книги / Эконометрика. Начальный курс

коэффициенты), сделанные в начале и продолжении 1 этого при­ мера.

Для учета гетероскедастичности использовалась так назы­ ваемая двухшаговая процедура оценки (two-step estimation (см. Greene, 1997), не путать с двухшаговым методом наименьших квад­ ратов, two stage least squares, п. 8.2), которая является обобщением описанной выше ситуации, когда дисперсия пропорциональна од­ ному из регрессоров. Такая двухшаговая процедура дает асимпто­ тически несмещенные оценки стандартных ошибок коэффициентов регрессии.

Предполагается, что дисперсия ошибки есть линейная функция от нескольких регрессоров, в данном случае

На первом шаге процедуры мы оцениваем регрессионное уравнение нашей модели:

LOGPRICE = /?0 + ftLOGLIVSP + ftLOGPLAN + &LOGKITSP + ftLOGDIST + /JsFLOOR + /?сВМСК + jfrBAL

+ /JeLIFT + /3gRl + /JJOR2 + /?nR3 + j3uR4 + e, (**)

и из регрессии (*) (подставив вместо <7jостатки е, регрессии (**)) находим состоятельную оценку вектора дисперсий <7?.

На втором шаге полученные оценки Oi используются в каче­ стве весовых коэффициентов для взвешенного метода наимень­ ших квадратов (t-е уравнение делится на а*) (см. стр. 168).

В таблице 6.1 приведены результаты описанной выше двухша­ говой процедуры.

Из сравнения таблиц 3.1 и 6.1 видно, что существенных изме­ нений в оценках не произошло.

Наибольшему изменению подверглись оценки коэффициентов при фиктивных переменных, отражающих количество комнат в квартире. Коэффициенты при R1 и R2 оказались значимыми в противоположность ранее полученному результату.

Большедругих изменилась также оценкаэластичности цены по жилой площади. Новая оценка эластичности равна 0.76 по сравне­ нию с 0.67 ранее.

Пользуясь полученными результатами, мы сможем провести статистически осмысленную проверку гипотезы о равенстве коэф­ фициентов при R2, R3 и R4 и неравенстве коэффициентов при R1

и R2 (см. п. 3.5, пример Рынок квартир в Москве, начало). Как и ранее, применяем F-тест для проверки гипотез:

1. Но: /?ю = 0 ц \ 0 \\ —А г ;

F-статистика 1.548415 Р-значение 0.213713.

2.Но: 0о = 010',

Р-статистика 10-41677 Р-значение 0.001340.

Таблица 6.1 Переменная Коэффициент Стандартная t-статистика P-значение

Статистика R2 (невзвешенная): 0.891.

Таким образом, как и ранее, гипотеза о равенстве коэффициен­ тов при R2, R3 и R4 не может быть отвергнута; гипотеза о равен­ стве коэффициентов при R1 и R2 отвергается еще более уверенно — на 0.5%-ном уровне значимости.

2. Дисперсия ошибки принимает только два значения. Пусть

ми словами, в первых TII наблюдениях дисперсия ошибки имеет одно значение, в последующих 712 — другое. В этом случае есте­ ственным является следующий вариант доступного обобщенного метода наименьших квадратов:

1)провести обычную регрессию (6.1), получить вектор остат­ ков е и разбить его на два подвектора ei, e-i размерности п\ и Ti2 соответственно;

2) построить оценки ш2 = e^ej/ni и cD| = в^ег/пг дисперсий

о7

UJ[ И U f a

3)преобразовать переменные, разделив первые пх уравнений на ых, а последующие n<i — на

4)провести обычную регрессию для преобразованной модели.

Хотя, как было установлено ранее (п. 5.2), оценки и явля­ ются смещенными, можно показать (Goldberger, 1990, глава 30.5) их состоятельность.

Ясно, что эта модель допускает обобщение на случай, когда дисперсия принимает не два, а несколько значений.

