книги / Электронные генераторы. Фильтры
.pdfУстановление амплитуды колебаний
В автогенераторах возможны «мягкий» и «жесткий» режимы самовозбуждения. В маломощных автогенераторах используется «мягкий» режим, рассматриваемый далее. «Жесткий» режим кратко рассмотрен в п. 2.5.2.
«Мягкий» режим самовозбуждения. Чтобы самовозбуж-
дение автогенератора происходило гарантированно при любых изменениях параметров схемы (Kни,C,R), величину Kни в условии (2.8) берут больше трех (Kни > 3). При этом амплитуда колебаний от бесконечно малой величины в момент самовозбуждения (например, от тепловых флуктуаций в цепи) быстро увеличивается. При существенном увеличении амплитуды рабочая точка усилителя заходит в нелинейную область, в которой уменьшается величина Kни. Устойчивый режим колебаний достигается в точке, в которой выполняется равенство в (2.8) и устанавливается постоянная амплитуда колебаний. Величина этой амплитуды определяется передаточной (амплитудной) характеристикой усилительного звена ОУ, глубиной обратной связи ( γOC ) и на-
чальным смещением (режимом покоя) усилительного звена (последнее важно для транзисторных усилителей). Анализ процесса самовозбуждения колебаний и достижения устойчивого режима с учетом указанных выше факторов позволяет произвести количественный расчет этого процесса и определить величину амплитуды установившихся колебаний. Но этот анализ достаточно сложен, и приводить его здесь нецелесообразно. Приближенно проследить этот процесс можно графически. На рис. 2.2 приведены графики колебательной характеристики (график 1) и зависимостей UОС = f (U2 ) (графики γ′,γ′′,γ′′′ ).
Колебательной характеристикой в теории генераторов называют зависимость выходной величины (U2 или i2 ) от вели-
чины внешнего сигнала U1 (или eг ) на входе. При выборе в ка-
81
честве выходной величины U2 это будет передаточная (амплитудная) характеристика усилителя: U2 = f (U1 ) .
|
|
При |
коэффициенте об- |
||
|
ратной связи γ′ |
ничтожно ма- |
|||
|
лая флуктуация |
∆ Е |
на входе |
||
|
усилителя вызывает появление |
||||
|
на выходе сигнала ∆ U2 , кото- |
||||
|
рый через цепи обратной связи |
||||
|
вызывает |
появление |
сигнала |
||
|
∆ UОС |
на |
входе, и |
он уже |
|
|
больше первичной флуктуации |
||||
|
( ∆ UОС> ∆ |
E ). Но этот сигнал |
|||
Рис. 2.2 |
∆ UОС |
вызовет |
еще |
большее |
|
|
колебание на выходе, которoe, |
||||
в свою очередь, обусловит большую величину UОС и т.д. Про-
цесс будет развиваться так, как показано на рис. 2.2 пунктиром. При достаточно большой амплитуде колебаний (при приближении к точке A′ ) захватывается нелинейная область графика 1, в которой величина Kни начинает уменьшаться. Равновесие уста-
новится в точке A′ , в которой (2.8) станет равенством ( Kни = 3 ), установится амплитуда колебаний U2′ и сигнал обратной связи UОС′ . Это и будет устойчивым равновесием, при котором любое
случайное отклонение от точки A′ |
приводит к восстановлению |
равновесия (возврату в точку A′ ). |
Такой режим возникновения |
колебаний называют «мягким» |
режимом самовозбуждения. |
Он эквивалентен режиму класса А. |
|
Изменить амплитуду колебаний можно изменяя величину
сопротивления RОС |
(изменяя Kни) или величинуγОС . Так, при |
|
|
& |
|
γ&ОС = γ′′ ( γ′′ < γ′ ) равновесие установится в точке A′′ |
с меньшей |
|
амплитудой U ′′ (U ′′ < U ′ ) и сигналом обратной связи U ′′ . |
||
2 2 |
2 |
ОС |
82
При обратной связи меньше критической, например при γ&ОС = γ′′′ , самовозбуждение не происходит, так как сигнал, про-
шедший петлю (усилитель + цепь обратной связи), будет меньше первоначального и колебания будут затухать (уменьшаться до нуля) даже при большом первоначальном возмущении.
