книги / Эконометрика. Начальный курс

(приложение ЛА, п. 18). Предположим, что матрица Е не выро­ ждена. Для построения оценки вектора /3 применим обобщенный метод наименьших квадратов (п. 5.2, формула (5.4)):

3 GLS = (X'Sl~xX ) ~ lX'Sl~ly

(здесь мы воспользовались известным свойством произведения Кронекера: для двух квадратных невырожденных матриц А и В выполнено равенство (А ® В )~ х = А ~ 1® В ~ 1 (приложение ЛА, п. 18)).

Нетрудно понять, что в общем случае оценка (9.5) отличается от оценки, полученной в результате применения обычного мето­ да наименьших квадратов к каждому уравнению в системе (9.3). Есть, однако, две ситуации, когда эти оценки совпадают.

1.Уравнения в (9.3) действительно не связаны друг с другом, т. е. &ij = 0 при i ф j.

2.Все уравнения в (9.3) имеют один и тот же набор независи­ мых переменных, т.е. Х \ = Хъ = ... = Х м -

Первое утверждение почти очевидно, поскольку матрица П в этом случае является диагональной. Доказательство второго утвер­ ждения требует некоторых вычислений, мы его оставляем чита­ телю в качестве упражнения.

Для использования доступного обобщенного метода наимень­ ших квадратов нужно оценить матрицу £ . Это можно сделать, применяя к каждому уравнению системы (9.3) обычный ме­

Отметим в заключение, что эффективность оценки 0 QLS (или ее доступного варианта) по сравнению с МНК-оценками тем вы­ ше, чем сильнее корреляция между ошибками.

9.2.Системы одновременных уравнений

Примеры: кривые спроса и предложения

Пример 1. Рассмотрим вначале простой пример системы одно­ временных уравнений, который демонстрирует основные пробле­ мы, возникающие при попытке оценить неизвестные параметры. (Этот пример входит практически во все учебники по эконометри­ ке.) Предположим, что исследуется зависимость спроса и предло­ жения некоторого товара от его цены и дохода — так называемые кривые спроса и предложения:

где Pt — цена товара, Yt — доход в момент времени t. Предполага­ ется, что на рынке существует равновесие, т.е. в каждый момент времени наблюдается одна величина

Записывая каждое уравнение, для простоты в отклонениях от средних значений (см. п. 2.2), получаем следующую систему:

Отметим, что в соответствии с этой моделью цена и величина опроса-предложения определяются одновременно (отсюда и тер­ мин «одновременные уравнения») и поэтому обе эти переменные должны считаться эндогенными. В отличие от них доход yt явля­ ется экзогенной переменной. Подчеркнем, что деление перемен­ ных на экзогенные и эндогенные определяется содержательной стороной модели. Предполагается, что в каждом уравнении эк­ зогенные переменные некоррелировапы с ошибкой. В то же время эндогенные переменные, стоящие в правых частях уравнений, как

Тогда в силу закона больших чисел и формулы (9.10) имеем

У(е«)

<*2-02‘

(Напомним, что Cov(t»t,et) = 0.) Далее, из (9.9) в силу некорре­ лированности у с и vie получаем

Таким образом, p lu n ^ ^ c ^ = а 2, только если V(e) = 0. Система (9.6), (9.7) называется структурной формой моде­

ли, соответственно коэффициенты этих уравнений называются структурными коэффициентами. Система (9.8), (9.9) называется

приведенной формой модели. Обозначал

Здесь уже в каждом уравнении экзогенная переменная некоррслирована с ошибкой, поэтому метод наименьших квадратов даст состоятельные оценки S?i и х2 коэффициентов щ и 7г2 . За«- метим, что а 2 = тгх/яг2, поэтому (в силу теоремы Слуцкого) ве­ личина a 2iLs = 5ri/x2 будет состоятельной оценкой структурно­ го параметра а 2. Такой способ оценивания структурных коэффи­ циентов с помощью оценок коэффициентов приведенной формы

наименьших квадратов можно в качестве оценки структурного параметра а-2 брать либо я ц /я 21. либо ^12/^ 22, причем, в общем случае, это будут разные оценки. Точно так же можно в качестве инструмента использовать как у*, так и г(, тоже получая разные оценки. При этом, естественно, возникает вопрос, какая из них лучше. Ответ на него будет дан ниже при рассмотрении общей задачи.

