Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7067

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

959.2 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Функция z f (x,y) называется дифференцируемой в точке M (x; y),

если ее полное приращение можно представить в виде

z A x B y x y,

где A, B – некоторые числа, ( x, y), ( x, y) – бесконечно малые при x 0, y 0.

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции).

Если функция z f (x,y) дифференцируема в точке M (x; y), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по каждому

аргументу

, при этом

Обратная теорема не верна, т.е. непрерывность функции или существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.

Пример 1.

Функция

x2 y2

непрерывна в точке

(0;0), но не

дифференцируема в

этой

точке,

т.к.

формулы

x2 y2

в этой точке теряют смысл. Действительно, зафиксируем y

2 x2 y2

в этой функции.

Пусть

y 0,

тогда

– функция,

не имеющая

производной в точке x 0.



x3 y

x2 y2

Пример 2. z x2 y

Данная функция имеет в точке O(0;0) частные производные, но не

дифференцируема в этой точке, т.к. z (x,0)

x 0;

т.е. z (x,0) x и

x 0,

(z(x,0))

1. Аналогично,

зафиксировав

(x 0), имеем

(0; 0)

x 0

z (0, y) y,

(z(0, y))

Итак,

функция

имеет

частные

(0; 0)

y 0

производные в точке O(0;0).

Докажем, что функция не

дифференцируема

точке

O(0;0).

Предположим противное, тогда приращение функции в этой точке

z f (x x, y y) f (x, y)

(x x)3

(y y)3

x3 y

x3 y3

2 0

(y y)

x 0

y 0

можно представить в виде:

z	z		x	z	y ( x, y) ( x, y).
	x	(0; 0)		y
					(0; 0)

Подставляя полученное, имеем:

x3 y3 1 x 1 y ( x, y) ( x, y)

x2 y2

или

x3 y3		x y	x3 y3 x3 y3 x y2 x2 y
x2	y2		x2	y2

x y2 x2 y ( x, y) ( x, y),

x2 y2

т.е. lim	x y2 x2 y		0.

	( x2 y2 )	x2 y2
x 0	( x2 y2 )	x2 y2
y 0

Покажем, что этот предел не существует. Пусть x, y стремятся к нулю так, что y k x (k 0), тогда

	x k2 x2 x2 k x								k2 k
lim													.
lim	( x	2	k	2	x	2	)	3 2	(1 k	2	)	3 2	.
x 0	( x		k		x		)		(1 k		)

y 0

Так как предел принимает различные значения, зависящие от k , то такой предел не существует. Следовательно, предположение о дифференцируемости функции было неверным и функция не дифференцируема в точке O(0;0). 

Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости функции).

Если функция z f (x,y) имеет частные производные в некоторой

окрестности точки M (x; y) и эти частные производные непрерывны в самой точке M (x; y), то функция дифференцируема в этой точке.

Непрерывность частных производных в точке является достаточным условием дифференцируемости функции (но не необходимым!), т.к. если функция дифференцируема в точке, то частные производные существуют, но они не обязательно непрерывны в этой точке.

§5. Полный дифференциал функции

Пусть функция z f (x,y) дифференцируема в точке M (x; y), т.е. ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:

z z x z y x y,

где ( x, y),	( x, y)	– бесконечно малые при x 0,
y 0.
Полным дифференциалом dz		функции z f (x,y) в точке M (x; y)

называется главная часть приращения функции, линейная относительно x и y:

Дифференциалы независимых переменных x и

есть приращения этих

переменных, так как, если положить

z x, то

dz dx 1 x 0 y x.

Аналогично,

для

z y

получим

dz dy. Поэтому полный дифференциал

функции в точке M можно записать в виде:

dy.

Выражения

dxz

dx,

dyz

называются

частными

дифференциалами

функции

z f (x,y)

точке

M (x; y),

соответствующими приращениям аргументов x и y отдельно.

Геометрический

смысл

дифференциала

функции двух

переменных:

если

полное

приращение

функции

точке

геометрически

представляет

собой

приращение AM1

аппликаты поверхности

z f (x,y),

то дифференциал dz

функции

есть

приращение

аппликаты

(x;y)

касательной

плоскости

поверхности

z f (x,y)

данной точке,

когда

(x x; y y)

независимые переменные x и y получают

Рис. 6

приращения x и y (рис. 6).

