книги / Эконометрика. Начальный курс

Q

Р

Рве. 9.2

Пример 5. Предложение также зависит от дохода:

В этом случае разброс наблюдений объясняется не только на­ личием случайных ошибок, но и одновременным сдвигом обеих кривых (см. рис. 9.3).

р к

Р

Рис. 9.3

ТЬк же, как и в первом примере, ни одна из кривых не может быть идентифицирована.

Системы одновременных уравнений в матричной форме. Проблема идентифицируемости

Предположим теперь, что имеется следующая система уравнений, называемая структурной формой модели (с этим понятием мы

Переменные y i,... ,уто, определяемые внутри системы, назы­ ваются эндогенными, в переменные хь...,х& могут быть вклю­ чены как внешние по отношению к системе (экзогенные) пере­ менные, так и лагированные значения эндогенных переменных, которые называются предопределенными переменными.

Индекс t, как и раньше, означает номер наблюдения, t = 1 ,... ,n, a £it,. . . , £пц — случайные ошибки. Будем считать, что в каждом уравнении один из коэффициентов 0 при какой-либо эндогенной переменной равен 1 — это естественное условие нор­ мировки. Оно позволяет представить каждое уравнение в привыч­ ном виде, когда в левой части стоит одна эндогенная переменная, а в правой части — остальные переменные с неизвестными коэф­ фициентами плюс случайная ошибка. Обозначим

Тогда систему (9.16) можно переписать в следующем виде:

Подчеркнем, что деление переменных на экзогенные и эндо­ генные должно быть проведено вне модели. Одно из основных

требований к экзогенным переменным — некоррелированность векторов x t и et в каждом наблюдении t. Будем предполагать, что

1)Е(**) = 0;

2)E(ete't) = Е, причем матрица Е не зависит от t и положи­ тельно определена;

3)при t Ф s векторы е* и еа некоррелированы;

4)матрица В невырождена.

Используя условие 4), умножим обе части равенства (9.17) сле­ ва на В -1:

где П = —В -1Г, ut — B _1et. Система (9.18) называется приведен­ ной формой модели (ср. п. 9.2, пример 1). Элементы матриц В и Г в (9.17) иногда для краткости называют структурными коэф­ фициентами, а элементы матрицы П в (9.18) — коэффициентами приведенной формы.

Нетрудно понять, что в общем случае эндогенные переменные и ошибки в структурной системе коррелированы (пример 1 дан­ ной главы), поэтому, как уже неоднократно отмечалось, приме­ нение к какому-либо из уравнений метода наименьших квадратов даст смещенные и несостоятельные оценки структурных коэффи­ циентов. В то же время коэффициенты приведенной формы могут быть состоятельно оценены, поскольку переменные х £ некоррели­ рованы со структурными ошибками et и, следовательно, с ошиб­ ками приведенной формы модели */£.

Мы не будем давать формального определения идентифи­ цируемости структурной модели, а для более подробного озна­ комления с этой проблемой можем рекомендовать, например (Greene, 1997, глава 16). Говоря же нестрого, тот или иной структурный коэффициент идентифицируем, если он может быть вычислен на основе коэффициентов приведенной фор­ мы. Соответственно какое-либо уравнение в структурной фор­ ме модели будет называться идентифицируемым, если иденти­ фицируемы все его коэффициенты. Подчеркнем еще раз, что

234 Гл. 9. Системы регрессионных уравнений

проблема идентифицируемости логически предшествует задаче оценивания, отсутствие идентифицируемости означает, что су­ ществует бесконечно много моделей, совместимых с имеющи­ мися наблюдениями, и это никак не связано с количеством наблюдений.

