книги / Электронные генераторы. Фильтры
.pdf3) номиналы элементов C, R (величины емкостей и сопротивлений) должны быть стабильными и точными (точность не менее 1 %). Такими свойствами обладают конденсаторы малого номинала (менее 1000 пФ) с высококачественным диэлектриком. При этом для обеспечения (получения) больших величин постоянной τ (τ = RC) при низких частотах приходится применять высокостабильные высокоомные резисторы (десятки мегаом) высокой точности [3].
Отклонение от указанных условий ведет к ухудшению избирательных свойств, неточности настройки, ухудшению стабильности. Из-за низкой эквивалентной добротности ( QэквRC = 1/ 4 )
двойной Т-мост, как пассивный фильтр, мало эффективен. Пример 1.2. Пусть элементы двойного Т-моста имеют
следующие номиналы (идеальные условия выполняются):
R1 = R2 = R = 12,0 МОм, R3 = 6,0 МОм,
C1 = C2 = C = 100 пФ, C3 = 200 пФ.
Определить частоту настройки (квазирезонанса) f0. Согласно (1.59)
f0 = |
1 |
= |
1 |
= 133 |
Гц . |
|
2πRC |
2 3,14 12 106 100 10−12 |
|||||
|
|
|
|
Пример 1.3. Пусть из спектра сигнала надо вырезать помеху с частотой сети 50 Гц. Выберем такие же номиналы сопротивлений, как в примере 1.2:
R1 = R2 = R = 12,0 МОм, R3 = 6,0 МОм.
Из формулы (1.59) найдем величину C (C = C1 = C2) при f0 = 50 Гц:
C = |
1 |
= |
|
|
1 |
= 2,65 |
10−10 |
Ф = 265 пФ. |
2πf0 R |
|
3,14 |
50 12 106 |
|||||
|
2 |
|
|
|
41
1.5.2. Активные фильтры с двойным Т-мостом
Почти всегда двойные Т-мосты используются в составе активных фильтров, что обеспечивает максимальную эффективность фильтра − высокую добротность и избирательность. В активном фильтре Т-мост включается в цепь отрицательной (ООС) или положительной (ПОС) обратной связи. Усилитель в активном фильтре может быть выполнен как на транзисторах, так и на операционных усилителях (ОУ). Для выполнения идеальных условий для Т-моста в транзисторных усилителях используются эмиттерные повторители (ЭП) на входе (выходное сопротивление эмиттерного повторителя мало (Rвых ЭП ≈ 0)) и на выходе (входное сопротивление эмиттерного повторителя велико (Rвх ЭП ≈ ∞)) фильтра. Операционные усилители в фильтре должны быть высокостабильными с очень большим входным сопротивлением
(RвхОУ ≈ ∞) и очень малым выходным сопротивлением (RвыхОУ ≈ 0). В зависимости от способа включения Т-моста в схему фильтра могут быть получены полосовые или режекторные фильтры с высокой эквивалентной добротностью.
Полосовой фильтр с двойным Т-мостом
Для получения полосового фильтра с АЧХ, аналогичной резонансной кривой на рис. 1.2,а, двойной Т-мост включают в цепь ООС, как показано на рис. 1.14,а. В этой схеме фильтра двойной Т-мост включен между выходом ОУ и его инвертирующим входом 1. Усиливаемый сигнал Uвх подается на неинвертирующий вход 2, т.е. в фильтре используется неинвертирующее включение ОУ. На частотах, далеких от частоты настройки f0 (f << f0 << f), коэффициент передачи моста |γОС| = 1, что обусловливает глубокую ООС, при которой коэффициент усиления усилителя KОС, охваченного глубокой ООС, тоже близок к единице (KОС ≈ 1). На частоте настройки f0 коэффициент передачи Т-моста равен нулю (|γОС| = 0), ООС исчезает (сигнал
42
с выхода ОУ не передается на его инвертирующий вход) и KОС достигает максимальной величины KОС max, равной величине низкочастотного коэффициента усиления K0:
KOC max |
= K0 |
=1+ |
ROC |
. |
(1.61) |
|
|||||
|
|
|
R 1 |
|
Частота настройки определяется согласно (1.59). При небольшом отклонении частоты от f0 (f < f0 < f) коэффициент передачи Т-моста увеличивается (|γОС| >0), появляется ООС и коэффициент KОС уменьшается. Этот процесс уменьшения KОС продолжается при увеличении отклонения частоты от f0. На рис. 1.14,б представлены графики зависимостей от частоты коэффициента усиления без ООС (без моста) − график K0, коэффициента усиления при действии ООС через двойной Т-мост – график KОС и коэффициента передачи Т-моста − график |γОС|. Результирующая характеристика (график KОС) аналогична резонансной кривой 1 на рис. 1.2,б. Граничные частоты (частоты среза) f1, f2 определяются так же, как
