностью до произвольного множителя, который в выражении (4.38) принят равным единице.

Итак, краевая задача для уравнения (4.35) решена, ее собственные значения и соответствующие им собственные функции (4.38) найдены.

Перейдем к решению уравнения (4.36), подставив в него най-

ет вид

Tn′′ (t) + a2 ln 2 Tn (t) = 0, (n = 1, 2, …).

Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение Tn(t) нетрудно найти, оно имеет вид

где An и Bn – произвольные постоянные (n = 1, 2, …).

Подставляя найденные функции Xn(x) и Tn(t) в выражение (4.32), получаем частные решения un(t,x) уравнения (4.29)

каждое из которых удовлетворяет краевым условиям (4.31).

50

elib.pstu.ru