В установившемся режиме колебаний в точке A′ с амплитудой U2′ рабочая точка ( A′ ) находится в существенно нелинейной части колебательной характеристики (графика 1). В результате нарушается линейность связи U2 и UОС , и форма коле-
баний может заметно отличаться от синусоидальной. Выбирать коэффициент обратной связи меньше (на грани выполнения равенства (2.2)) нельзя, так как при изменениях параметров схемы он может стать меньше критического.
Чтобы сохранить синусоидальность формы колебаний при гарантированном самовозбуждении колебаний, обратную связь делают нелинейной или инерционной. В генераторe с мостом Вина обычно обратную связь делают инерционной, для чего один из элементов цепи отрицательной обратной связи (ROC, R1) выбирают термозависимым таким образом, что при нарастании амплитуды колебаний обратная связь увеличивается. В качестве ROC можно использовать терморезистор с отрицательным температурным коэффициентом сопротивления, в качестве R1 – с положительным (позистор). Часто для этой цели вместо обычного резистора R1 используют маломощную лампу накаливания Л (вместо резистора 375 Ом – лампа 10 В×14 мА) [3], как показано на рис. 2.1,а. Она представляет собой терморезистор, сопротивление которого увеличивается по мере его нагрева. При включении такого автогенератора и холодном терморезисторе
Kγ& >1 (например, γ&ОС = γ′ ), что обеспечивает гарантирован-
ность самовозбуждения. С ростом амплитуды колебаний лампа (терморезистор R1) нагревается увеличивающимся током, сопротивление лампы увеличивается, глубина отрицательной обратной связи также увеличивается до выполнения условия
Kγ& =1 . Это происходит в самом начале нелинейной области
83
(или даже на линейном участке) графика 1. Такая инерционная отрицательная ОС стабилизирует амплитуду колебаний и практически не искажает форму колебаний. Коэффициент гармоник ξ г при тщательной настройке не превышает 0,5 % [5]. Для обеспечения малой величины ξ г при полной амплитуде колебаний применяют и нелинейную ООС. При этом схемы получаются более сложные [3].
2.3. RC-автогенератор с фазоповорачивающей цепочкой
Так называются автогенераторы, у которых в цепи обратной связи используется фазоповорачивающая цепь, состоящая из трех или четырех звеньев (чаще из трех). Такие многозвенные цепи, широко применяемые в фильтрах, называют «лестничными» цепями. Различают две разновидности RC-генераторов: «R-параллель» и «C-параллель». В генераторах разновидности «R-параллель» применяют трехзвенный фильтр верхних частот (ФВЧ), у которого резисторы звеньев соединены параллельно. Такие звенья называют также дифференцирующими. В генераторах разновидности «C-параллель» в качестве цепи обратной связи применяют трехзвенный фильтр нижних частот (ФНЧ), у которого конденсаторы всех звеньев соединены параллельно. Звенья ФНЧ называют также интегрирующими. Далее будут рассмотрены обе разновидности: генератор разновидности «R-параллель» (рассматриваемый почти во всех учебных пособиях) − более подробно; генератор разновидности «C-параллель» (почти нерассматриваемый в учебных пособиях) − кратко, с использованием данных, полученных при рассмотрении генератора «R-параллель».
2.3.1. Генератор разновидности «R-параллель»
Схема RC-генератора «R-параллель» приведена на рис. 2.3,а. Фазоповорачивающая цепь состоит из трех звеньев C1 R1, C2 R2 , C3 R3. Она включена в цепь ООС между выходом ОУ и его инвертирующим входом. Усилитель может быть транзисторным.