на рис. 1.2,б, − при уменьшении KОСmax в |
2 раза (на уровне |
|||
K0 / 2 ). Всоответствии с (1.6) |
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
∆ F= f2− |
f1= |
0 |
. |
(1.62) |
Q |
||||
|
|
экв |
|
Величина эквивалентной добротности Qэкв для схемы фильтра, приведенной на рис. 1.14,а, зависит от добротности
двойного Т-моста QэквRC и коэффициента усиления K0:
Qэкв = QэквRC KOC max |
= |
KOC max |
= |
K0 |
. |
(1.63) |
|
|
|||||
|
4 |
4 |
|
|
Она может достигать нескольких сотен и более. Полосовой фильтр, показанный на рис. 1.14, а, может иметь очень высокую избирательность (при высокой эквивалентной добротности (1.63)). Для сохранения высокой избирательности и ста-
43
бильности параметров ПФ необходимо соблюдение идеальных условий, приведенных при рассмотрении пассивного двойного Т-моста. В частности, при выборе сопротивлений резисторов RОС и R1, при помощи которых устанавливается необходимая величина K0, нужно учитывать требования «идеальности». По этой же причине резистор RОС лучше не включать. Его роль будут выполнять резисторы R моста.
Рис. 1.14
Расчет двойного Т-моста (выбор элементов) в полосовом фильтре производится так же, как в примерах 1.2 и 1.3 (п. 1.5.1).
Режекторный фильтр с двойным Т-мостом
В электронной аппаратуре часто используются режекторные фильтры (РФ), не пропускающие сигнал (непрозрачные) на одной частоте, называемые также фильтрами-пробками. Такие фильтры помогают очистить сигнал от монохроматической помехи. Чаще всего такой помехой является помеха на частоте сети 50 Гц. Эффективные режекторные фильтры строят на базе двойного Т-моста и операционных усилителей. Схема такого РФ показана на рис. 1.15, а.
44
Рис. 1.15
В качестве усилительного звена в ней используется неинвертирующий повторитель на ОУ. Двойной Т-мост (R1, R2, R3, C1, C2, C3) включен в цепь положительной обратной связи по напряжению. Сигнал обратной связи с выхода ОУ подается в центральную точку ц моста. При этом выходное (внутреннее) сопротивление ОУ почти равно нулю (одно из идеальных условий для двойного Т-моста), т.е. источником сигнала− усилителем с обратной связью по напряжению – это условие хорошо выполняется. Входное сопротивление по неинвертирующему входу ОУ должно быть близко к бесконечности (другое идеальное условие для двойного Т-моста). Это условие тоже хорошо выполняется, так как реально входное сопротивление неинвертирующего включения очень велико. При выполнении идеальных условий для двойного Т-моста добротность такого РФ может быть весьма высокой. Однако если в этих схемах использовать стандартные ОУ (ОУ широкого применения), у которых входное сопротивление относительно невелико, то трудно обеспечить эквивалентную добротность Qэкв > 20 [3]. На рис. 1.15,б приведена амплитудночастотная характеристика режекторного фильтра | K& |, имеющего Qэкв = 20 (график 1). Для сравнения там же приведена АЧХ пассивного двойного Т-моста, имеющего QэквRC = 1/ 4 (график 2).
Можно получить РФ с плавно регулируемой добротностью от QЭКВRC = 1/ 4 до максимальной Qэкв max, если регулировать вели-
45
чину сигнала обратной связи, подаваемого в точку ц, в пределах от UОС = 0 до максимального UОС max. Регулирование величины UОС выполняют при помощи потенциометра, подключаемого к выходу ОУ. При этом снимаемый со средней точки потенциометра сигнал обратной связи UОС подается в точку ц через дополнительный неинвертирующий повторитель на ОУ [3].
