6067

-20-

2.2.Генеральная и выборочная совокупности

Генеральной называется совокупность всех мыслимо возможных значений слу-

чайной величины (результатов испытаний), которые могут быть получены при про-

под наблюдаемыми значениями понимают значения технологического параметра в дискретные моменты времени, разделенные таким интервалом, при котором соседние

значения можно считать полученными из независимых опытов. Генеральная сово-

купность может быть бесконечной и конечной.

Например, при сплошном обследовании бетонирующегося фундамента здания,

который имеет объем 200 м3, контроль прочности бетона производится путем испы-

тания контрольных кубов с размерами 0,1х0,1х0,1 м и объемом 0,001 м3. Теоретиче-

ски возможное, мыслимое количество результатов в этом случае может быть

Nт=200/0,001=200 тыс. В этом случае получена конечная генеральная совокупность,

имеющая объем 200 тыс. результатов. При исследовании прочности бетона бетони-

рующегося фундамента ультразвуковым методом может быть получено сколь угодно большое число значений прочности (значений случайной величины). Следует отметить, что сплошное обследование на практике никогда не применяется по двум основным причинам:

¾совокупность результатов как правило имеет очень большое число зна-

чений случайной величины, получить которые часто бывает физически невозможно;

¾ в этом случае, как правило, уничтожается исследуемый объект или оно требует больших материальных затрат.

Гораздо чаще применяется выборочное обследование. Например, для выше ра-

зобранного примера с бетонирующимся фундаментом контроль прочности бетона может быть проведен следующим образом:

¾при бетонировании, например, каждых 20 м3 бетона одновременно фор-

муются по три контрольных образца-куба;

¾время формования образцов-кубов выбирается случайно.

В этом случае может быть получена совокупность небольшого объема (в на-

шем случае 30 значений), случайным образом отобранная из генеральной совокуп

-21-

ности.

Ограниченная совокупность результатов (вариант совокупности), являющая-

ся случайно отобранной частью генеральной совокупности, называется выборочной

совокупностью или просто выборкой.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число значе-

ний (вариант) случайной величины входящих в эту совокупность.

Для того чтобы по данным выборки надежно судить о свойствах генеральной совокупности, необходимо, чтобы значения случайной величины, отобранные из ге-

неральной совокупности, правильно ее представляли. Другими словами, выборка

должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требова-

ние коротко формулируют так: выборочная совокупность должна быть репрезента-

тивной (представительной). Гарантией репрезентативности может служить

случайный отбор вариант генеральной совокупности и при этом выборка должна быть достаточного объема. Допустим, необходимо отобрать 10 элементов из гене-

ральной совокупности, содержащей 100 вариант. Для этого необходимо пронумеро-

вать все элементы генеральной совокупности от 00 до 99. Затем, начиная с любого

кие элементы генеральной совокупности должны быть включены в выборочную. Не-

обходимый (приблизительный) объем выборочной совокупности (минимально необ-

ходимое число измерений при проведении эксперимента) может быть определен по формуле

где t - показатель достоверности (критерий Стьюдента). Числовое значение мо-

жет колебаться от 1,64 до 3,29;

V - показатель изменчивости (коэффициент вариации). Для показателя проч-

ности коэффициент вариации принимается не более 13…15 % ;

β - показатель точности (относительная точность измерений). Принимается равным 1…10 % .

В рецептурно-технологических экспериментах при принятии окончательного решения показатель точности β обычно принимается равным 1...5 %, а для по-

исковых экспериментов показатель точности может быть увеличен до 10 %. При

-22-

определении показателей свойств строительных материалов и изделий величина по-

казателя изменчивости (коэффициента вариации) V может быть принята не более: 3...5 % - при оценке средней плотности ; 5...8 % - при оценке реологических характеристик ; 10…14 % - при оценке прочности.

Показатель достоверности t зависит от доверительной вероятности Р, величина которой может быть принята в зависимости от класса решаемых в эксперименте за-

дач:

Р = 0,90...0,95 - при проведении поисковых рецептурно-технологических экс-

периментов;

Р = 0,95...0,99 - при определении показателей свойств строительных материа-

лов и при принятии окончательных решений в рецептурно-технологических экспери-

ментах ;

Р = 0,99...0,999 - при контроле качества особо ответственных конструкций (на-

пример, в самолетостроении).

Величина показателя достоверности t может быть определена по табл. 2.

принимается равным t=1,96.

Как уже говорилось выше, свойства генеральной совокупности характеризуют-

ся генеральными числовыми характеристиками:

-генеральное среднее (начальный момент первого порядка) - Х ;

-генеральная дисперсия (центральный момент второго порядка) - σ2;

-генеральное среднеквадратичное отклонение - σ;

-генеральный коэффициент вариации - V;

-третий и четвертый центральные моменты - µ3 (4).