3. Состоятельное оценивание дисперсий. Предположим теперь, что в модели (6.1) с гетероскедастичностью для оценки вектора параметра /3 используется обычный метод наименьших квадра­ тов. Как установлено в главе 5, эта оценка является состоятель­ ной и несмещенной, однако^стандартная оценка ее матрицы ко­ вариаций ((3.8), (ЗД9)) V"(/30LS) = д2( Х ' Х ) ~ 1 смещена и несо­ стоятельна. Отметим, что компьютерные пакеты при оценивании коэффициентов регрессии вычисляют стандартные ошибки коэф­ фициентов регрессии именно по этой формуле. Можно ли сделать поправку на гетероскедастичность и «улучшить» оценку матрицы ковариаций? Положительный ответ дают приводимые ниже два способа оценивания.

Стандартные ош ибки в форме Уайта. Предположим, что П, матрица ковариаций вектора ошибокj , диагональна, V(et) = о%, t = 1,..., п. Тогда поскольку 3 OLS = Р = Р + (Х 'Х )~1Х'е, то

V(3) = Е {(Х,Х ) ~ 1Х ,е€’Х { X ' X ) - l) = ( X ' X ) - lX ' S l X { X ' X ) - 1

Обозначим через x ', s = 1 ,... ,n, 1 x k векторы-строкн матрицы

регрессоров X . Тогда

п

X ' f l X = ^а % х,х'а.

Уайт (White, 1980) показал, что

является состоятельной оценкой матрицы ковариаций оценок ко­ эффициентов регрессии.

Стандартные отклонения, рассчитанные по формуле (6.3), называются стандартными ошибками в форме Уайта ( White standard errors) или состоятельными стандартными ошибками при наличии гетероскедастинности (Heteroscedasticity Consistent standard errors, НС s. e.).

Стандартные ошибки в форме Ньюи-Веста. Для более сложного случая, когда в матрице ковариаций ошибок V(e) = П = (oJij) ненулевые элементы стоят не только на главной диа­ гонали, но и на соседних диагоналях, отстоящих от главной не более чем на L (т.е: = 0, |* —j \ > L), Ньюи и Вест (Ncwey, West, 1987) показали, что оценка

является состоятельной оценкой матрицы ковариаций оценок ко­ эффициентов регрессии.

Существует несколько способов выбора весовых коэффициен­ тов Wj.

1.Наиболее простым кажется взять Wj = 1. Однако при таком выборе матрица (6.4) может оказаться не неотрицательно определенной.

называются стандартными ошибками в форме Нъюи-Веста (Newey-West standard errors) или стандартными ошибками с уче­ том гетероскедастичности и автокорреляции (Heteroscedasticity and Autocorrelation Consistent standard errors, НАС s. e.).

Рассмотрим пример регрессии, в котором матрица ковариаций ошибок заведомо недиагональная.

Пример. Премия за риск (см. Peresetsky, de Roon, 1997). Пусть St — спот-курс доллара (руб./долл.) в день t. i^ n) —

цена фьючерсного контракта в день t на поставку доллара через я

оценкой будущего спот-курса 5t+„? А именно, верно ли равенство:

Е (St+n | It) = Ft(n),

где It — информационное множество, содержащее всю информа­ цию, доступную в момент t, Е (St+n \ It) —условное математиче­ ское ожидание. На самом деле, в присутствии на рынке агентов, избегающих риска, это равенство не обязано выполняться и цена фьючерса отличается от ожидаемого спот-курса на величину пре­ мии sa риск

Е (S,+n| Л) = Ft(n)( l+ *<">).

Удобно перейти к модели, в которой используются логарифмы пе­ ременных:

Е (3t+„ | Л) = Л(П)+ *<">,

здесь /<п) = In Ft(n); *<n) = ln5t(n) и я<п>= ln(l + *<">) - переопре­ деление премии за риск (тг[п) « $г|п) при малых Srjn)).

Для тестирования гипотезы о несмещенности оценки рассмот­ рим следующую регрессию:

St+n - л(п) = (А + A n ) + (А + &п)Л(п)

Бели в результате оценивания этого уравнения мы получим, чю хотя бы один коэффициент А статистически достоверно отли­ чается от 0, это будет означать наличие отличной от нуля премии за риск. (Отметим, что все регрессоры в уравнении (*) принадле­ жат информационному множеству /*.) Более того, (*) предлагает определенную временную структуру премии за риск:

Рассматривается период с ноября 1992 г. по октябрь 1995 г. Данные о спот-курсе взяты с ММВБ (Московская межбанковская валютная биржа), а данные о котировках фьючерсных контрак­ тов — с МТБ (Московская товарная биржа), на которой в этот период были самые значительные (по сравнению с другими бир­ жами) объемы торговли валютными фьючерсами.