Приведенная форма (9.18) позволяет состоятельно оценить тпк элементов матрицы П и тп(тп + 1)/2 элементов матри­ цы ковариаций вектора ошибок и. В то же время в струк­ турной форме неизвестными являются тп2 —тп элементов мат­ рицы В (условие нормировки), шк элементов матрицы Г и m(m + 1)/2 элементов матрицы ковариаций вектора ошибок е. Таким образом, превышение числа структурных коэффициен­ тов над числом коэффициентов приведенной формы есть тп2 — тп и, следовательно, в общем случае система неидентифицируема. Однако, как было показано ранее (пример 1 данной главы), некоторые структурные коэффициенты или структур­ ные уравнения могут быть идентифицированы. Основная при­ чина этого — наличие априорных ограничений на структурные коэффициенты.

Мы будем изучать лишь задачу идентифицируемости отдель­ ного уравнения в том случае, когда ограничения имеют наибо­ лее простой вид, а именно, часть структурных коэффициентов равна 0. Более полное изложение проблем, связанных с иденти­ фицируемостью модели, содержится, например, в (Greene, 1997, глава 16).

Для определенности рассмотрим задачу идентифицируе­ мости первого уравнения системы (9.16) при условии, что какие-то структурные коэффициенты равны 0, т. е. из урав­ нения исключены некоторые переменные, и идентифицируе­ мость будем понимать как возможность вычисления структур­ ных коэффициентов уравнения по коэффициентам приведенной формы.

Для удобства изложения далее мы объединим в одну группу экзогенные и предопределенные переменные и будем называть их просто экзогенными переменными.

где 0Г — нулевой вектор-столбец размерности г. По правилу дей­ ствия с блочными матрицами имеем

(9-21)

(9.22)

Соотношение (9.22) является (линейной) системой к — р уравне­ ний (относительно /3,) с g - 1 неизвестными, поскольку в силу условия нормировки один из элементов вектора /3, равен 1. Оче­ видно, что если коэффициенты /3* найдены, то коэффициенты 7 Х определяются равенством (9.21). Ясно также, что для того чтобы параметры /3* в системе (9.22) можно было бы как-нибудь выра­ зить через элементы матрицы П*>хх, необходимо, чтобы число уравнений в (9.22) было не меньше числа неизвестных, т.е. вы­ полнялось неравенство

Иными словами, число исключенных из уравнения экзоген­ ных переменных должно быть не меньше числа включенных эн­ догенных переменных минус единица. Неравенство (9.23) носит название порядковое условие (order condition) и является лишь

необходимым условием идентифицируемости уравнения, посколь­ ку даже при его выполнении уравнения в (9.22) могут оказаться линейно зависимыми. Из общей теории систем линейных уравне­ ний известно, что для разрешимости системы (9.22) необходимо и достаточно, чтобы матрица П*>Хх имела ранг q —1:

Это равенство называется ранговым условием (rank condition),

и оно является необходимым и достаточным для идентифицируе­ мости уравнения.

Бели условие (9.23) выполняется со знаком равенства, то го­ ворят, что уравнение точно идентифицируемо (exactly identified), если со знаком строгого неравенства, то сверхидентифицируемо (overidentified). В последнем случае число уравнений превышает число неизвестных, и некоторые из структурных коэффициентов /3, могут быть выражены разным способом через коэффициенты матрицы П„(ХХ, как в примере 2 данной главы.

Оценивание систем одновременных уравнений. Двухшаговый метод наименьших квадратов

Как мы выяснили в предыдущем разделе, приступать к оценива­ нию того или иного уравнения в системе (9.16) имеет смысл лишь после того, как установлена его идентифицируемость. Как и рань­ ше, будем рассматривать для определенности первое уравнение и предположим, что оно содержит q эндогенных и р экзогенных переменных и идентифицируемо (в частности, выполнено поряд­ ковое условие (9.23)), при этом без ограничения общности можно считать, что коэффициент при у х равен 1.

