книги / Элементы математической физики

Как было отмечено в подразд. 1.3, в силу однородности уравнения (4.29) и краевых условий (4.31) сумма частных решений

также удовлетворяет и уравнению (4.29), и краевым условиям

(4.31).

Теперь необходимо найти значения коэффициентов An и Bn из начальных условий (4.30). Из этих условий вытекает, что для функ-

то есть каждая из функций φ(x) и ψ(x) должна представлять собой разложение в ряд Фурье по тригонометрическим функциям sin ln x

на промежутке [0, l].

Из теории рядов Фурье известно, что, если функции φ(x) и ψ(x) кусочно-непрерывны и кусочно-дифференцируемы на промежутке [0, l], то в равенствах (4.42) и (4.43) коэффициенты An и Bn надо принять равными соответственно:

Таким образом, функция

51

elib.pstu.ru

представленная рядом с коэффициентами An и Bn, вычисляемыми по формулам (4.44) и (4.45), удовлетворяет уравнению (4.29), краевым условиям (4.31) и начальным условиям (4.30), то есть полностью решает поставленную краевую задачу.

Однако следует сделать следующее замечание.

Полученное решение u(t,x) представляет собой ряд, поэтому этот ряд, во-первых, должен сходиться, а, во-вторых, функция, представленная этим рядом, должна быть дифференцируемой, в противном случае полученное формальное выражение (4.46) не имеет смысла в качестве решения краевой задачи. Соответствующие достаточные условия для ряда (4.46) с коэффициентами (4.44) и (4.45) будут выполнены, если функции φ(x) и ψ(x) удовлетворяют следующим требованиям:

1) функция φ(x) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, а ее третья производная по крайней мере кусочно-непрерывна и, кроме того, выполняются равенства

φ(0) = φ(l)), φ′′(0) = φ′′(l);

2) функция ψ(x) непрерывно дифференцируема, имеет кусочнонепрерывную вторую производную, кроме того, выполняется равенство

ψ(0) = ψ(l)).

Доказательство этого утверждения можно найти, например, в учебнике А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [1].

4.5. Метод разделения переменных для неоднородного волнового уравнения

52

elib.pstu.ru

с начальными (4.30)

и однородными краевыми условиями (4.31)

u (t, 0) = 0, u (t, l) = 0, (t ≥ 0).

Решение u(t,x) задачи (4.47), (4.30), (4.31) ищется в виде разложения в ряд Фурье по переменной x:

причем переменная t в последнем выражении рассматривается как параметр.

Для нахождения функции u(t,x) необходимо определить коэффициенты un (t). С этой целью находим значения производных функции u (t,x):

а функцию f(t, x) представляем в виде ряда Фурье:

Здесь f n (t) – коэффициенты Фурье.

Подставляем полученные выражения в уравнение (4.47), записанное в виде

– utt + a2uxx+ f (t, x) = 0,

и получаем равенство

elib.pstu.ru

которое должно выполняться тождественно при любых значениях переменной t. Но это возможно только в том случае, если все коэффициенты ряда (4.50) будут равны нулю, то есть когда нулю равно выражение в квадратной скобке:

a2 ln 2 un (t) un (t) fn (t) = 0, (n = 1, 2, …).

Полученное равенство можно переписать в виде следующего обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами относительно функции un(t):

Для получения единственного решения дифференциальное уравнение (4.51) необходимо дополнить начальными условиями, которые можно получить из условий (4.30).

С этой целью функции φ(x) и (x) также необходимо представить в виде рядов Фурье:

Здесь φn и ψn – коэффициенты Фурье.

С помощью (4.52) и (4.53), используя выражение (4.48), требуемые начальные условия для функции un(t) получаем в виде двух

elib.pstu.ru

то есть каждое из начальных условий (4.30) – в виде равенства двух рядов.

Известно, что если два ряда равны, то их общие члены также равны. Отсюда вытекают начальные условия для функции un (t):

Полученные дополнительные условия (4.54) однозначно определят решение un(t) уравнения (4.51) для каждого n = 1, 2,….

Уравнение (4.51) – это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно функции un(t). Для каждого значения n его решение, удовлетворяющее начальным условиям (4.54), можно представить в виде суммы двух функций:

un(t) = un (t) + un (t), (n = 1, 2,…),

где первое слагаемое

un (t) = φn cos nal t + nl a ψn sin nal t

– это решение однородного уравнения с заданными начальными условиями, а второе слагаемое

– это частное решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями.

Подставляя найденные функции un(t) в выражение (4.48) для искомого решения u(t, x) исходной краевой задачи, получаем следующий результат.

55

elib.pstu.ru

Решение u(t, x) первой краевой задачи для неоднородного волнового уравнения (4.47) с начальными условиями (4.30) и однородными краевыми условиями (4.31) можно представить в виде ряда

коэффициенты φn и ψn которого определяются равенствами (4.52) и (4.53).

Отметим, что первая сумма в полученном выражении – это решение ранее исследованной нами задачи о свободных колебаниях струны при заданных начальных условиях. Вторая сумма – это решение задачи о вынужденных колебаниях струны под действием внешней силы при нулевых начальных условиях.