1.6.Фильтры с мостом Вина
1.6.1.Пассивный мост Вина
Другой распространенной специальной избирательной RC-цепью, широко применяемой в фильтрах, является мост Вина. Кроме фильтров, мост Вина широко используется в автогенераторах гармонических колебаний, которые будут рассмотрены далее. Схема моста Вина показана на рис. 1.16,а.
Полный мост Вина включает в себя две половины. Левая половина – элементы C1, R1, C2, R2, правая – элементы R3, R4. Частотно-зависимой (избирательной) является левая половина, и ее коэффициент передачи (частотная характеристика) K&(ω ) цели-
ком определяет избирательные свойства моста Вина. Коэффициент передачи правой половины постоянен (не зависит от частоты), так как определяется только резисторами R3, R4. Со средней
точки b делителя R3,R4 снимается напряжение U"2 , не зависящее от частоты. Это напряжение U"2 вычитается из частотно-
зависимого выходного напряжения левой половины U2. Разность этих напряжений U2′ (U2′= U2−U 2") снимается с диагонали моста а,b. Поскольку избирательной является только левая половина моста, то интерес представляет только ее частотная характери-
стика K&(ω ) . Обычно только ее и рассматривают. Левую полови-
ну называют полумостом Вина, а иногда и мостом Вина. Она чаще всего используется в фильтрах и генераторах. Поэтому именно такой мост Вина (точнее, полумост) рассматривается далее. Элементы моста Вина часто выбираются из условий:
46
R1 = R2 = R, R3 = R/2, С1 = С2 = С, С3 = 2С. |
(1.64) |
Рис. 1.16
Частотная характеристика K&(ω ) моста Вина (полумоста) легко может быть получена с учетом обозначений на рис. 1.16,а:
|
|
|
K&(ω )= |
U2= |
Z2 |
|
, |
|
|
(1.65) |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
U1 |
Z1 + Z2 |
|
|
|||
|
Z1 |
= |
1 + jω C1·R1 |
, |
Z2 = |
|
|
R2 |
, |
(1.66) |
||
|
|
|
1+ ωj R2 ·C2 |
|||||||||
|
|
|
jω C1 |
|
|
|
||||||
где Z1 – |
комплексное сопротивление последовательного звена |
|||||||||||
R1, C1; |
Z2 – |
комплексное сопротивление параллельного звена |
||||||||||
R2, С2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив в (1.65) значение Z1, Z2 из (1.66) и учтя (1.64), |
||||||||||||
можно K& (ω) представить в следующем виде: |
|
|
||||||||||
|
|
|
K&(ω )= |
|
|
|
jωτ |
|
|
, |
|
(1.67) |
|
|
|
|
|
|
|
( jωτ )2+ 3ωτj+ 1
или, разделив числитель и знаменатель на jωτ, так:
47
K&(ω )= |
|
1 |
|
= |
|
1 |
|
|
|
, |
(1.67а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|||||||
|
3 + j |
ωτ − |
|
|
3+ |
jν − |
|
|
|
|
||
|
ωτ |
ν |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где τ = R1 C1 = R2 C2 = RC; ν = ωτ.
Для полного моста Вина частотная характеристика K&′(ω) также может быть легко получена исходя из рис. 1.16,а:
K&′(ω )= |
U |
2′ |
U2 |
−U2′′ |
U2 |
U1 |
·R4 |
= K&ω( −) |
R4 |
|
|
= |
|
= |
− |
|
|
|
. (1.67б) |
||
|
|
|
|
R4 + R3 |
||||||
|
U1 |
U1 |
U1 |
U1 (R4 + R3 ) |
|
K& ′(ω) из (1.67б) в дальнейшем не рассматривается.
Из комплексной функции (1.67а) можно найти параметры моста: квазирезонансную частоту ω0, модуль K0 и фазу φ0 на частоте ω0.