1.Косвенный метод наименьших квадратов. При идентифици­ руемости уравнения оценки структурных коэффициентов можно найти, оценив методом наименьших квадратов приведенную фор­ му модели (9.18), а затем решив систему (9.21), (9.22), заменяя элементы матрицы П их оценками. Этот способ носит название

косвенный метод наименьших квадратов (Indirect Least Squares)

(см. п. 9.2, пример 1). В силу теоремы Слуцкого полученные оцен­ ки являются состоятельными, поскольку состоятельны оценки ко­ эффициентов приведенной формы модели. Однако у этого мето­ да есть серьезный недостаток: если уравнение сверхидентифицируемо, то в системе (9.22) число уравнений превышает число неиз­ вестных, а это значит, что один и тот же структурный коэффи­ циент допускает разные выражения через коэффициенты приве­ денной формы. Это сужает область его применения как с теоре­ тической (не ясно, какую же оценку следует предпочесть), так и с практической точки зрения (трудность алгоритмизации). Поэто­ му, как правило, используется

2.Двухшаговый метод наименьших квадратов. Представим первое уравнение в следующем виде:

Уи = ~012Уъ - ... - P iqy qt

—711®» ~ 7i2®2t — ... — J ip x pt + £ц> t — 1 ,...,n. (9.25)

где III — к х (q — 1) матрица коэффициентов приведенной формы;

3)осуществляется регрессия (9.26) с заменой в правой части Ух на У 1 , т. е. строятся МНК-оценки структурных парамет­ ров /Зх и 7 х в регрессии

Мы не ставим целью в данной книге дать подробное описание свойств двухшагового метода наименьших квадратов. Перечис­ лим без доказательства лишь основные результаты, касающиеся этого способа оценивания.

1)Бели для уравнения выполнено ранговое условие идентифи­ кации и порядковое условие (9.23) выполнено со знаком ра­ венства (точная идентификация), то 2SLS-oneiiKa совпада­ ет с оценкой, полученной косвенным методом наименьших квадратов.

2)28Ы5-оценка совпадает с оценкой, полученной методом ин­ струментальных переменных, когда в качестве последних ис­ пользуются Ух и Х х.

3)Пусть в качестве инструментальных переменных для заме­ ны У х выбраны любые линейные комбинации столбцов мат­ рицы X . Тогда матрица ковариаций этой оценки не меньше, чем матрица ковариаций 28Ь8-оценки.

Последнее свойство означает эффективность 28Ь8-оценки в соответствующем классе оценок. Отметим, что в большинстве эко­ нометрических компьютерных пакетов для оценивания систем од­ новременных уравнений реализован именно двухшаговый метод наименьших квадратов. В заключение подчеркнем, что при ис­ пользовании двухшагового метода наименьших квадратов факти­ чески каждое уравнение оценивается независимо от других. Су­

ществует так называемый трехшаговый метод наименьших квад­ ратов, который учитывает взаимодействие уравнений в системе, что приводит к повышению эффективности оценки, однако его описание выходит за рамки данной книги.

Завершим эту главу описанием классической макроэкономи­ ческой модели Клейна и результатов ее оценивания с помощью обычного и двухшагового метода наименьших квадратов.

Пример 6. Модель Клейна 1. В 1950 г. Л. Клейн предложил дина­ мическую модель макроэкономики, получившую название модель Клейна 1. Она описывается следующей системой уравнений:

Ct = «о + ociPt + ociPt-i + + W f) + eu (потребление),

It = Ро+ /?iPt + thPt-\ + (hKt-1 + £21 (инвестиции),

WT=7o+7i-^t+72-^t-i+73-'4t+£3t (зарплата в частном секторе),

Переменные, стоящие в левых частях уравнений, являются эн­ догенными. Экзогенными переменными в данной модели являют­ ся: G — государственные расходы, не включающие зарплату, Т — непрямые налоги плюс чистый доход от экспорта, W 9 — зарплата в государственном секторе, At — временной тренд (в годах, начи­ ная с 1931 г.). Кроме того, включены три предопределенные (лагированные) переменные. Таким образом, модель содержит три поведенческих уравнения, одно уравнение равновесия и два тож­ дества.

Приведем результаты оценивания первых трех уравнений на основе ежегодных данных для экономики США за период с 1921 по 1941 г. с помощью обычного метода наименьших квадратов и двухшагового метода наименьших квадратов (в скобках указаны оценки стандартных ошибок).