книги / Цифровые устройства селекции движущихся целей

функцией sine*. Следовательно, набор цифровых фильтров, вычис­ ляющих дискретный спектр, реализует алгоритм оптимальной частот­ ной фильтрации, поскольку в этом случае достигается оптимальное со­ гласование как по форме спектра сигнала, так и по его ширине. В слу­ чае, когда форма спектра отраженного сигнала пропорциональна какойлибо другой функции, введением предварительной весовой обработки при­ нимаемого сигнала добиваются согласования по форме спектра сигнала.

Сигнал на выходе приемника представим в виде

где А - амплитуда сигнала; / прпромежуточная частота; / д -

доплеровское смещение частоты; <р0неизвестная начальная фаза;

{/,„(/) - шумовое напряжение.

Шумовое напряжение можно представить следующим образом:

где Лш(/) и <рш(/) - случайные, медленно меняющиеся функции.

Сигналы на выходе фазового детектора можно выразить соотноше­ ниями:

Uc(t) = A(l)cos(2njat + %)■

и ш0) = AjOcos срш(1).

После аналого-цифрового преобразования имеем:

Uc[n] = A(t)cos(2KfanT + <р0 );

UUiM = Au(t)COS(pui(t)i

где п - текущий номер принимаемого импульса; п = О N -1. Алгоритм вычисления дискретного спектра Имеет вид [3]

=УЛп]+ УшМ ~ массив входных данных.

Сучетом (2.7) гармонику доплеровского спектра можно предста­ вить как

С учетом (2.8) прямое вычисление дискретного спектра по алгй-

32

ритму (2.7) приводит к корреляционно-фильтровой схеме (рис.2.2), ко­ торая состоит из набора N фильтров, перекрывающих возможный диа­ пазон доплеровских частот. Каждый фильтр состоит из двух квадратур­ ных каналов для вычисления действительной и мнимой частей спектра, которые после возведения в квадрат суммируются в выходных сумма­ торах фильтров. Такое построение блока ДПФ (2.8) предполагает нали­ чие блока памяти для хранения весовых коэффициентов:

Рис. 2.2

При практической реализации алгоритмов ДПФ, в случае большо­ го объема обрабатываемых данных предпочтительнее использовать ал­ горитмический метод вычисления спектра. В этом случае применяются алгоритмы БПФ как наиболее оптимальные с точки зрения вычисли­ тельных затрат. Рассмотрим возможные реализации алгоритмов БПФ.

2.3.Реализация алгоритмов быстрого преобразования Фурье

2.3.1.Реализация алгоритмов БЦФ по основанию 2. Дз анализа фор­ мулы (2.7) видно, что в случае; когда последовательность jt(/i) является

действительной, при прямом вычислении дискретного спектра нужно

33

прямое вычисление дискретного спектра по алгоритму (2.7) требует большого количества вычислительных операций, что не всегда прием­ лемо на практике. Основная идея БПФ состоит в том, чтобы исходную TV-точечную последовательность разбить на две N /2 -точечные после­ довательности, из дискретных преобразований Фурье которых путем взвешенного алгебраического сложения можно получить ДПФ ис­ ходной последовательности. Такой подход приводит к алгоритмам БПФ с прореживанием по времени.

JC2(/22) = *(2л + 1), п2 =2rt + l, /i-0,yV /2 -l.

Тогда ДПФ исходной последовательности можно запйсатЪ в Виде

При выводе (2.12) использовалось равенство W^j =WNJ1.

Таким образом, имеем окончательный результат

ражение при к > N 12, можно,получить, учитывая/свойство периодично­ сти ДПФ [4];

34

Пара преобразований (2.12) и (2.13) определяет алгоритм быстрого преобразования Фурье по основанию два с прореживанием по времени.

определяются Х {(к) и Х 2(к) . Эту процедуру можно повторять до тех пор,

пока разбиваемые последователь­ ности не будут содержать два чле­ на. Согласно (2.7), ДПФ 2-точеч- ных последовательностей опреде­ ляется как

базовой операцией БПФ, графи­ ческое изображение которой по­ казано на рис.2.3.

На рис.2.4 в качестве при­ мера представлен направленный граф 8-точечного (БПФ) по ос­ нованию 2 с прореживанием по времени.

Анализ направленного гра­ фа БПФ показывает, что особенностью алгоритма является двоично­

инверсная перестановка номеров элементов входного массива данных. Это обстоятельство можно пояснить следующим примером. Рассмотрим

8-точечный массив входных данных х(п), п = 0,7

Прямой порядок номеров элементов в десятичном коде будет сле­ дующий:

Записывая ряд (2.16) в двоичном коде, а затем инвертируя порядок следования двоичных разрядов каждого номера, получаем:

000,100,010,110,001,101,011,111.

Если числа такого ряда записать в десятичном коде, то получим двоично-инверсную перестановку номеров входных элементов:

35

0,4,2,6,1,5,3,7.

Анализ графа на рис.2.4 и процедура последовательного сокраще­ ния вдвое размеров преобразований показывает, что на каждом этапе БПФ необходимо выполнить N / 2 -умножений действительного числа на комплексное. Поскольку число этапов БПФ равно

то число умножений алгоритма БПФ по основанию 2 определяется как

Формула (2.18) позволяет оценить выигрыш в количестве операций ум­ ножения при вычислении дискретного спектра методом БПФ. При этом объем вычислений сокращается приблизительно на два порядка, что позволяет выполнять обработку сигналов в реальном времени.

