книги / Эконометрика. Начальный курс

рекламу менеджер использует следующую модель:

Qt —Pi + PiPt +Рз<Н+ p4°i + £t-

В таблице 3.2 приведены данные наблюдений за 20 недель (t — номер недели, qt — количество проданных чебуреков, pt — цена одного чебу­

Используя данные таблицы 3.2, ответьте на следующие вопросы:

а) Отклик количества проданных чебуреков па изменение цены из­ меряется коэффициентом рз = dq/dp. Аналогично, dq/da = Рз + 2 /?4 <х. Какие знаки Рз, Рз, /34, вы ожидаете получить?

б) Найдите оценки коэффициентов регрессии и их стандартные

3.12. В кейнсианской теории спрос на деньги зависит от доходов и про­ центных ставок. Рассмотрим следующую модель:

где тп( — агрегат денежной массы Ml (млрд, долл.), yt — валовой внутренний продукт (ВВП) (млрд, долл.), it — процентные ставки по 6-месячным государственным облигациям США (6-month US Treasury Bills, %). В таблице 3.3 представлены данные по этим переменным за период 1960-1983 гг. по экономике США.

Bureau of Economic Analysis.

а) Найдите оценки коэффициентов регрессии (*)• Интерпретируйте знаки коэффициентов.

б) Рассчитайте прогноз спроса на деньги при значениях: (1) у = 1000, г = 10 и (2) у = 2500, г = 5.

в) Рассчитайте эластичность спроса на деньги яг по доходам у и по процентным ставкам (dlnm/dlny, сИпяг/сПпг) в двух точках (1) и (2) из б). Сравните результаты.

г) Рассмотрим модель

Повторите б) и в) и сравните результаты, полученные по разным моделям. Сравните модели (*) и (**)• Какая из них вам представ­ ляется более предпочтительной?

96 Гл. 3. Модель множественной регрессии

в) Почему, как правило, константа 0о не играет существенной роли при рассмотрении регрессии?

г) Постройте 95%-ные доверительные интервалы для коэффициен­ тов 01,02 и вычислите коэффициент детерминации R2 и скоррек­ тированный коэффициент детерминации

д) Проверьте па 5%-ном уровне значимость коэффициентов 0\,02-

3.16. Вместо того, чтобы оценивать параметры /3,, /32 в модели

( Х и Х 2 —п х к \, п х к2 матрицы, соответственно, /3lt/32 —векторы размерности к \,к 2, соответственно), строятся МНК-оцеики этих пара­ метров исходя из модели

где X, —матрица остатков, полученных в результате регрессии каж­ дого столбца матрицы Х\ на Х 2.

а) Покажите, что полученная таким образом оценка вектора /32 сов­ падает с оценкой, полученной в результате регрессии у только на * 2.

б) Найдите смещение оценки вектора /32.

в) Покажите, что МНК-оценки вектора /3,, построенные по моделям

(*) и (**), совпадают.

3.17. Строится регрессия n х 1 векторау и & п х к матрицу регрессоров X и вычисляется коэффициент детерминации Д2. Затем к матрице X добавляется дополнительный (А:+ 1 )-й столбец, проводится регрессия у на новую матрицу и вычисляется коэффициент детерминации R%. При каких условиях Д2 —

3.18. Рассматривается стандартная линейная модель множественной

б ) Пусть матрица X разбита на две матрицы X = [Xi Х 2), где Х х

— п х к \ матрица, Х 2 — п х к 2 матрица, и пусть q x = X 1Г1 , q2 = Х 2г 2, где г,, г 2 — известные векторы. Рассматривается новая модель у = СК1 4 , + ot2q2, где a b a 2 —скалярные параметры.

Каким образом, используя результаты а), можно проверить, явля­ ется ли новая модель приемлемой?

3.19.Покажите, что при добавлении в модель регрессора скорректиро­ ванный коэффициент детерминации Д^у увеличивается тогда и только тогда, когда t-статистика оценки коэффициента при этом регрессоре по модулю превосходит единицу.

3.20.Оценивание четырех регрессионных моделей на основании 40 на­ блюдений дало следующие результаты:

(в скобках указаны стандартные ошибки), где W — зарплата работника, AG E — его возраст (в годах), ED U — уровень образования (число лет, проведенных в учебных заведениях), Е Х Р — стаж работы.

а) Сравните эти четыре регрессии с точки зрения их качества и про­ гностической силы.

б) Дайте интерпретацию коэффициентов при переменных A G E и InA G E в первом и втором уравнениях соответственно.

3.24. Для города и для деревни рассматриваются две модели парной регрессии. 2 0 наблюдений для города дали следующие результаты:

На 95%-ном доверительном уровне проверьте гипотезу о том, что эти две модели совпадают.

3.25. Проведены две регрессии ежеквартальных данных со второго квартала 1990 г. по третий квартал 2001 г. Они имеют следующий вид:

Для первой регрессии проверьте (на 95%-ном уровне значимости) гипо­ тезу Но: /? 4 = 1 .

3.26. Известно, что процесс, порождающий данные (истинная модель), описывается классической линейной моделью регрессии у = Х/З + е. Оценка Эл получается регрессией у на X (МНК-оценка) при ограни­ чении Н/3 = г. Найдите матрицу ковариаций V(/3ft) и сравните ее с матрицей ковариаций V(/3) — МНК-оценки в регрессии без ограниче­ ний. Как полученный вами результат соотносится с теоремой ГауссаМаркова?

3.27.При каких условиях добавление в уравнение еще одного регрес­ сора не изменяет коэффициент детерминации?

3.28.Оценивание производственной функции по методу наименьших квадратов дало следующие результаты:

InQ = 1.37 +0.632 In К + 0.452 In L, Я2 = 0.98, COV(0K J L ) = 0.055

(0 257) (0 219)

(в скобках даны стандартные ошибки). Проверьте гипотезы: а) эластичности по труду и каииталу совпадают; б) выполнено свойство постоянства отдачи на масштаб.

Замечание. В задаче не указано число наблюдений. Будут ли ваши вы­ воды зависеть от этого числа?

3.29. Рассматривается стандартная линейная регрессионная модель

y t = а + p x t + 6 w t + 6 z t + £(.

а) Какую регрессию следует осуществить, чтобы учесть (истинную) информацию, что 0 = 26?

б) Будет ли коэффициент детерминации Я2 этой регрессии (п. а)) больше, меньше или равен Я2 исходной регрессии?

в) Будут ли оценки параметра в в исходной модели и в п. а несме­ щенными?

г) Будет ли дисперсия этой оценки (п. а)) больше, меньше или равна дисперсии оценки в в исходной регрессии. Объясните на содержа­ тельном уровне.

3.30. В файле gnovgorod. х1в содержатся данные по стоимости квартир в Новгороде.

а) Постройте и оцените минимальную модель, с помощью которой вы сможеге оценить параметр г, равный относительному приро­ сту стоимости квартиры при добавлении к ней комнаты площа­ дью 18 кв.м.

б) Найдите 95%-ный доверительный интервал для г.

в) Помогает ли включение в модель дополнительных параметров бо­ лее точно оценить параметр г?

г) Можете ли вы предложить модель, в которой параметр г был бы одним из коэффициентов? Изменяется ли при этом способе оценивания доверительный интервал?

д) Зависит ли параметр г от количества комнат в квартире? Почему?

3.31. В примере рассматриваютсятся данные по стоимости квартир в Москве, собранные студентами первого курса РЭШ осенью 1997 г. Опи­ сание переменных содержится в таблице 3.5-

Даиные находятся в файле flat98s.xle