Упорядочим наблюдения по возрастанию п, а для одинако­ вых п - по возрастанию t. Отметим, что для уравнения (*) усло­ вия юмоскедастичности, безусловно, нарушены по двум причинам: 1) ошибки е[^„, е^т коррелированы (цены контрактов с разными

сроками поставок в один и тот же день) и 2) е|"7+п» et+n также коррелированы (цены контракта со сроком поставки i + пв после­ довательные дни).

Однако для наблюдений, отстоящих достаточно далеко друг от друга в нашем упорядочении, ошибки можно считать независи­ мыми. Таким образом, для оценивания уравнения (*) нельзя ис­ пользовать МНК-оценки стандартных отклонений коэффициентов и поэтому мы используем стандартные ошибки в форме НьюиВеста

В статье (Яковлев, Бессонов, 19956) рассматриваемый период развития фьючерсного рынка разбивается на три подпериода по институциональным признакам (состав участников рынка, объем торговли и т. п.). Следуя этой разбивке, мы оценивали уравнение

(*) отдельно для каждого из подпериодов.

В таблице 6.2 приведены результаты оценивания. В квадрат­ ных скобках указаны стандартные ошибки в форме Ньюи-Веста с лагом 150.

*Отличается от нуля па 5%-ном уровне значимости.

**Отличается от нуля на 1%-ном уровне значимости.

Из таблицы 6.2 мы видим, что:

1) во всех трех периодах премия за риск моделируемая урав­ нением (**), статистически достоверно отличается от нуля;

2)премия за риск статистически достоверно различается от пе­ риода к периоду.

Таким образом, подтверждается разбиение истории разви­ тия рынка валютных фьючерсов на три периода, полученное А. Яковлевым и В. Бессоновым на основе анализа институциональ­ ных признаков.

Тесты на гетероскедастичность

Опишем несколько общеупотребительных статистических тестов на гетероскедастичность, не проводя их детального исследова­ ния. Как правило, из определения тестов будет ясно, какова их значимость. Проблему мощности тестов мы рассматривать не будем. Во всех этих тестах проверяется основная гипотеза Но: а\ = а\ = ‘' ‘ = ап против альтернативной гипотезы Hi: не Но-

Большинство тестов ориентированы на те или иные ситуации, когда относительно характера гетероскедастичности есть апри­ орные структурные ограничения. Исключение составляет тест Уайта.

Тест Уайта ( White). Содержательный смысл этого теста со­ стоит в следующем. Если в модели присутствует гетероскедастич­ ность, то очень часто это связано с тем, что дисперсии ошибок

некоторым образом (возможно, довольно сложно) зависят от ре­ грессоров, а гетероскедастичность должна как-то отражаться в остатках обычной регрессии исходной модели. Реализуя эти идеи, Уайт (White, 1980) предложил метод тестирования гипотезы Но без каких-либо предположений относительно структуры гетероскедастичности. Сначала к исходной модели (6.1) применяется обычный метод наименьших квадратов и находятся остатки ре­ грессии et, t = 1, ...,га. Затем осуществляется регрессия квадратов этих остатков е? на все регрессоры X , их квадраты, попарные произведения и константу, если ее не было в составе исходных ре­ грессоров. Тогда при гипотезе Но величина гаД2 асимптотически имеет распределение x 2{N —1), где R2 — коэффициент детерми­ нации, а N —число регрессоров второй регрессии.

Привлекательной чертой теста Уайта является его универсаль­ ность. Однако если гипотеза Но отвергается, этот тест не дает ука­ зания на функциональную форму гетероскедастичности, и един­ ственным способом коррекции на гетероскедастичность является применение стандартных ошибок в форме Уайта.

