Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7067

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.11.2023

Размер:

959.2 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

§10. Градиент

Пусть функция z f (x,y) определена в некоторой окрестности точки

M0 (x0 ; y0).

Градиентом grad z функции z f (x,y) в точке M0 (x0 ; y0)

называется вектор, координатами которого являются значения частных

		zx		; zy	.
производных в точке M0 (x0 ; y0), т.е. grad z			M0

	M0				M0
Аналогично находятся градиенты функции трех и более переменных.
Пример 1. Вычислить градиент функции		z 5x2y 3 x y3 в точке
M0 2;1 .

Решение. Найдем частные производные и их значения в точке

M0 2;1 :

zx 10xy 1,	zx		( 2;1) 10 ( 2) 1 1 21,

								zy 5x2 3y2 ,																				zy										5 ( 2)2 3 12 23.
Тогда grad z										21;23 .																					( 2;1)																									
																															( 2;1)

						( 2;1)																																					функции u									x
						( 2;1)
	Пример						2.					Вычислить																		градиент																										в точке
	Пример						2.					Вычислить																		градиент																					yz2					в точке
																																																			yz2
	1		1			1
M		;		;					.

	2		2
	2		2			3																																													x, y и z, то ее
	Решение. Так как задана функция u																																							трех переменных											x, y и z, то ее
градиентом					в		точке								M			является																вектор								в			трехмерном						пространстве с
																ux											;uy										;uz				. Найдем частные производные
координатами							gradu																		M															M
координатами							gradu
													M																				M


																	1									1						1
и их значения в точке M																						;								;						:

																	2
																	2										2 3
										ux				1				,						ux																	1					3				,
														1															M												1								2

														yz2																				(1					2) (1						3)2
														yz2																				(1					2) (1						3)2
				uy								x				,			uy																						1							3							,
												x																													1													2

											y2z2													M											2 (1						2)2				(1 3)2
											y2z2													M											2 (1						2)2				(1 3)2
						uz						2x				,			uz																						2						6						.
												2x												M																	2											3

												yz3																							2 (1							2) (1 3)3
												yz3																							2 (1							2) (1 3)3
																3																												.
Следовательно, gradu																3										2; 3											2; 6						3	.												
															M
															M
	Пример 3. Вычислить угол между градиентами функций u и v в точке
	1		1			1															x					, v x2 y2 6z2 .
M		;		;						, если u
M		;		;						, если u													2
	2		2			3														yz			2

Решение. Найдем частные производные функции v и их значения в

	1		1		1
точке M		;		;		:

	2		2		3
	2		2		3

vx 2x,	vx
		M 2,

									vy 2y,												vy
									vy 2y,												vy		M		2,
						vz 12z,										vz							M				1									.
																					12								4
																				M													3
																																	3

																									3
																			;						3					3														(см.
Тогда,	gradv																					gradu
							2;					2; 4					3
			M				2;					2; 4					3											M							2; 3				2; 6			3
			M																									M
пример 2). По формуле косинуса угла между двумя векторами получаем:
		gradu gradv									3							3								6						4						84					7			.
cos		gradu gradv									3			2		2		3				2			2	6					3	4		3				84					7		13
cos
		gradu			gradv									18 18 108												2 2 48											12 2			13	26
										7
				arccos											.
Следовательно,														13																																
Следовательно,													26																																	
													26
		Связь между градиентом и производной по направлению
1.		Производная						z					функции								по			направлению													равна			скалярному
1.		Производная											функции								по			направлению													равна			скалярному

произведению вектора градиента grad z на единичный вектор этого направления l cos ;cos , т.е.

	z
		grad z l .
	l

2. Производная z функции по направлению есть проекция вектора

градиента на направление единичного вектора l , т.е.

	z
		пр	grad z	grad z	cos ,

	l		l

где – угол между векторами grad z и l .

3. Производная функции по направлению вектора l , перпендикулярного вектору градиента, равна нулю:

z 0, если l grad z.

Свойства градиента

1. Градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке, при этом модуль вектора градиента равен максимальному (минимальному) значению

производной	z	по		направлению градиента (в направлении,
производной	l	по		направлению градиента (в направлении,
	l
противоположном вектору градиента) в данной точке:
			z	grad z , если l grad z,
				grad z , если l grad z,

z grad z , если l grad z.

2.Градиент дифференцируемой функции z f (x,y) перпендикулярен линии уровня, проходящей через точку M0 (x0 ; y0), если величина градиента

вэтой точке отлична от нуля.