84
Рис. 2.3
Чтобы получить положительную обратную связь (выполнить условие (2.1)), цепь обратной связи должна изменить фазу выходного сигнала на 180º. Фазоповорачивающая цепь в схеме на рис. 2.3,а представляет собой фильтр верхних частот третьего порядка (n = 3). В каждом звене такой цепи теоретически фазовый угол φ может изменяться от 90º до 0º при изменении частоты от 0 Гц до ∞. Однако практически фаза изменяется в меньших пределах из-за необходимости обеспечения конечной величины выходного напряжения звена. Поэтому для изменения фазы на 180º нужно не менее трех звеньев. На рис. 2.3,б,в приведены АЧХ (модульγ&OC ) – график 1 и ФЧХ – график 3 для усло-
вия (2.10). Аналогичная двухзвенная цепь (ФВЧ второго порядка) была рассмотрена ранее в п. 1.3.2.
85
Как и в фильтрах, для каждого звена цепи могут выполняться идеальные условия (режим холостого хода – ХХ) или не выполняться. В генераторах чаще используется неидеальный режим.
Неидеальные условия для цепи обратной связи
Элементы звеньев цепи обратной связи чаще выбирают одинаковыми:
R1 = R2 = R3 = R, C1 = C2 = C3 = C. |
(2.10) |
Для получения передаточной характеристики цепи обратной связи K(ω), которая здесь является коэффициентом обратной связи γ&ОС , составим уравнения для контурных токов i1, i2, i3:
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 = i1 (x + R) − i2 R, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = −i1R + i2 |
|
|
(2.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2R) − i3 R, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = −i2 R + i3 (x + 2R). |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Из уравнений (2.11) найдем UOC, i3, γОС : |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UOC = i3·R4 , |
|
|
|
|
|
|
|
i3 = |
|
|
U |
R2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
, |
(2.12) |
||||
|
|
|
(x + 2R)[(x + 2R)(x + R) − R2 ] − R2 (x + R) |
|||||||||
& |
U |
ОС |
|
|
i R |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
γОС = |
|
|
= |
|
= |
|
,(2.13) |
|||||
|
U2 |
U2 |
(x + 2R)[(x + 2R)(x + R) − R2 ] − R2 (x + R) |
|||||||||
где x =1
jωС.
После подстановки x в (2.13) и несложных преобразований можно найти частотную характеристику для нормированной частоты ν (см. (1.25)):
& |
( jν)3 |
|
|
= |
− jν3 |
|
|
( jω)3 + 6( jν)2 |
+ 5 jν +1 |
(1 − 6ν2 ) + 5 jν(5 − ν2 ) . (2.14) |
|||||
γОС = |
|||||||
86
Подставив (2.14) в условие самовозбуждения (2.2) и приняв коэффициент усиления Kин инвертирующего включения ОУ вещественным, получим:
−Kин jν3 = (1 − 6ν2 ) + j(5ν _ ν3 ) . |
(2.15а) |
Приведем (2.15а) к виду a + jb = 0: |
|
(1 − 6ν2 ) + jν(5 − ν2 + Kинν2 ) = 0 . |
(2.15) |
Проанализируем условия самовозбуждения в формуле (2.15) аналогично анализу формулы (2.7).
Баланс амплитуд: a =1 − 6ν2 = 0. Решение этого равенства дает частоту генерации ωг:
νг =1
6 ,
или |
|
ωг = ω0 6 =1 (RC 6) . |
(2.16) |
Частоту ω0 =1
RC ранее называли частотой сопряжения
асимптот, частотой среза для фильтров первого порядка, квазирезонансной частотой для цепей с характеристиками резонансного типа. При рассмотрении RC-генераторов частоту ω0 будем называть частотой сопряжения. В отличие от ω0 частоту генерации будем обозначать ωг, так как при одной и той же ω0 могут быть разные ωг.