Пример. Дана функция u ex2 y2 z2 . Найти полный дифференциал du функции в точке M 0;1;2 .

Решение. Найдем частные производные в точке M 0;1;2 :

ex2 y2 z2

2e5 ,

ex2 y2 z2

4e5.

Тогда du

dz 2e5 dy 4e5

dz.



§6. Применение полного дифференциала функции к приближенным вычислениям

Рассмотрим функцию z f (x,y), дифференцируемую в точке M (x; y):

z		z	x	z	y x y,
		x
				y
где ( x, y),	( x, y) – бесконечно малые при					x 0,

y 0. Эта формула фактически означает, что функция, дифференцируемая

вточке M (x; y), “почти линейна” в окрестности точки M . Выделение

линейной части функции называется ее линеаризацией. При достаточно малых приращениях независимых переменных x и y можно полагать,

что z dz. Переписав это более подробно

f (x x, y y) f (x, y) dz M ,

можно использовать полученное приближенное равенство для вычисления приближенного значения приращения функции z. Если же записать это равенство в виде

f (x x, y y) f (x, y) M fx M x fy M y,

то эту формулу используют для вычисления приближенных значений

функции z f (x,y) в точке M (x; y).

Пример

1. Найти

приближенное

значение

приращения

функции

f (x, y) 3x2

9y2

9xy

при переходе

от точки

M0 (x0 ; y0)

к точке

M (x0 x; y0 y), если x0 9, y0

x0 x 9,09,

y0 y 2,94.

Решение.

Так

как

z f (M) f (M0) dz

найдем

значения

частных производных в точке M0(x0 ; y0):

(6x 9y)

6 9 9 3 27,

(18y 9x)

18 3 9 9 27.

Тогда, учитывая, что x 0,09, y 0,06, получим:

z 27 0,09 27 ( 0,06) 4,05.			
Пример 2. Вычислить приближенно (2		)3,02.
	0,97
Решение. Для того, чтобы воспользоваться			формулой для

приближенного вычисления необходимо ввести функцию z (2 x)y , для которой (2 0,97)3,02 является частным значением при x 0,97, y 3,02, и подобрать “хорошую”, близкую к данной, точку, в которой вычисления не представляют труда. В качестве такой точки возьмем M0 (x0 ; y0), где x0 1,

y0 3, тогда x0 x 0,97, y0 y 3,02 и x 0,03, y 0,02.

Найдем частные производные в точке M0 (x0 ; y0):

y(2

x)y 1

2 x

ln(2

)

0,97)3,02

1)3

Значит, (2

( 0,03) 0 0,02 1,045.



Пример 3.

Линеаризуя

функцию

f (x, y) yx

точке

(1;1),

найти

приближенно

(1,01;1,05).

Решение.

Линеаризуя функцию

f (x, y)

в точке

(1;1),

получим при

(x; y), достаточно близких к точке (1;1), приближенное равенство

(x, y) f

(1,1)

(1;1) (x 1) fy

(y 1),

(1;1)

где x x 1, y y 1. Подставляя в это равенство

f (1,1) 1,

(1;1) yx ln y

(1;1)

xyx 1

(1;1)

получим при (x; y), близких к точке (1;1):

f (x, y) 1 (y 1) y.

Следовательно,

xy y. В частности, f

(1,01;1,05) 1,051,01 1,05.



§7. Производная сложной функции

I. Если задана функция двух переменных z f (x,y), в которой каждая

из переменных x и y		является функцией одной переменной t, т.е.	x x(t),
y y(t), то	функция	z f (x(t),y(t)) является сложной функцией		одной
переменной	t. При	этом t – независимая переменная, а x	и	y –
промежуточные переменные.
Теорема 1. Пусть z f (x,y) – дифференцируемая в точке			M (x; y)

функция, а x x(t), y y(t) – дифференцируемые функции в точке t. Тогда сложная функция z f (x(t),y(t)) также дифференцируема в точке t:

dt y dt

Пример 1. Найти

, если z log4(x2 5xy),

x 7t ,

y sin3t.