Пример 4. Найти производную функции z ln (x2 y2) M 3; 4 в направлении вектора градиента функции.

Решение. Вычислим вектор градиента функции z в точке M :

zx		2x		,	zx		(3; 4)		2 3		6		,

		x2 y2							32 ( 4)2
										25
zy		2y	,		zx	(3; 4)			2 ( 4)			8		,

	x2 y2							32 ( 4)2
										25

		grad z				6		;		8
						6				8
											.
											.
Тогда				(3; 4)		25				25
				(3; 4)		25				25


	u		grad z				6			2		8 2	2	.



	l
		(3; 4)			(3; 4)				25			25	5

в точке



§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть	z f (x,y)	– дифференцируемая функция
в точке M0 (x0 ; y0).		Графиком функции z является
некоторая	поверхность S в пространстве, точка

M0 (x0 ; y0 ; z0 ), где z0 f (x0,y0), принадлежит этой поверхности. Пересечем поверхность S плоскостями x x0 и y y0 (рис. 8).

Рис. 8 Пересечением плоскости x x0 и поверхности S является некоторая

линия, уравнение которой z f (x0,y). К этой линии на плоскости x x0 в


точке M0	может быть проведена касательная					l1, так как			функция
z f (x0,y)	дифференцируема		в точке	y y0	(в	силу того,		что		точка
M0 (x0 ; y0 ; z0 )		принадлежит	данной	линии	и	функция		z f (x,y)
дифференцируема в точке M0 (x0 ; y0)).
Аналогично рассуждая для сечения поверхности S							плоскостью			y y0,
получим, что к линии z f (x,y0) на плоскости					y y0		в точке	M0		может
быть проведена		касательная l2 . Прямые		l1 и	l2	определяют		плоскость,
которая называется касательной плоскостью к поверхности								S	в точке
M0, точка M0 – точка касания.
Заметим, что касательная плоскость к поверхности в точке M0									содержит

касательные ко всем кривым, принадлежащим данной поверхности и проходящим через точку M0.

Прямая, проходящая через точку M0 поверхности S перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в этой точке, называется нормалью к поверхности S в точке M0.

Если поверхность S задана явно уравнением z f (x,y) и функция z f (x,y) дифференцируема в точке M0 (x0 ; y0), то уравнения касательной плоскости и нормали к этой поверхности в точке M0 (x0 ; y0 ; z0 ) имеют вид

z z0 fx

(x x0) fy

( y y0),

z z0

соответственно.

Если поверхность S задана неявно уравнением F(x,y,z) 0

и функция

F(x,y,z) 0 дифференцируема

в точке

M0 (x0 ; y0 ; z0 ), то

уравнения

касательной плоскости и нормали к этой поверхности в точке M0 (x0 ; y0 ; z0 ) имеют вид

(x x0) Fy

(y y0) Fz

(z z0) 0,

z z0

соответственно.

Пример 1. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к

поверхности x2 4y2 9z2 33 0

в точке M0 3; 2;1 .

Решение.

Поверхность

задана

неявно.

Здесь

F(x,y,z) x2 4y2 9z2 33. Найдем частные производные этой функции и вычислим их значения в точке M0 3; 2;1 :

Fx 2x,	Fx		M0	2x

Fy 8y,	Fy	8y
		M0
		M0

2 ( 3) 6,

8 ( 2) 16,

Fz 18z,

18z

18.

Тогда уравнение касательной плоскости в точке M0

имеет вид:

6 (x 3) 16 (y 2) 18 (z 1) 0,

3(x 3) 8(y 2) 9(z 1) 0,

3x 8y 9z 34 0

и уравнение нормали:

x 3

y 2

z 1

или

x 3

y 2

z 1



Пример 2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к

поверхности z 4x3 y2 3xy в точке M0

2;1; 1 .

Решение. Поверхность задана явно. Найдем частные производные

функции z f (x,y) и вычислим их значения в точке M0 2;1; 1 :

fx 12x2 ,

12x2

12 ( 2)2 48,

fy 2y,

Тогда уравнение касательной плоскости в точке M0

имеет вид:

z 1 48 (x 2) 2 (y 1)

или

48x 2y z 97 0

и уравнение нормали:

x 2

y 1

z 1

или

x 2

y 1

z 1



§12. Экстремумы функции двух переменных

Пусть функция z f (x,y) определена в некоторой окрестности точки

M0 (x0 ; y0).