Г е ст Голдфелда-Куандта (Goldfeld-Quandt). Этот тест применяется, как правило, когда есть предположение о прямой за­ висимости дисперсии ошибки от величины некоторой независимой переменной (ср. коррекция на гетероскедастичность, стр. 169,

п.1). Кратко тест можно описать следующим образом:

1)упорядочить данные по убыванию той независимой перемен­ ной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность;

2)исключить d средних (в этом упорядочении) наблюдений (d должно быть примерно равно четверти общего количе­ ства наблюдений);

3)провести две независимые регрессии первых п / 2 —d/2 наг блюдений и последних n/2 —d/2 наблюдений и построить соответствующие остатки е\ и е%\

4)составить статистику F = e^ei/e^e^. Если верна гипотеза Но, то F имеет распределение Фишера с (га/2 —d/2 - к, га/2 -

df2 —к) степенями свободы (числитель и знаменатель в вы­ ражении для F следует разделить на соответствующее число степеней свободы, но в данном случае они одинаковы).

Большая величина этой статистики означает, что гипотезу Но следует отвергнуть. Количество исключаемых наблюдений не должно быть ни слишком мало, ни слишком велико. Формально тест работает и без исключения наблюдений, но, как показывает опыт, при этом его мощность уменьшается.

Аналогично этот тест используется, если есть предположение о межгрупповой гетероскедастичности, когда дисперсия ошибки принимает, например, только два возможных значения.

Тест Бреуш а-П агана (Breusch-Pagan). Этот тест приме­ няется в тех случаях, когда априорно предполагается, что диспер­ сии af зависят от некоторых дополнительных переменных:

0t = 7o + *'t7> * = l , ... ,n ,

где z t = .. ,ztpy — вектор (наблюдаемых) независимых пе­ ременных, 7о» 7 = (7 ь • • ■>7рУ ~ неизвестные параметры. В соот­ ветствии с тестом Бреуша-Пагана следует действовать так:

1) провести обычную регрессию (6.1) и получить вектор остат­

ясненную часть вариации RSS;

4)построить статистику RSS/2. В работе (Breusch, Pagan, 1979) установлено, что если верна гипотеза Но (отсутствие гетероскедастичности), то величина RSS/2 асимптотически имеет распределение х 2(р)-

При выявлении гетероскедастичности с помощью этого теста можно попытаться осуществить коррекцию с помощью метода взвешенных наименьших квадратов, выбирая в качестве весов ве­ личины (тЬ + z\ 7 )-1/2, где %, 7 — оценки, полученные в п. 3).

При этом может оказаться, что 7о 4 - z't 7 < 0 для некоторых t. Если число таких наблюдений невелико, то их можно просто вы­ бросить. В противном случае можно попытаться использовать мультипликативную форму гетероскедастичности:

=t = 1, ... , п.

Процедура теста Бреуша-Пагана тогда выглядит совершенно ана­ логично изложенной выше в п.З). Точно так же можно дей­ ствовать для произвольной формы гетероскедастичности а\ = /(70 + 2^7 ).

Выводы:

1) применение обобщенного метода наименьших квадратов при наличии гетероскедастичности сводится к минимизации суммы взвешенных квадратов отклонений;

2) использование доступного обобщенного метода наименьших квадратов в общем случае требует оценивания п параметров по п наблюдениям, что не позволяет получать состоятель­ ные оценки;

3)в некоторых ситуациях (ошибка пропорциональна одной из независимых переменных, дисперсии ошибок принимают два значения) можно применять доступный обобщенный ме­ тод наименьших квадратов и получать состоятельные оцен­ ки коэффициентов регрессии;

4)если в модели с гетероскедастичностью использовать обыч­ ный метод наименьших квадратов, то для получения состоя­ тельной оценки соответствующей матрицы ковариаций мож­ но применять оценки ошибок в форме Уайта (6.3) или НьюиВеста (6.4).

Пример. Рынок квартир в Москве (см. Каргин, Онацкий, 1996). Продолжение 3 (см. начало — п.3.5, продолжение 1 — п. 4.2, продолжение 2 —п. 6.1).

Дли тестирования ошибок модели (*) примера о ценах на квартиры в Москве на гетероскедастичность применяем тест Голдфелда-Куандта (см. выше) по переменной LOGLIVSP. Дан­ ные (464 наблюдения) делятся на три группы, примерно равные по