Баланс фаз: b = 5 − ν2 − Kинν2 =0. Подставив в это равенство ν2 =1
6 , найдем минимальную величину Kин на частоте генерации ωг:
Kин = 29. |
(2.17) |
Согласно (2.16) и (2.17) для самовозбуждения этого генератора (для возникновения колебания внутри генератора) необ-
87
ходимо, чтобы коэффициент усиления усилителя без обратной связи был больше 29:
Kин = − |
RОС |
> 29. |
(2.17а) |
|
R4 |
||||
|
|
|
||
Частота генерации ωг при выполнении условия (2.10) бу- |
||||
дет меньше частоты сопряжения ω0 в |
6 раз. |
|
||
Резистор R4 включен параллельно резистору R3. Поэтому для выполнения условий (2.10) эквивалентное сопротивление параллельного соединения R4 и R3 должно быть равно R из (2.10):
Rэкв = R3 
R4 = R .
Стабильность частоты генерации ωг такая же, как для генератора с мостом Вина, рассмотренного в разделе 2.2, так как условие (2.17а) не препятствует получению глубокой отрицательной связи в усилителе на ОУ (с бесконечно большим дифференциальным коэффициентом усиления). Для транзисторных RC-генераторов с фазоповорачивающей цепью стабильность частоты генерации хуже (коэффициент нестабильности больше). Для гарантированного самовозбуждения при любых изменениях параметров схемы тоже выбирают Kин > 29. При этом тоже происходит «мягкое» самовозбуждение, рассмотренное в разделе 2.2.
Коэффициент гармоник ξг больше, чем в генераторе с мостом Вина, так как цепь обратной связи в схеме на рис. 2.3,а безынерционная.
Изменения амплитуды колебаний в некоторых пределах (подрегулировку) производят малым изменением (подстройкой) сопротивления RОС.
Дополнение. Амплитудно-частотную (модуль γ&ОС ) и фа-
зочастотную (φОС(ν)) характеристики можно получить из комплексной функции (2.14), представив ее в виде a + jb, для чего
88
числитель |
и |
знаменатель |
|
функции |
|
(2.14) |
надо |
|
|
умножить |
||||||||||||||||||||
на (5ν − ν 3 )− j(1 − 6ν 2 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
& |
ν3[(5ν− ν3 ) − j(1− 6ν)] |
ν3[(5ν_ ν3 ) _ j(1_ 6ν2 ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
γОС = |
(5ν− ν |
3 |
) |
2 |
− j(1− 6 |
ν) |
2 |
= |
(1 |
_ |
6ν |
2 |
) |
2 |
+ (5ν |
_ |
ν |
3 |
) |
2 |
. |
(2.18) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Из формулы (2.18) легко найти АЧХ (модуль |
& |
|
) и ФЧХ |
||||||||||||||||||||||||||
|
γ ОС |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(φОС(ν)) функции γ ОС : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
& |
|
|
|
= |
a |
2 |
+ b |
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
ν3 |
|
|
|
|
|
, |
|
(2.19) |
|||
|
|
|
γОС |
|
|
|
(5ν − |
ν3 )2 − (1− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6ν2 )2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
ϕ = |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
−(1− 6ν 2 ) |
|
|
|
|
|
1− 6ν 2 |
. |
(2.20) |
|||||||||
|
|
arctg |
= |
arctg |
|
|
3 |
= − arctg |
5ν − ν |
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
(5ν − ν |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
По формулам (2.19),(2.20) построены графики 1 (мо- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
& |
и 3 (ФЧХ (2.20)) |
на рис. 2.3,б,в. Графики построены |
|||||||||||||||||||||||||||
дуль γ ОС ) |
||||||||||||||||||||||||||||||