Точка	M0 (x0 ; y0) называется точкой максимума	(минимума)
функции	z f (x,y), если существует -окрестность точки	M0 (x0 ; y0)

такая, что для всех точек из этой окрестности, отличных от точки

M0 (x0 ; y0), выполняется неравенство f (x,y) f (x0,y0) ( f (x,y) f (x0,y0)).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Значение функции в точке максимума (минимума) называется

максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называются ее экстремумами.

Заметим, что экстремумы функции имеют локальный характер, так как в силу определения максимальное и минимальное значения функции рассматриваются лишь в некоторой окрестности точки M0 (x0 ; y0). Так, функция может либо иметь несколько экстремумов, либо не иметь ни одного.

Теорема (необходимое условие точки экстремума). Пусть точка

M0 (x0 ; y0) – точка экстремума дифференцируемой функции z f (x,y). Тогда частные производные функции z f (x,y) в этой точке равны нулю,

т.е. fx

0 и fy

С геометрической точки зрения равенство нулю частных производных

fx и

означает,

что касательная плоскость к поверхности, являющейся

графиком функции

z f (x,y), в точке экстремума параллельна плоскости

Oxy,

так как уравнение касательной плоскости в точке экстремума имеет

вид: z z0 .

Заметим, что функция может иметь экстремум в

точках, в которых хотя бы одна из частных производных

не

существует. Например, функция z 2

x2 y2

имеет максимум в точке O(0;0) (рис. 9), но не имеет в

этой точке частных производных.

Рис. 9

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю или хотя бы одна из частных производных не существует, называются

критическими точками функции z f (x,y).

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю,

т.е. fx 0 и	fy 0, называют стационарными точками функции
z f (x,y).

Если функция достигает экстремума в какой-либо точке, то эта точка является критической точкой (но не наоборот!). Не всякая критическая точка будет являться точкой экстремума функции. Таким образом, каждую найденную критическую точку функции надо дополнительно исследовать.

Теорема (достаточное условие точки экстремума). Пусть функция z f (x,y) имеет в стационарной точке M0 (x0 ; y0) и в некоторой ее окрестности непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим значения частных производных второго порядка

этой функции

в точке

B и

C, т.е.

M0 (x0 ; y0) через

fxx

M0 A,

C, а также обозначим

fxy

fyy

AC B2.

Тогда:

0, то

z f (x,y) в

M0 (x0 ; y0) имеет

если

функция

точке

экстремум: максимум, если A 0;

минимум, если A 0;

если

0, то функция

z f (x,y)

в точке M0 (x0 ; y0)

не имеет

экстремума;

если 0, то в точке M0 (x0 ; y0) экстремум может быть, а может и

не быть. В этом случае требуются дополнительные исследования. Пример 1. Найти экстремумы функции z x3 y3 3xy.

Решение. Найдем критические точки функции. Для этого получим сначала частные производные первого порядка:

fx 3x2 3y, fy 3y2 3x.

Точек, в которых не существует хотя бы одна из частных производных fx

или fy , нет. Найдем стационарные точки функции, пользуясь необходимыми условиями точек экстремума:

fx 0,	3(x2 y) 0,
	т.е.
fy 0,	3(y2 x) 0.

Решая систему уравнений, получаем две точки: M1(0;0) и M2 (1;1). Исследуем каждую из полученных критических точек. Для этого найдем

частные производные второго порядка и составим для каждой критической точки соответствующий определитель :

fxx

, fxy

fyy 6y.

Для критической точки M1(0;0) имеем:

A1 fxx

B1 fxy

, C1 fyy

В этом случае 1

9 0, следовательно, в точке

M1(0;0) функция z экстремума не имеет.

Для второй критической точки M2 (1;1) имеем:

A2 fxx

B2 fxy

C2 fyy

Тогда 2

36 9 27 0,

значит, в точке M2 (1;1)

функция z имеет экстремум. Так как A2 0, то M2 (1;1) – точка минимума и

zmin f (M2) 1. 

Пример 2. Найти экстремумы функции z x4 y3 3x2 y. Решение. Найдем частные производные первого порядка:

fx 4x3 6xy, fy 3y2 3x2.