Решение. Найдем

(2x 5y),

( 5x),

(x2 5xy)ln4

ln7,

3cos3t.

Тогда по формуле производной сложной функции одной переменной получаем:

2x 5y

7t ln7

3cos3t

dt (x2 5xy)ln4

(x2 5xy)ln4

(2x 5y) 7t

ln7 15xcos3t

(2 7t

5sin3t) 7t

ln7 15 7t cos3t

(x2 5xy)ln4

(72t 5 7t

sin3t)ln4

(2 7t

5sin3t) ln7 15cos3t



(7t

5sin3t)ln4

Рассмотрим частный случай:

пусть задана функция z f (x,y), где

зависит от одного аргумента

x, т.е. y y(x). Тогда функция z f (x,y(x))

является сложной функцией одной переменной x, и можно ставить вопрос о

нахождении производной

Этот случай

является частным случаем

предыдущего, где роль переменной t играет x:

dx x dx

y dx

Полученная формула носит название формулы для вычисления полной

производной

(в отличие от частной производной

y cos x.

Пример 2. Найти

, если z

Решение. Найдем

3x2

y ,

sinx.

x y

33 y2

Следовательно,

3 y

sinx

3 y

cos x

xsin x.



cos x

cos

II. Если задана функция двух переменных z f (x,y), в которой каждая

из переменных

y является функцией двух переменных u и v,

т.е.

x x(u,v), y y(u,v), то функция z f (x(u,v),y(u,v)) является сложной функцией двух переменных u и v. При этом u и v – независимые переменные, а x и y – промежуточные переменные.


Теорема 2.		Пусть	z f (x,y)		–	дифференцируемая в точке		M (x; y)
функция,	а x x(u,v),		y y(u,v)		–	дифференцируемые функции в точке
(u;v).	Тогда	сложная		функция			z f (x(u,v),y(u,v))	также

дифференцируема в точке (u;v) и ее частные производные находятся по формулам:

Пример 3. Найти

, если

sin(xy),

y euv .

Решение. Найдем

2x ycos(xy),

xcos(xy),

veuv ,

ueuv .

Согласно формулам для нахождения частных производных от сложной функции двух переменных получаем:

veuv

ycos (xy)

xcos(xy)

euv cos

ueuv

veuv ,

cos

2uv

ycos(xy)

xcos (xy)

ueuv

cos



2uv

Эти формулы могут быть обобщены для случая большего числа переменных.

§8. Производная неявной функции

I. Функция y f (x) называется неявной, если она задается уравнением

F(x,y) 0, неразрешенным относительно y.

Производная

неявной функции

y, заданной уравнением F(x,y) 0

(предполагается, что Fy 0), находится по формуле:

Пример 1. Найти

, где sin(xy)

Решение. Уравнение sin(xy)

определяет y

как неявную функцию

от x. Здесь F(x,y) sin(xy)

. Найдем Fx,

Fy :

Fx ycos(xy)

Fy xcos(xy)

ycos(xy)

y(1 y3 cos(xy))

Тогда



x(y3 cos (xy) 2)

xcos(xy)

II.

Функция

z f (x,y)

называется неявной, если она задается

уравнением F(x,y,z) 0, неразрешенным относительно z.

Уравнение F(x,y,z) 0

определяет

неявно

одну или

несколько

однозначных функций z от x и y. Например, уравнение x2 y2 z2 1 4 1 9

неявно определяет две непрерывные функции z от x и y, которые можно выразить явно, разрешив уравнение относительно z. В этом случае

получаем: z 3

и z 3

Частные

производные

неявной

функции

z, заданной

уравнением

F(x,y,z) 0 (предполагается,

что

Fz 0),

находятся по

формулам:

Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные.

Пример 2. Найти	z	и	z	, где e z x3y z 5 0.
	x
			y
Решение. Уравнение		e z x3y z 5 0 определяет z как неявную

функцию от x и y. Здесь F(x,y,z) e z

x3y z 5. Найдем Fx,

Fy и Fz :

Fx 3x2 y,

Fy x3,

Fz e z 1.