4.6. Решение общей первой краевой задачи для волнового уравнения

Рассмотрим неоднородное волновое уравнение (4.47) utt – a2uxx = f (t, x), (t > 0, 0 < x < l)

с начальными (4.30)

Решение задачи (4.17), (4.30), (4.31) можно получить в виде суммы двух слагаемых:

где функция

56

elib.pstu.ru

а функция v(t,x) определяется как решение неоднородного волнового уравнения

vtt – a2vxx = f*(t, x), f*(t, x) = f (t, x) − [Utt – a2Uxx] (4.59)

с начальными

v(0, x) = φ(x) − U(0,x), vt (0, x) = ψ (x) − Ut (0, x) (4.60)

и краевыми

v(t, 0) = μ1(t) − U(t, 0), v (t, l) = μ2 (t) − U(t, l)

условиями. Нетрудно проверить, что в силу выбора функции (4.58) будут выполнены два равенства

μ1(t) − U(t, 0) = 0, μ2(t) − U(t, l) = 0, (t ≥ 0),

то есть краевыеусловия для функции v(t,x) получаются однородными:

Таким образом, для поиска функции v(t, x) получаем первую краевую задачу с однородными краевыми условиями, рассмотренную в подразд. 4.5. Решив эту задачу, по формуле (4.57) решение общей краевой задачи (4.17), (4.30), (4.31) получим в виде

x

u(t,x) = v(t,x) + μ1(t) + l [μ2(t) − μ1(t)],

где v(t,x) – это решение неоднородного уравнения (4.59) с нулевыми краевыми условиями (4.61).

Контрольные вопросы

1.Как ставится задача о поперечных колебаниях гибкой струны?

2.При каких условиях колебания струны считаются малыми? Как записываются эти условия математически?

3.Запишите уравнение малых поперечных колебаний гибкой струны. К какому типу относится это уравнение?

4.Запишите граничные условие 1, 2 и 3-го рода.

57

elib.pstu.ru

5. Поставьте задачу о выводе уравнения электрических колеба-

ний.

6.Выпишите телеграфное уравнение для силы тока.

7.Выпишите телеграфное уравнение для напряжения.

8.Что такое мембрана?

9.Поставьте задачу о поперечных колебаниях мембраны.

10.В каком случае колебания мембраны считаются малыми? Как записываются эти условия математически?

11.Запишите уравнения малых поперечных вынужденных колебаний мембраны. Чем отличается уравнение свободных колебаний?

12.К какому типу относится уравнение колебаний мембраны?

13.Выпишите формулировку теоремы единственности решения первой краевой задачи для уравнения гиперболического типа. Запишите, как можно сформулировать условия этой теоремы для канонического волнового уравнения (4.2).

14.Напишите постановку задачи о малых колебаниях неограниченной струны с начальными условиями.

15.Запишите формулу Даламбера. Решение какой задачи дает эта формула?

16.В чем состоит основная идея метода Фурье разделения переменных?

17.Опишите основные этапы решения первой краевой задачи для однородного волнового уравнения методом Фурье.

18.Является ли решение, полученное методом разделения переменных, единственным решением первой краевой задачи?

19.Сформулируйте достаточные условия существования решения первой краевой задачи для волнового уравнения.

20.Укажите основные этапы решения первой краевой задачи для неоднородного волнового уравнения. Выпишите окончательную формулу, дающую решение этой задачи.

21.Опишите основные этапы решения общей первой краевой задачи для волнового уравнения. Выпишите формулу, дающую решение общей краевой задачи вместе с постановкой вспомогательной краевой задачи для неоднородного волнового уравнения.

58

elib.pstu.ru

5. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Уравнения с частными производными второго порядка параболического типа связаны с описанием процессов диффузии и распространения тепла.

Приведем примеры задач, приводящих к уравнениям параболического типа.

5.1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям параболического типа

Среди простейших задач, приводящих к уравнениям параболического типа, – задача о распространении тепла в стержне, приводящая к одномерному уравнению теплопроводности.

5.1.1. Задача о распространении тепла в стержне

Рассмотрим однородный, теплоизолированный с боков стержень длиной l с площадью поперечного сечения S, расположенный на отрезке [0, l] оси x. Предположим, что стержень достаточно тонкий, чтобы температуру в любой момент времени во всех точках поперечного сечения стержня можно было считать одинаковой.

Пусть на каждом из его концов x = 0 и x = l в любой момент времени t температура поддерживается при постоянных значениях u1 и u2 соответственно. От более нагретого конца стержня тепло будет перетекать к менее нагретому концу, и вдоль стержня устанавливается линейное распределение температуры:

В общем случае процесс распространения тепла в стержне может быть описан функцией u(t,x), определяющей температуру в момент времени t в сечении x.

59

elib.pstu.ru

Согласно закону Фурье количество Q(x) тепла, протекающее через сечение x стержня за промежуток времени (t1,t2),

где k(x) – коэффициент теплопроводности, зависящий от материала стрежня; k(x) ux (t,x) = q(x) – плотность теплового потока в сече-

нии x. Если стержень однороден, то коэффициент теплопроводности k = const не зависит от положения точки x.

Напомним, что плотность q(x) теплового потока – это количество тепла, протекающее за единицу времени через площадь в 1 см2 в сечении x. При этом величина теплового потока считается положительной, если тепло течет в сторону возрастания абсциссы x.

Количество Q тепла, протекающее через участок (x1,x2) стержня, можно подсчитать как разность:

Q = Q (x2) − Q (x1) =

Для составления уравнения теплового баланса, которому должна удовлетворять функция u(t, x), необходимо рассмотреть еще две величины: Q2 и Q3.

Q2 – это количество тепла, которое необходимо сообщить участку (x1, x2) стержня, чтобы повысить его температуру на величину u за промежуток времени (t1, t2).

Величина Q2 определяется теплоемкостью стержня, и для уча-

elib.pstu.ru