Точек, в которых не существует хотя бы одна из частных производных fx или fy , нет. Найдем стационарные точки функции:

				fx 0,	2x(2x2 3y) 0,
					т.е.
				fy 0,	3(y2 x2) 0.
Решая систему уравнений, получаем три точки: M1(0;0), M2						3	;	3	и

						2		2
						2		2
M3	3	;	3
				.
	2		2	.
	2		2

Исследуем каждую из полученных критических точек. Для этого найдем частные производные второго порядка и составим для каждой критической точки соответствующий определитель :

6y,

fxx 12x

fxy 6x,

fyy 6y.

Для критической точки M1(0;0) имеем:

A1 fxx

B1 fxy

C1 fyy

В этом случае 1

значит, в точке M1(0;0) требуется

провести дополнительное исследование. Возьмем точки из окрестности

точки	M1(0;0) с ординатами, равными нулю, тогда z f (x,0) x4 0		при
x 0,	y 0.	Затем рассмотрим точки из окрестности M1(0;0) такие,	что
x 0,	y 0.	Для таких точек получим: z f (0,y) y3 0. Это означает, что

в окрестности точки M1(0;0) функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому в точке M1(0;0) функция экстремума не имеет.

Для второй критической точки M2												3		;	3
																имеем:
												2				имеем:
												2			2
A2						3 2			3				B						3
						3 2			3										3
																		6		9,
				12				6		18,
	fxx		M2	12				6		18,					2 fxy
						2			2				3				M2		2


							C

											6				9.
								2 fyy			6				9.
		A2		B2	18		9			M2		2									3		3
										M2		2
Тогда 2								162 81 81 0, значит, в точке M2														;
		B2		C2
					9		9														2		2
					9		9														2		2

функция	z имеет экстремум. Так как A2 0, то	M2	3	;	3	– точка

			2		2

минимума и

									3 4				3 3							3			2			3		81			27				27						27
	zmin f (M2)													3																			3									.
	zmin f (M2)													3																			3				8				16	.
									2				2							2						2 16 8											8				16
	Для третьей критической точки M3																			3	;		3				имеем:

																				2			2
																				2			2
										3 2				3										B										3
										3 2				3																				3
								12					6				18,															6						9,
			A3 fxx				M3	12					6				18,									3 fxy						6						9,
											2			2							3									M3				2
											2			2																M3				2
																		6							9.


												C3 fyy				M3					2
					A3			B3			18		9			M3					2
Тогда			3		A3			B3			18		9		162 81 81 0,																	значит,								в		точке
Тогда			3		B3			C3			9		9		162 81 81 0,																	значит,								в		точке
	3		3																																		3			3
M3		;		функция имеет экстремум. Так как																							A3 0,				то M3								;		– точка
M3	2	;		функция имеет экстремум. Так как																							A3 0,				то M3						2		;	2	– точка
	2		2																																		2			2
минимума и															4					3									2
													3		4			3		3							3		2		3			27
						zmin f (M3)																3														.						
						zmin f (M3)													2			3									2			16		.						
													2						2								2				2			16

Контрольные задания

Задание № 1

Найти область определения функции z f (x,y).

1.01

ln(1 x2

y2)

1.16

z y arcsin(x 2)

1.02

1 x2

1 y2

1.17

sin(x2

y2)

1.03

1.18

z arccos

2 4y2 4

x y

1.04

1.19

z ln( x y)

1 x y

z arcsin

1.05

z arcsin

y y2

1.20

1.06

1.21

1 y2

2 y2

sinx

x 1

x2 y2 x

1.07

z x2 y2

1.22

2x x

1.08

1.23

1 x

9 x2

1.09

1.24

z arcsin

arcsin(1 y)

1.10

x 2y

1.25

2 x2

2y2

1.11

1.26

x 2y

x y 1

x y

1.12

1.27

z x

(x 1)(y 2)

1.13

z ln (x2 y2 1)

1.28

z arcsin(x y)

1.14

ln (x y)

1.29

ln(

x2 y)

x 2

y x

1.15

z lnx

1.30

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.2023957.4 Кб07062.pdf
#
23.11.2023957.46 Кб07063.pdf
#
23.11.2023958.47 Кб07064.pdf
#
23.11.2023958.55 Кб07065.pdf
#
23.11.2023958.94 Кб07066.pdf
#
23.11.2023959.2 Кб07067.pdf
#
23.11.2023959.27 Кб07068.pdf
#
23.11.2023960.34 Кб07069.pdf
#
21.11.2023144.59 Кб0707.pdf
#
23.11.2023960.39 Кб07070.pdf
#
23.11.2023960.76 Кб07071.pdf