6067

-58-

В этом случае критерий Фишера показывает, во сколько раз уменьшается рас-

сеяние относительно полученного уравнения регрессии по сравнению с рассея-

нием относительно среднего. Чем больше значение расчётного значения критерия

Фишера Fр превышает табличное Fтаб, которое определяется по таблицам при при-

нятом уровне значимости α (обычно α =0,05), числе степеней свободы числителя

-59-

Используя метод наименьших квадратов, определить математическую модель (уравнение

регрессии), описывающуюсвязьмеждусреднейплотностьюипрочностьюгазобетона.

Решение. Для решения поставленной задачи в качестве первого шага рассмот-

рим аппроксимацию экспериментальных данных линейной функцией y = a + b × X .

Составим таблицу расчётных данных для определения коэффициентов уравне-

ния регрессии.

Таблица 9

Таблица расчётных данных для определения коэффициентов

Y= -8,7+23,01·Х.

Рассчитаем расчетное значение критерия Фишера Fр . Для этого подготовим

таблицу вспомогательных расчётов (табл. 10) для определения дисперсии относи-

тельного среднего S 2y и остаточной дисперсии Sост2 .

-62-

Однако анализ технической литературы и построенная диаграмма (рис. 9) сви-

детельствует о нелинейном изменении прочности в зависимости от его средней плот-

ности. Кривая изменения прочности близка к параболе, поэтому для описания зави-

симости примем степенную зависимость Y = a × X b . Для линеаризации этого уравне-

ния прологарифмируем обе его части:

-63-

таблицу вспомогательных расчётов для определения дисперсии относительного сред-

него S y2 и остаточной дисперсии Sост2 (табл. 12).

-64-

-65-

нейной связи существенным образом лучше описывает экспериментальные данные.

4.Основы корреляционного анализа

Между наблюдаемыми экспериментатором числовыми характеристиками (на-

пример, между средней плотностью ( ρ0 ) и прочностью при сжатии (R), влажностью

(W ) и прочностью (R), пределом прочности при сжатии и пределом прочности при изгибе и т. д.) всегда существует связь, от вида которой зависит выбор метода после-

дующего анализа. В естествознании и технике, в том числе в области технологии бе-

тонов и других строительных материалов, нашли практическое применение три вида статистического анализа экспериментальных данных: дисперсионный, регрессионный и корреляционный. Выбор того или иного метода анализа обуславливается как техно-

логической постановкой задачи, так и типом связи между исследуемыми переменны-

ми. Основные схемы связей между переменными величинами систематизированы С.А.Айвазяном [13].

Схема «А» - связь (зависимость) между неслучайными величинами. Такая связь называется функциональной. При этом каждому значению одной величины Х соот-

-66-

ветствует свое одно и только одно определенное (детерминированное) значение дру-

гой величины Y (температура насыщенного водяного пара и его давление). Такая связь не содержит элемента случайности и не требует применения какого-либо вида

статистического анализа.

Схема «В» - связь между случайной переменной Y и неслучайной перемен-

ной Х (связь между расходом воды или модуля крупности мелкого заполнителя и прочностью бетона и т.д.). Физическая природа такой связи может быть двоякой:

схема «В1» – измерение переменной величины Y неизбежно связаны с некото-

рыми случайными ошибками измерения, а переменная Х измеряется без ошибок или с пренебрежительно малыми по сравнению с ошибками измерений переменной Y.

Примером такой связи является изменение модуля упругости бетона во времени. В

этом случае при проведении испытаний время в сутках измеряется практически без

ошибок, измерение величины модуля упругости сопряжено с совокупность случай-

ных ошибок, обуславливающихся погрешностями работы прессового и другого из-

мерительного оборудования. Таким образом, в приведенном примере только величи-

на модуля упругости является случайной величиной;

схема «В2» - значения переменной Y зависят не только от соответствующих

значений переменной Х, но и ещё от целого ряда неконтролируемых факторов, а по-

этому каждому фиксированному значению Х соответствующее значение Y неизбежно подвержено некоторому случайному разбросу, т.е. одному фиксированному значению

Х соответствует не одно значение Y. Связь типа В2 наблюдается, например, при ис-

следовании влияния расхода воды затворения на прочность бетона, когда фактиче-

ская его прочность зависит не только от изменения достаточно точно измеренной ве-

личины Х, но и от изменения при этом ещё целого ряда неконтролируемых перемен-

ных (случайных неучтённых факторов).

При исследовании связи типа В применяется регрессионный анализ.

Схема «С» - связь между случайными переменными X и Y. По своей природе такая связь может быть двоякой:

Схема «С1» - исследуемые величины X и Y зависят от совокупности неконтро-

лируемых факторов и таким образом случайны по физической сущности.

-67-

схема «С2» - исследуемые величины не случайны, однако могут быть измере-

ны с некоторыми случайными ошибками, близкими между собой по своей величине.

Для исследования связи типа «С» применяется корреляционный анализ. Кор-

реляционный анализ может применяться как вспомогательный, так и как самостоя-

тельный метод исследования. Его цель - установление наличия, отсутствия и тесно-

ты (силы) корреляционной связи между изучаемыми переменными и при наличии этой связи дать её математическое описание. Следует отметить, что корреляционная связь между изучаемыми переменными не определяет причины зависимости между ними. Корреляция устанавливает только величину (степень тесноты) связи между пе-

ременными, причинную же зависимость между ними надо искать в самой сущности явления. Как правило, корреляционный анализ используется как вспомогательный инструмент в ходе реализации различных технологических процессов. Например, при определении свойств газобетона одновременно фиксируются его прочность при сжа-

тии и изгибе, влажность, средняя плотность и другие характеристики. Из технической литературы известно, что между прочностью на сжатие R и средней плотностью

ρо (или между прочностью R и влажностью W газобетона) имеется сильная, близкая к функциональной, зависимость. Если при определении этих свойств и последующем анализе корреляционной связи между ними оказывается, что связь чрезвычайно сла-

бая или вовсе отсутствует, то это свидетельствует о том, что в технологии изготовле-

ния газобетонных изделий существуют грубые ошибки. Корреляционный анализ не может указать где и в каком месте технологии совершаются эти ошибки, но они мо-

гут быть выявлены при тщательном анализе технологического процесса. Корреляци-

онная связь может быть парной (между двумя переменными) или множественной

(между тремя и более переменными). В данной работе рассматривается только парная корреляция.

Цель корреляционного анализа, как отмечалось выше, - установить наличие,

тесноту (силу) и достоверность связи между изучаемыми переменными. Эта цель дос-

тигается путём вычисления коэффициента корреляции (r ), являющегося мерой ли-

нейной связи между переменными, или корреляционного отношения (Θ), характери-

зующего тесноту нелинейной связи.