Следует отметить, что при проведении эксперимента (например, при определе-

нии физико-механических свойств строительных материалов) исследователь всегда

-23-

имеет в своем распоряжении ограниченное количество результатов наблюдений, слу-

чайно отобранных из генеральной совокупности. Таким образом, исследователь дол-

жен вывести суждение о генеральной совокупности (об истинном значении генераль-

ных числовых характеристик) по ее части. Такое суждение, имеющее всегда случай-

ный характер, может быть произведено на основании выборочных статистических ха-

рактеристик, которые в свою очередь носят элемент случайности. Выборочные стати-

стические характеристики могут быть точечными (т.е. те, которые можно изобразить точкой на числовой оси) и интервальными (т.е. те, которые на числовой оси занимают некоторый интервал чисел).

2.3. Точечные выборочные статистические характеристики

Как говорилось выше при наблюдениях и экспериментах исследователь обыч-

но имеет для случайной величины Х информацию не обо всей генеральной совокуп-

ности, а только о ее части. Другими словами исследователь в этом случае имеет в своем распоряжении выборочную совокупность того или иного объёма (с большим или меньшим числом вариант). Следует отметить, что в зависимости от объема вы-

борки различают малую выборочную совокупность (при числе вариант в выборке не более 30...60) и большую (при числе вариант в выборке более 30...60).

Одна из важнейших задач технологических исследований (а также и математи-

ческой статистики в целом) - оценка параметров генеральной совокупности по выбо-

рочным данным. По выборке могут быть рассчитаны точечные выборочные стати-

стические характеристики, которые являются оценками соответствующих генераль-

ных параметров.

Статистической оценкой Θ* называют некоторую функцию выборочных зна-

чений, позволяющую оценить истинное значение параметра генеральной совокупно-

сти Θ.

Как уже говорилось ранее, оценки, получаемые по выборке, сами величины случайные, т.е. в той или иной мере отличающиеся от генеральных параметров. То-

чечные статистические оценки Θ* являются однозначными оценками, т.е. на число-

вой оси занимают точку и имеют конкретное числовое значение. Желательно, чтобы статистические оценки Θ* любых параметров генеральной совокупности были со-

стоятельны, не смещены и эффективны.

Несмещенной называют статистическую оценку Θ*, математическое ожидание

-24-

которой равно оцениваемому параметру Θ при любом объеме выборки.

Состоятельной называют статистическую оценку Θ*, если с увеличением числа измерений n она стремится по вероятности к оцениваемому параметру Θ.

Эффективной называют статистическую оценку Θ*, которая при заданном объёме выборки n имеет наименьшее рассеивание (наименьшую дисперсию).

Для нормально распределенной случайной величины по выборочным данным

можно получить следующие точечные оценки: среднее арифметическое, выборочная дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации.

Средним арифметическим или выборочным средним для данного ряда чисел

Х1, Х2, Х3, ... , Хn называется число, которое находится между наименьшим и наи-

большим значением этого ряда и характеризует центр группирования вариант в выбо-

рочной совокупности. Выборочное среднее для малой выборки можно определить по формуле:

хi - частные значения изучаемой величины в выборочной совокупности (вари-

анты выборки);

n- число вариант в выборке (объем выборочной совокупности).

Физический смысл выборочного среднего аналогичен смыслу центра тяжести механической системы. Очень часто на заводах сборного железобетона ограничива-

ются вычислением выборочного среднего. Однако простое сопоставление двух вы-

борок показывает, что для полной характеристики выборочной совокупности одного значения среднего арифметического недостаточно. Например, исследователь распо-

лагает двумя выборками:

-10; 11; 12; 13; 14;

-8; 9; 12; 15; 16.

Среднее арифметическое в обеих выборках равно: Х1 = Х 2 = 12 . Но очевидно,

что результаты выборки №2 хуже, т.к. исследуемый параметр колеблется в более ши-

роких пределах. В связи с этим вводятся показатели вариации (колеблемости) иссле-

дуемого признака. Характеристики рассеивания (вариации) исследуемого призна-

-25-

ка дают представление о том, как сильно могут отклоняться от своего центра группирования значения исследуемой случайной величины (аналогично тому, как момент инерции характеризует в механике степень рассеивания масс около своего центра тяжести).

Дисперсия, являющаяся мерой вариации исследуемой величины, вычисляется по формуле:

В некоторых случаях используется более удобная формула:

Однако характеристика вариации изучаемой величины дисперсией часто не-

удобна, т.к. размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака

(например, (МПа)2 и т.д.). Для измерения вариации более удобно среднее квадрати-

ческое отклонение, размерность которого совпадает с размерностью изучаемой вели-

чины.