Следовательно,

3x2 y

3x2y



e z 1

1 e z

e z 1

1 e

§9. Производная по направлению

Пусть функция z f (x,y) определена в некоторой окрестности точки

M0 (x0 ; y0)		и задано		некоторое		направление,	определяемое единичным
вектором	l	cos ;cos ,			где	cos , cos	– направляющие		косинусы
вектора l	,		.	Для	характеристики скорости изменения				функции

z f (x,y)		2
		в точке M0 (x0 ; y0) в направлении вектора l вводится понятие
производной функции в точке по направлению вектора.
При перемещении точки M0 (x0 ; y0) в направлении вектора l в точку
M (x0 x; y0 y)				функция		z f (x,y)	получает	приращение
l z f (x0		x; y0 y) f (x0,y0), которое					называется	приращением

функции z f (x,y) в точке M0 (x0 ; y0) в данном направлении вектора l .

Обозначим через

величину отрезка

M0M , при

этом l

( x)2 ( y)2

если

вектор

M0M

сонаправлен

вектору

l , и

( x)2

( y)2

если вектор M0M

противоположно

направлен

вектору l (рис. 7).

Рис. 7

Производной

функции двух

переменных

z f (x,y)

в точке

M0 (x0 ; y0) по направлению вектора

называется

предел

отношения

приращения функции в точке M0 по этому направлению к величине перемещения l при стремлении l к нулю, т.е.

	z	lim	l z	lim		f (x0 x,y0 y) f (x0,y0 )			.
	l
		l 0	l		x 0			l
Абсолютная величина производной							z	по направлению l определяет
							l

величину скорости изменения функции							z	в точке, а знак производной –
характер этого изменения (возрастание, убывание).
Производная функции					z f (x,y) в точке M0 (x0 ; y0) по направлению

вектора l cos ;cos вычисляется по формуле:

z		zx	M0	cos zy	M0	cos .
z
l	M0

Аналогично определяется производная по направлению для функции трех и более переменных.

Заметим, что производная по направлению представляет собой линейную комбинацию частных производных, а направляющие косинусы являются величинами (так называемыми “весовыми множителями”), показывающими вклад соответствующей частной производной в производную по направлению. Фактически, частные производные – это частные случаи производной по направлению.

Пример.		Найти			производную						функции u x2 arctg(y z)																	в	точке
M 2;1;1 по направлению вектора l											3j 4k .
Решение.			Производная					функции								u f (x,y,z)					в точке							M	по
направлению вектора l cos ;cos ;cos вычисляется по формуле:
			u
				ux			M cos uy							M cos uz				M cos .


			l

				M
				M
Найдем частные производные и их значения в точке M 2;1;1 :
						ux 2x,					ux		M 2 2 4,


			uy		1				,		uy						1						1		,
					1												1						1
					1 (y z)2												1 (1 1)2
														M							5
														M							5
			uz		1					,	uz			M			1					1		.
					1												1					1
					1 (y z)2												1 (1 1)2
					1 (y z)2												1 (1 1)2				5
Вычислим направляющие косинусы вектора l :
												0							3							4
		32 ( 4)2 5,
	l							cos							0,		cos			,	cos						.


											5						5				5
											5						5				5

Подставим полученное в формулу производной по направлению:

u		4 0	1	3	1	4		3	4	1	.	
l		4 0									.	
	M	5 5 5 5					25 25 25
	M

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.2023957.4 Кб07062.pdf
#
23.11.2023957.46 Кб07063.pdf
#
23.11.2023958.47 Кб07064.pdf
#
23.11.2023958.55 Кб07065.pdf
#
23.11.2023958.94 Кб07066.pdf
#
23.11.2023959.2 Кб07067.pdf
#
23.11.2023959.27 Кб07068.pdf
#
23.11.2023960.34 Кб07069.pdf
#
21.11.2023144.59 Кб0707.pdf
#
23.11.2023960.39 Кб07070.pdf
#
23.11.2023960.76 Кб07071.pdf