В случае использования алгоритма БПФ с прореживанием по час­ тоте входная N -точечная последовательность х(п) разбивается на две

равные последовательности следующим образом:

Выражение (2.20) для четных и нечетных гармоник ДПФ примет вид:

36

Из выражений (2.21) и (2.22) видно, что четные и нечетные отсче­ ты ДПФ можно получить из N / 2 -точечных ДПФ последовательностей j\n ) и g(n)

f(n) = xl(n{) + x2(n2) ;

g(«) = [*1 (Л|) - *2(Л2 )WN, Л = о, N / 2 -1.

Таким образом, вычисление ДПФ исходной последовательности удалось свести к комбинации ДПФ двух последовательностей: дг,(л,) и

х2(п2). В свою очередь, каж­

основанию 2 с прореживани­ ем по частоте.

При сравнении алгорит­ мов БПФ с прореживанием по

времени и частоте необходимо отметить следующие два различия:

а) у алгоритмов БПФ с прореживанием по частоте порядок следо­ вания номеров элементов входного массива данных - прямой, а для номеров элементов выходного массива - двоично-инверсный;

б) несколько иной порядок выполнения базовой операции: при прореживании по частоте умножение комплексного числа на дейст­ вительное выполняется после алгебраического сложения.

Как показывает анализ направленного графа на рис. 2.5, число ум­ ножений для алгоритма БПФ определяется формулой (2.18).

2.3.2. Реализация алгоритмов БПФ по основанию 4. Если число N является степенью 4, то его можно записать как (N/4)4; аналогич­

но: N /4 = (N/16)4.

В результате элементы исходного одномерного массива можно расположить таким образом, чтобы элементарные операции представ­ ляли собой четырехточечные ДПФ.

Из N -точечной последовательности х(п) сформируем четыре N /4 -точечные последовательности следующим образом:

37

*4(л) = *(4,2+ 3)> л = (О /V / 4) —1.

Тогда с учетом (2.7) ДПФ исходной последовательности можно представить в виде

где к) у / = 1,4 - ДПФ последовательностей хДл), которые, в свою

очередь, могут быть определены с помощью вышеописанной вычисли­ тельной процедуры путем разбиения каждой из четырех последова­

тельностей хДл), / = 1,4 на четыре N/16 - точечные последовательно­

сти. Процесс разбиения последовательностей необходимо продолжать до тех пор, пока они не будут содержать четыре члена.

Базовая операция БПФ по основанию 4 согласно (2.7) принимает

вид

Из анализа (2.25) видно, что базовая операция комплексных умножений не содержит, а включает в себя операции суммирования и поворота фазы, т.е. умножения на ±j

38

На рис.2.6 представлен полный направленный граф 16-точечного БПФ по основа­ нию 4 с прореживанием по времени. Процедура последо­ вательного сокращения вчет­ веро размеров преобразований показывает, что на каждом этапе БПФ необходимо вы­ полнить N умножений ком­ плексного числа на действи­

Особенностью алгоритма БПФ с таким основанием является чет­ верично-инверсный порядок следования номеров элементов входного массива данных. Ниже, в табл.2.1 представлен алгоритм четверично­ инверсного порядка, аналогичный алгоритму двоично-инверсного по­ рядка лишь с той разницей, что на промежуточных этапах десятичные числа записываются в четверичном коде.

Таблица 2.1.Алгорит м четверично-инверсного порядка.

ном ер

Алгоритм с прореживанием по частоте выводится аналогичным образом.

При выборе алгоритма БПФ решающую роль играет объем вычис­ лений, значительную часть которого обставляет число умножений дей­ ствительных^ комплексных чисел [8].

Анадиз соотношений (2.J5) и (2.25) показывает, что базовые одег рации БПФ по основаниям 2 и 4 таких умножений не содержат. Следо­ вательно, основной вклад в вычислительные затраты составляют опера­

39

ции умножения на поворачивающие множители. Формулы (2.18) и (2.27) позволяют определить число таких операций для алгоритмов БПФ по основаниям 2 и 4 соответственно. Однако полученные величи­ ны не в полной мере характеризуют объем вычислений, так как для ряда

операций поворачивающие множители W'* не являются комплексным числом. Если W* - нетривиальное, т.е. комплексное число, то проце­

дуры (2.13), (2.14) и (2.24) называются нетривиальными умножениями', их число, в основном, и определяет вычислительные затраты.

Число нетривиальных умножений, выполняемых при TV-точечном БПФ по основанию 2, можно определить с помощью соотношения [4]:

На каждом этапе они объединяются в разное число групп: на пер­ вом - в одну группу, на втором - в четыре группы и т.д. Число групп, в которые объединяются /С базовых операций каждого этапа, равно

К2= 4/,_|.

Следовательно, на каждом этапе в одной группе содержится Къ

операций:

Ky = Kl/K 2 = N/4"

Так как базовая операция БПФ (2.25) имеет четыре выходных чле­ на, то, согласно (2.24), четвертая часть всех выходных чисел этапа в

умножениях на W'* не участвует, поскольку поворачивающий множи­ тель при х,(А') в (2.24) отсутствует. Все остальные числа умножаются на

W'H , однако на каждом этапе три таких множителя являются тривиаль­

ными, т.е. не комплексными числами, что наглядно иллюстрируется направленным графом рис. 2.6. С учетом этого можно получить форму­ лу, позволяющую определить число нетривиальных умножений для ал­ горитма БПФ по основанию 4 [8]:

40