Квазирезонансная частота ω0. На частоте ω0 модуль
K(ω0) является вещественным, что возможно при равенстве мнимой части (1.67а) нулю:
ω0 τ− |
1 |
= 0 |
(1.68) |
ω0 τ |
|||
или |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
f0 = |
1 |
|
|
|
|||
|
ω0 = |
|
= |
|
|
, |
|
|
|
. |
|
(1.69) |
|
|
τ |
|
RC |
|
|
2π RC |
|||||||
Если условие (1.64) не выполняется, то |
|
||||||||||||
ω 0= |
1 |
|
|
, f0 = |
|
|
1 |
|
. |
(1.69а) |
|||
|
|
|
|
||||||||||
R1 C1 C2 R2 |
2π |
R1 |
C1 R2 C2 |
Модуль K0 и фаза φ0. C учетом (1.69) коэффициент передачи K0 и фазовый угол ϕ 0 на частоте ω0 определяются так:
K0 |
= K (ω 0 )= |
1 |
, |
ϕ 0 = ϕ (ω 0 )= 0 . |
(1.70) |
|
|||||
|
3 |
|
|
|
48
Коэффициент 3 в знаменателе формулы (1.67а) равен эк-
вивалентному затуханию моста Вина δэквRC |
или его обратной ве- |
||||
личине – эквивалентной добротности моста QRC : |
|||||
|
|
|
|
|
экв |
QRC = |
1 |
= |
1 |
. |
(1.71) |
δ эквRC |
|
||||
экв |
3 |
|
|
Комплексная характеристика (1.67) включает в себя ампли- тудно-частотную характеристику (модуль) и фазочастотную характеристику (аргумент):
|
K&(ω ) |
= |
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
(1.72) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
ω |
|
|
|
ω |
0 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
9 + |
ν − |
|
|
9 + |
|
− |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ω |
|
ω |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
ω |
|
|
|
|
ω 0 |
|
|
|
ϕ ω( =) − |
|
arctg |
ν − |
|
= − |
arctg |
|
|
|
− |
|
|
|
. |
(1.73) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
ν |
|
|
3 |
ω 0 |
|
ω |
|
|
|||||
Модуль (1.72) найден как |
a2 + b2 |
, а аргумент (1.73) − как |
||||||||||||||||||||
arctg(b/a) при приведении (1.67) к виду a + jb. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Графики |
|
K& |
|
и ϕ |
|
на рис. 1.16,б,в соответствуют формулам |
||||||||||||||||
|
|
|
(1.72), (1.73).
На граничных частотах (частотах среза) f1, f2 модуль (1.72)
уменьшается до величины K0 |
|
2 (см. (1.70)): |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||
9 |
+ |
|
ν − |
|
|
|
= 3 |
2 . |
|
ν |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
После возведения в квадрат и простых преобразований |
|||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
= ±3 . |
|
|
|
|
ν− |
1 |
|
(1.74) |
||||
|
|
ν |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
49
Положительные корни (1.74) будут нормированными частотами среза ν1,ν2, из которых находятся частоты среза f1, f2 АЧХ, указанные на рис. 1.16,б и 1.17,а:
ν1 |
= |
f1 |
= 0, 31 , |
ν2 |
= |
f |
2 |
= 2, 31 ; |
(1.75а) |
|
f0 |
f |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
f1 = 0,31f0, |
f2 = 2,31f0. |
(1.75) |
Экспериментальная эквивалентная добротность моста, полученная из АЧХ c учётом (1.75),
QRC = |
f0 |
= |
f0 |
= |
1 |
, |
|
|
|
||||
экв |
∆ F |
|
f0 (3,31− 0,31) |
3 |
|
|
|
|
|
что соответствует теоретической (см.(1.71)).
Пассивный мост Вина без усилителя не эффективен.
Дополнение. Анализ частотных свойств достаточно сложных рациональных комплексных функций типа (1.67) может быть эффективно выполнен с использованием метода полюсов и нулей функции в логарифмическом масштабе [2]. Для этого многочлены функции представляют произведением линейных множителей нулей (в числителе) и множителей полюсов (в знаменателе). Затем множители нулей и полюсов представляют приближенно асимптотическими диаграммами (диаграммами Боде) в логарифмическом масштабе. Покажем это на примере (1.67). Для разложения на множители знаменатель функции (1.67) можно представить (по теореме Виета) квадратным уравнением:
|
|
|
|
|
x2 + 3x + 1 = (x – |
x1)(x – x2) = 0, |
(1.76) |
|||
где x = jωτ , х1, х2 – |
корни уравнения: |
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
2 |
x1 |
= −0,38, |
|
x1,2 |
= − |
|
|
± |
|
|
|
−1 ; |
= −2, 62, x1 x2 |
(1.77) |
2 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
= 1. |
50