в функции нормированной частоты ν (ν = ω/ω0=ωτ). Масштаб |
||||||||||||||||||||||||||||||
по оси ν логарифмический. Данные вычислений графиков 1,3 для |
||||||||||||||||||||||||||||||
некоторых значений ν приведены в табл. 2.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
||||
|
Данные вычислений графиков АЧХ и ФЧХ генератора |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«R-параллель» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ν |
Неидеальные условия |
|
|
|
Идеальные условия (ХХ) |
||||||||||||||||||||||||
(ω /ω0) |
& |
|
|
|
|
tgφОС |
|
φОС, град |
|
|
& |
|
|
|
|
tgφХХ |
|
φХХ, град |
||||||||||||
γОС |
|
|
|
|
|
|
|
γХХ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
0,156 |
|
|
|
− 1,25 |
|
|
|
|
129 |
|
|
|
0,35 |
|
|
− 1 |
|
|
|
135 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
1 |
|
8 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
6 |
0,034 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
0,054 |
|
|
0,43 |
|
|
203 |
|||||||
(1/ 29) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
3 |
0,067 |
|
|
|
− 0,37 |
|
|
|
|
160 |
|
|
|
0,125 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
180 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1/8) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6 |
0,5 |
|
|
|
|
|
14,3 |
|
|
|
|
85 |
|
|
|
0,8 |
|
|
2,32 |
|
|
66 |
|||||||
|
3 |
0,3 |
|
|
|
|
|
− 5 |
|
|
|
|
|
102 |
|
|
|
0,65 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
90 |
||||
|
0,1 |
0,0006 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
243 |
|
|
|
0,001 |
|
|
3,24 |
|
|
252 |
|||||||
|
10 |
0,89 |
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
0,985 |
|
|
0,3 |
|
|
|
16 |
||||||
|
5 |
0,7 |
|
|
|
|
|
1,49 |
|
|
|
|
56 |
|
|
|
0,94 |
|
|
0,67 |
|
|
33 |
|||||||
|
0,2 |
0,007 |
|
|
|
|
0,76 |
|
|
|
|
217 |
|
|
|
0,008 |
|
|
1,47 |
|
|
233 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89 |
Из (2.19) и (2.20) можно получить условия самовозбуждения (2.16),(2.17), приравняв (2.20) к нулю, а затем можно найти модуль (2.19) на найденной частоте генерации.
Идеальные условия для цепи обратной связи
При выполнении идеальных условий (1.18): R1 << R2 <<
<< R3, C1 >> C2 >> C3, C1R1 = C2R2 = C3R3 = τ – звенья цепи об-
ратной связи не влияют друг на друга (звенья в режиме холостого хода) и коэффициент обратной связи γ&XX может быть представлен как произведение передаточных функций трех звеньев:
& |
|
R |
3 |
|
jωRС |
3 |
|
|
jν |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
||
γХХ = |
|
|
+ jν |
||||||
|
|
R +1 ( jωС) |
|
1 + jωRС |
1 |
||||
3
(2.21)
или
& |
− jν3 |
|
|
|
(1 − 3ν2 ) + j(3ν− ν3 ) . |
(2.22) |
|||
γХХ = |
||||
Подставим (2.22) в условие самовозбуждения (2.2), считая Kин вещественным (аналогично анализу (2.14)):
− jν3Kин = (1 − 3ν2 ) + j (3ν− ν3 ) . |
(2.23а) |
Приведем полученное уравнение (2.23а) к виду a+ jb = 0:
(1 − 3ν2 ) + jν(3 − ν2 + ν2 K ′ ) = 0 . |
(2.23) |
||
|
|
ин |
|
Условие (2.23), как и (2.15), включает в себя условия са- |
|||
мовозбуждения – баланс амплитуд и баланс фаз. |
|
||
Баланс амплитуд: |
a =1 − 3ν 2 = 0 . Решение этого уравне- |
||
ния дает частоту генерации ω |
′г : |
|
|
|
νг' |
=1 3 |
|
или |
|
|
|
ω' = ω |
0 |
3 =1 ( RC 3) , |
(2.24) |
г |
|
|
|
90