В то же время, как нетрудно проверить, даже знание точных значений коэффициентов приведенной формы и для исходной, и для усложненной моделей не позволяет сделать никаких выводов относительно структурных параметров второго уравнения. Для этого уравнения также невозможно использовать у или г в каче­ стве инструментальной переменной из-за возникающей при этом линейной зависимости между регрессорами. Это явление тесно связано с так называемой проблемой идентификации, о кото­ рой подробно будет говориться ниже. В данном случае нетрудно понять, почему уравнение (9.7) для спроса неидентифицируемо. Действительно, возьмем произвольное число Л и составим линей­ ную комбинацию уравнений (9.6) и (9.7), умножая первое на Л, второе — на (1 - Л) и складывал их:

Уравнение (9.15) имеет точно такой же вид, что и уравнение (9.7). Иными словами, существует бесконечно много структурных форм, совместимых с имеющимися данными qt, pt, yt• Поэтому ка­ кой бы метод оценивания структурных коэффициентов уравнения спроса ни был выбран, нельзя сказать, какое отношение получен­ ные оценки имеют к исходным параметрам /Зг и /З3. Подчеркнем, что это не статистическая проблема, не проблема количества на­ блюдений: даже имея бесконечное число наблюдений, невозможно «правильно» оценить уравнение спроса (9.7).

Сформулируем выводы, которые мы получили, и проблемы, с которыми столкнулись, исследуя этот простой пример системы одновременных уравнений.

1) Переменные в системах одновременных уравнений делятся на экзогенные и эндогенные. Первые отличаются от вторых тем, что в каждом уравнении они некоррелированы с соот­ ветствующей ошибкой.

2)Из-за наличия корреляции между эндогенными переменны­ ми и ошибками непосредственное применение метода наи­ меньших квадратов к структурной форме модели приводит к смещенным и несостоятельным оценкам структурных ко­ эффициентов.

3)Коэффициенты приведенной формы модели могут быть со­ стоятельно оценены методом наименьших квадратов. Эти оценки могут быть использованы для оценивания структур­ ных параметров (косвенный метод наименьших квадратов). При этом возможны три ситуации: структурный коэффици­ ент однозначно выражается через коэффициенты приведен­ ной системы, структурный коэффициент допускает несколь­ ко разных оценок косвенного метода наименьших квадратов, структурный коэффициент не может быть выражен через коэффициенты приведенной системы. В последнем случае соответствующее структурное уравнение является иеидентифицируемым. Неидентифицируемость уравнения не свя­ зана с числом наблюдений.

4)Экзогенные переменные можно использовать в качестве ин­ струментальных. В том случае, когда оценка косвенного ме­ тода единственна, она совпадает с оценкой, полученной с помощью инструментальных переменных.

Прежде чем перейти к общей теории, рассмотрим две моди­ фикации исходной модели (9.6), (9.7) с тем, чтобы дать более на­ глядное представление о понятии идентифицируемости.

Пример 3. Спрос и предложение зависят только от цены:

На плоскости (Q, Р) равновесие представляется как пересе­ чение кривых (в данном случае прямых) спроса и предложения.

В этой модели имеются только одна кривая спроса и одна кривая предложения, а различие в наблюдаемых значениях обусловлено только случайными ошибками £ и и (см. рис. 9.1).

Рис. 9.1

Понятно, что, имея только «облако» наблюдений (Qt, Pt), t = 1,... ,п, ничего нельзя сказать об «истинных» прямых D и S, по­ скольку каждая точка (Qt, Ft) может быть реализована как пере­ сечение двух прямых, имеющих произвольный наклон. Заметим, что этот вывод подтверждается и приведенной формой модели

которая в правых частях уравнений содержит только случайные ошибки.

Пример 4. Исходная модель (9.6), (9.7). Здесь имеются одна кри­ вая предложения и несколько кривых спроса, благодаря наличию экзогенной переменной у , а разброс в наблюдениях обусловлен не только случайными ошибками, но и сдвигом кривой спроса вдоль единственной кривой предложения. Это обстоятельство и позво­ ляет оценить параметры последней (см. рис. 9.2). В то же время о положении прямых А ничего сказать нельзя, поскольку, как и в предыдущем примере, любой их наклон совместим с имеющимися наблюдениями.