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

Выборочный коэффициент вариации вычисляется в относительных единицах

(или в %) измерения по формуле:

Коэффициент вариации рассматривается как показатель однородности выбо-

рочной совокупности. При этом считается, что чем меньше его величина, тем выше однородность выборочной совокупности (тем меньше разброс результатов вокруг среднего в выборке).

2.4. Интервальные оценки статистических характеристик.

Доверительные интервалы

-26-

Для данной выборочной совокупности точечные статистические характеристи-

ки являются вполне определенными числами, которые могут быть вычислены с лю-

бой точностью. Однако как уже говорилось, точечные выборочные характеристики носят случайный характер и могут отклоняться в ту или другую сторону от математи-

ческого ожидания генеральных характеристик. При многократном повторении при данном комплексе условий серий измерений одного и того же показателя физико-

механических свойств точечные выборочные характеристики Θ* на числовой оси располагаются по обе стороны от значения генеральной характеристики Θ. Интервал

Θн ≤ Θ ≤ Θв , в котором может изменяться выборочная оценка Θ* с принятой дове-

рительной вероятностью Р, можно определить, используя распределение Стьюдента

(t-критерий, t-распределение, критерий Стьюдента) и Пирсона ( χ2 - распределение,

математического ожидания с доверительной вероятностью Р = 0,9973 можно опре-

Доверительный интервал среднего квадратичного отклонения можно опреде-

лить по формуле:

Доверительный интервал коэффициента вариации V может быть вычислен по формуле:

Следует отметить, что при проведении практических расчетов наибольший ин-

терес представляет собой доверительный интервал среднего арифметического, кото-

рый позволяет решать некоторые задачи, возникающие, например, при контроле прочности строительных материалов.

Пример 3. Контроль прочности бетона класса В15 ведется испытанием на сжатие серий образцов-кубов. Испытано 10 серий образцов. При этом получены сле-

дующие результаты (МПа): Х1 = 19,3; Х 2 = 19,3; Х 3 = 19,3; Х 4 = 19,3; Х 5 = 19,3;

Х 6 = 19,3; Х 7 = 19,5; Х 8 = 20,0; Х 9 = 20,5; Х10 = 21,3.

С доверительной вероятностью Р = 0,95 определить, может ли появиться

-27-

значение кубиковой прочности, соответствующего значениям класса менее 15,0

МПа.

По определению класс бетона – это гарантированная прочность в возрасте 28

суток с обеспеченностью (доверительной вероятностью) Р = 0,95 и при стандарт-

Следовательно значение кубиковой прочности соответствующей классу бетона В(15) будет равно Rб = 19,27 МПа.

Таким образом, значение класса бетона это по сути дела нижняя граница дове-

рительного интервала. Для решения задачи надо рассчитать доверительный интервал

среднего арифметического.

Межсерийное среднее арифметическое будет равно

19,09 £ М ( Х ) £ 20,33 .

Таким образом, с достоверностью Р = 0,95 можно утверждать, что в ходе даль-

нейшего производства и испытаний бетона возможно появление кубиковой

-28-

прочности меньшей, чем та, которая соответствует классу бетона В15 (Rб=19,27

МПа). Для исключения этого явления требуется улучшение технологии производства с целью резкого уменьшения дисперсии.

2.5. Ошибки измерений. Исключение грубых ошибок из ряда измерений

В практических исследованиях испытанием называют эксперимент, опыт, т.е.

такое изучение явлений, при котором изучаемые факторы вызываются искусственно при помощи специальных приборов, установок, приспособлений, необходимых для проведения измерений данного показателя свойств. Результаты испытания - наблюде-

ние, измерение. На каждый результат измерений оказывают воздействие всевозмож-

ные не учитываемые случайные факторы. Поэтому реальные результаты наблюдения,

измерения, всегда являются случайными величинами, т.е. отклоняются от истинного значения. Это отклонение называется ошибкой наблюдения, измерения или погреш-

ностью измерения. Причины появления погрешностей измерения могут быть сле-

дующими:

1)изменение материала во времени;

2)ошибки экспериментатора, зависящие от его опытности, психо-физического состояния и т.д.;

3)ошибки инструментальные;

4)ошибки в методике проведения эксперимента;

5)влияние внешней среды и некоторые другие.

Эти причины могут привести к трем типам ошибок.

1. Систематические, могут быть постоянными по величине или изменяться по определенному и известному закону. Могут быть учтены на стадии проведения изме-

рений специальными поправками. Появляются вследствие ошибок измерительных приборов, изменения состояния среды и т.д.;

2.Случайные, являются результатом действия большого числа незначительных

вотдельности факторов и имеют в каждом отдельном измерении различные значения.

Случайные ошибки обладают следующим свойством - при увеличении количества

измерений (при n → ∞ ) число положительных ошибок примерно равно числу отри-